线性代数45427

1、线性代数第一章参考答案一。选择题1.D 2.D 3.C 4.C 5.C 6.C 7.A 8.B 9.B 10.A二、填空题1. 7 2. -8 、4 3.-3 、 4.6 5- 、 6. 72 7.0、0 8. 三、计算题1.解：2. 解： 3. 解： 当时，；当时，四; 设，取0或1，若D的第一列元素全为零，则D=0，结论成立；否则，第一列中至少有一个非零元素，设，当不全为零时，通过初等变换可把行列式变为，其中，因此，故.五、1、解方程组有非零解，则系数行列式，而在可知时齐次线性方程组有非零解。2、解：系数行列式 故线性代数第二章参考答案选择题1.A 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C

2、7.C 8.D 9.A 10.B二、填空题1.E 2. 3. 3E 4. 5. 16 、 6. 0 7. -6 8. 9. 1 三、计算题解:= 解： 解: 由，左乘得即,于是有，即故。故 是一个最高阶非零子式。5. 故四、证明题（本题共2小题，每题6分，满分12分）1.A、B为n阶方阵且满足，证明：可逆。2. 设n阶矩阵满足,为n阶单位矩阵证明为可逆矩阵.（4分）证明： .（3分）证：（1）由已知等式有，即，即为可逆矩阵,且。（2）由互为可逆矩阵知，即有。五、设，求当n为偶数，即时，当n为偶数，即时，线性代数第三章综合自测题一、 单项选择题（在四个备选答案中，只有一项是正确的，将正确答案前的

3、字母填入下面横线上。本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 如果向量能由向量组线性表示，则（ D ）。（A）存在一组不全为零的数，使得（B）对的线性表示惟一（C）向量组线性无关（D）存在一组数，使得2. 向量组线性无关的充分条件是（ C ） （A）均为非零向量； （B）的任意两个向量的分量不成比例； （C）中任意部分向量组线性无关； （D）中有一个部分向量组线性无关。3. 若线性相关，且，则（ D ）。（A） （B）全不为零（C）不全为零 （D）上述情况都有可能4. 一个阶矩阵A的秩为，则下列说法正确的是（ A ） （A）矩阵A的行向量组一定线性无关； （B）矩阵A的列向量组一定线性无关；

4、 （C）矩阵A的行向量组一定线性相关 ； （D）矩阵A的列向量组一定线性相关。5. 两个维向量组A：，B：，且，于是有（ C ）（A）两向量组等价，也即可以相互线性表出； （B），；（C）当向量组A能由B线性表出时，两向量组等价；（D）当时，两向量组等价。6. 若向量组线性无关，向量组线性相关，则（ C ）。（A）必能由线性表示 （B）必不能由线性表示（C）必能由线性表示 （D）必不能由线性表示7. 下列命题中正确的是（ D ）（A）若向量组的秩为，则该向量组的其中的任意个向量均线性无关；（B）若向量组中有+1个向量线性相关，则该向量组的秩一定至多等于； （C）向量组A与向量组B等价的充要条件

5、是；（D）可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数。8. 已知维向量组（）：和（）：的秩都等于，那么下述命题不正确的是（ A ）。（A）若，则向量组（）与向量组（）等价（B）若向量组（）是向量组（）的部分组，则向量组（）与向量组（）等价（C）若向量组（）能由向量组（）的部分组表示，则向量组（）与向量组（）等价（D）若，则向量组（）与向量组（）等价9. 设，=，当线性无关时，不等于（ D ）（A）1 ； （B）2； （C）3； （D）以上都不对10. 设是矩阵，是矩阵，则（ B ）（A）； （B）；（C）当时，； （D）当时，。二、填空题（本大题共10个空，每个空2分，满分20分）1. 已知，则= ，= 。2

6、.已知，且，则= 。3. 一个向量组含有两个或两个以上的最大无关组，则各个最大无关组所含向量个数必相等。4. 设是3维线性无关的向量组，A为3阶方阵，且，则= 2 ， 3 。5. 向量组=（2，3，-1，5），=（6，3，-1，5），=（4，1，-1，7）的秩= 3 ，最大无关组为。6. 两个维向量组A：，B：，则，的大小关系是：。7. 若向量，可由向量组，线性表示，则= 5 。8. 已知向量组，的秩为2，则= = 3 。9已知向量组线性无关，若向量组，线性相关，则 1 。10. 维向量组，而中任何一个向量都不能用其余向量线性表示，是该向量组线性无关的 充要 条件。三、 计算题（本大题共3个小

