2019-2020学年新必修二正余弦定理的综合问题课时作业

1、-1 -第 2 课时 正、余弦定理的综合问题刷好题刷好题 愆餡愆餡基础题组练31 .ABC的内角AB,C所对的边分别为a,b,c,已知b=7,c=4, cosB= 4，则ABC的面积等于（）A.3 7C. 93解析：选 B.法一：由余弦定理b2=a2+c2 2accos B,代入数据，得a= 3,又 cosB=：,4由cosB=4,B（0,n），得sinB=,由正弦定理拝Bsin=4,可得 sinC= 1，所以C=n2，所以 sinA= cos B=扌，所以SAABC=*bcsinA= -，故 选 B.2 .在ABC中，已知C=nn,b= 4,AABC的面积为 2 3，则c=（）3A. 2 7

2、B.7C. 2 2D. 2 3解析：选 D.由S= jabs inC= 2a23= 2 3,解得a= 2,由余弦定理得c2=a2+b22abcosC= 12，故c= 2 3.B. 2 3D. 3 +3解析：选 C.因为 sinA: sin B= 1 : . 3，所以b= , 3a,a2+b2c2a2+（寸 3a）2c2yf3由余弦定理得 cosC=:ab=十（Y）=占,2ab2axp 3a2又c=3，所以a=. 3,b= 3，所以ABC的周长为 3+ 2 3,故选 C.B.D.B （0 ,n），所以 sinB=#，所以SAABC=jacsinB=乎，故选 B.3. （2019 河南三市联考）已

3、知a,b,c分别为ABC三个内角sinB= 1 : 3,c= 2cosC=*j3，则ABC的周长为（）A. 3+ 3 3C. 3+ 2 3A, B, C的对边，sinA：-2 -4.在ABC中,AB=3,BC= .13,AC=4，则边AC上的高为（）-3 -C.3D. 3 3解析：选 B.由余弦定理知m=ABABCC9鳥=2 所以心=零所以 &ABC=AB ACsinA=2X3X4X今=3 3.设边AC上的高为h,贝 VSABC=1A。h= 2 4Xh= 33,所以h=f.n5 .在ABC中,A= ,b2sinC= 42SinABC的面积为_解析：因为b2sinC=42sin B,所以

4、b2c= 4 2b,所以bc= 4 2,答案：26._ 在ABC中,A= 60,AB=2,且厶ABC的面积为 当，贝U BC的长为_2AB-Ados 60 = 3,所以BC= . 3.答案：337.（2017 高考北京卷）在厶ABC中,ZA= 60,c= -a.（1）求 sinC的值；（2）若a= 7,求厶ABC的面积.3解：（1）在厶ABC中，因为ZA= 60 ,c=a,csinA3J333所以由正弦定理得 sinC=匚匚=3x-= *.a/2143因为a= 7,所以c= 7X7= 3.1由余弦定理a2=b2+c2 2bccosA得 72=b2+ 32 2bx3X -,解得b= 8 或b=

5、5（舍）.A.B.3.321SABC=qbcsin1A=2x=2.解析：因为SMBC=1 -AB- Ain1A=2X2XAC=，所以AC= 1,所以BC=AB+AC-4 -8.（2017 高考全国卷n） ABC的内角A,B, C的对边分别为a,b,c,已知 sin（A+C）(1)求 cosB若a+c= 6,ABC的面积为 2，求b.解：由题设及A+B+C=n得 sinB= 8sin，故sinB= 4(1 cosB).上式两边平方，整理得217cosB 32cosB+ 15 = 0,由余弦定理及a+c= 6 得.2 2 2b=a+c 2accosB2=(a+c) 2ac(1 