7、题，第1，2小题每题5分，第三小题10分，满分20分）1已知，讨论向量组及向量组的线性相关性。解：令，故，所以线性相关，而线性无关。2.已知向量组与向量组具有相同的秩，且可由线性表示，求的值。解：因为故又因为向量组与向量组具有相同的秩，且可由线性表示，所以故，；则，故。3. 利用初等变换法求下列矩阵的列向量组的秩及一个最大无关组。（10分）（1） （2）解：1. 令A=故，且，为最大线性无关组。（2）令A=故且，是它的列向量组的最大线性无关组。四、 证明题（本大题共3个小题，每题10分，满分30分）1. 证明：向量组线性无关的充分必要条件是向量组，线性无关。证明：不妨假设，为列向量组，由，知能

8、由线性表示，故（1）且，（*），令，显然，也即可逆。（*）式两边同时右乘，有也即能由线性表示，故（2）由（1），（2）得，也即与有相同的线性相关性，故向量组线性无关的充分必要条件是向量组，线性无关。2. 证明：如果维单位坐标向量组可以由维向量组线性表示，则向量组线性无关。证明：因为维单位坐标向量组可以由维向量组线性表示，所以，又因为线性无关，所以，故，所以线性无关。 3. 设，证明向量组与向量组等价。证明：因为=故而=，因此向量组与向量组等价。第四章 线性方程组线性方程组是线性代数的一个核心内容，它是前面几章知识的一个综合应用。线性方程和线性方程组的建立和求解可以解决许多的实际问题。基本要求1

9、、理解非齐次线性方程组有解的充要条件和齐次线性方程组有非零解的充要条件。2、理解齐次、非齐次线性方程组解的性质，掌握基础解系的概念，会用基础解系表示其通解。重点、难点：重点：求解线性方程组的理论与方法。难点：线性方程组的解的结构，基础解系。内容提要：1、 线性方程组的几种表示（1）一般形式（2）向量形式 ，其中（），（3）矩阵形式，其中，。特别地，当时，称为 ，而当时，称为 ，并称为的导出组。2、齐次线性方程组的解：显然，任何一个齐次线性方程组一定有解，因为至少各未知量均取零既是其一个解，又由向量的知识有：（1）元齐次线性方程组有非零解的充分（必要）条件 有非零解的列向量组线性相关。若方程个数

10、小于未知量个数，则必有非零解。当为方阵时，有非零解。（2）齐次线性方程组解的性质若均是的解向量，则也是的解向量。若是的解向量，则对任意常数也是的解向量。（3）齐次线性方程组解的结构设是的一组线性无关的解向量，如果的任意解向量均可由线性表出，则称为的一个 ；方程组的通解可写为 。3、非齐次线性方程组（1）n元非齐次线性方程组的有解判定有解可由的列向量组线性表示向量组与向量组等价，更细致的有：有 。有 。 。（2）非齐次线性方程组解的性质 若是的一个解，是其导出组的一个解，则 也是的解。若均是的解，则 是其导出组的一个解。（3）非齐次线性方程组解的结构 若是的一个解，是其导出组的一个基础解系，则

11、的通解为： ，其中 称为的一个 。线性代数第四章综合自测题一、 单项选择题（在四个备选答案中，只有一项是正确的，将正确答案前的字母填入下面横线上。本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 已知是非齐次线性方程组的两个不同的解，是其对应导出组的基础解系，为任意常数，则非齐次线性方程组的通解是（ B ）A、 B、 C、 D、2.设方程组的系数行列式为零，则（D ） A、方程组有无穷多解；B、方程组无解； C、方程组有唯一解；D、方程组可能无解，也可能有无穷多解。3. 为阶矩阵，则关于齐次方程组的结论是（ C ） A、 时，方程组仅有零解；B、时，方程组有非零解，且基础解系含有个线性无关的解向量；

12、 C、若有阶子式不为零，方程组仅有零解；D、若所有-1阶子式不为零，方程组仅有零解4. 为齐次线性方程组的一个基础解系，则（ D ）也是该方程组的基础解系。A、； B、；C、与等价的同维向量组； D、与等价的同维向量组。5. 要使 ， 都是线性方程组的解，只要系数矩阵为（A ） 6. 齐次线性方程组，_ C _是它的一个基础解系。A、 B、 C、 D、 7. 方程组，当=_ B _时，方程组有非零解。A、0 B、±1 C、 2 D、 任意实数8.对于元线性方程组，下列命题中正确的是（ D ）A、有唯一解； B、仅有零解，则有唯一解； C、有非零解，则有无穷多解；D、有两个不同的解，则

13、就有无穷多组解。9.阶矩阵的伴随矩阵非零，如果是非齐次线性方程组的互不相同的解，则导出组的基础解系所含解向量的个数是（ C ）A、3个； B、2个； C、1个； D、0个。10. 设为阶矩阵，非齐次线性方程组有解的充分条件是（ C ）A、； B、； C、； D、。二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）1. 非齐次线性方程组（为矩阵）有唯一解的的充分必要条件是。2. 个维向量，组成的向量组为线性 _相关_ 向量组。3. 已知线性方程组无解，则= -1 。4. 设阶矩阵的各行元素之和均为零，且的秩为-1，则齐次线性方程组的通解为。5.设矩阵，3阶矩阵，若，则= 2 。6设为矩阵，是非

14、齐次线性方程组的两个解，若，则的通解为 。7.已知四元非齐次线性方程组，是它的三个解向量，其中，则齐次线性方程组的通解为。二、 求下列线性方程组的通解（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）1. ； 解：齐次线性方程组的系数矩阵A=,将系数矩阵进行初等行变换得，故，基础解系中包含4-2=2个向量，而方程组的同解方程组为，取，得到方程组的基础解系为故方程组的通解为， 2. 解：设方程组的系数矩阵为，则,显然，故基础解系中包含n-1个向量；把原方程组移项得到，取，得到一组基础解系为故方程组的通解为，。3. 解：设方程组的系数矩阵为A，增广矩阵为B，则因为，所以方程组有无穷多组解。方程组的同解方程

15、组为，取，得到方程组的一个特解为，方程组对应的导出组为，取，得到方程组的一组基础解系为故方程组的通解为4、设方程组的系数矩阵为A，增广矩阵为B，则因为，所以方程组有无穷多组解，方程组的同解方程组为，取，得方程组的一个特解方程组对应的导出组为，分别取，的导出组的一组基础解系，所以方程组的通解为三、 计算题（本大题共两小题，每题8分，共16分）1. 取何值时，非齐次线性方程组，有惟一解；无解；有无穷多个解？解：系数矩阵行列式。 当时，方程组有惟一解； 当时，增广矩阵 ，方程组无解。 当时，增广矩阵，方程组有无穷多解。基础解系的个数，为2. 已知四阶方阵，均为四维列向量，其中线性无关，如果，求线性方

16、程组的通解。解：因为线性无关，所以，又因为，故线性相关，所以，又因为，即有解，且为方程组的一个特解；又，即知是其对应导出组的解，又因为，所以导出组的基础解系中含有4-3=1个线性无关的解，即为导出组的基础解系，所以方程组的通解为五、证明题（本大题满分9分）设元齐次线性方程组的基础解系为：，令，证明：对于任意可逆的阶矩阵，的列向量组构成的基础解系证明：因为C为阶可逆矩阵，所以，且的列向量组中共有个向量，故的列向量组线性无关且含有个向量，又因为为元齐次线性方程组的基础解系，所以，故，所以的列向量组是齐次线性方程组的解，综合以上有的列向量组构成的基础解系。线性代数综合自测题一、选择题（本题共10小题

17、，每题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）。1、排列4 1 3 2的逆序数是（ C ）（A） 2； （B）3；（C）4； （D）5；2、设A是n阶可逆矩阵，是的伴随矩阵，则（ A ）（A） （B） （C） （D） ；3、已知A、B为n阶非零矩阵，则下列公式成立的是（A ） （A）； （B）；（C）则； （D）；4、已知A为3阶矩阵，且=2，则=（ B ） (A)2； （B）4； （C）0； （D）8；5、下列命题正确的是（ C ）（A）若向量组是线性相关的，则可由线性表示； （B）若有不全为零的数，使成立，则线性相关，线性相关； （

18、C）包含零向量的向量组一定线性相关； （D）设是一组维向量，且维单位坐标向量能由它们线性表示，则线性相关；6、已知则（为代数余子式）的值是（C ）。(A)； （B）-； （C）0； （D）以上都不对；7、设阶行列式，若中有一列元素全部为0，则（ D ）。（A）1； （B）1； （C） 2 ； （D）0； 8、个方程个未知量的非齐次线性方程组，有无穷多组解的充分必要条件是（ B ）。（A）； （B）；（C）； （D）；9、如果线性方程组有非零解，则（ C ）。（A） （B） （C） （D） 10、设向量组，则它的最大线性无关组是（ D ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) ；二、填空题

19、（本题共6小题，7个空，每空2分，满分14分，把答案填在题中的横线上）。1、设，则。（为正整数）2、设为3阶矩阵，,则2 ；= -16 。3、向量组，是线性 无关 。（填“相关”或“无关”）4、已知矩阵，则。5、设，则。6、设,且,则= A+E=。7.，则 。8.设为n阶矩阵，则 。9.已知向量组，的秩为2，则= 3 。10.设是3维线性无关的向量组，A为3阶方阵，且，则= 2 ， 3 。三、计算题。（本大题共6小题，共46分）1、计算下列行列式。（本题共两小题，每题5分，共10分）（1）； （2）；解：D= 解： = =x+(n-1)a = =x+(n-1)a = =02、设，求及。（10分） 解：AB=而=A 3AB-2A=3、求矩阵A的逆矩阵。（5分）A=解： 4、设，当为何植时，向量组线性相关？当线性相关时，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量用该最大线性无关组线性表出。（5分）解：令则5、取何值时，非齐次线性方程组 （1） 有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多解？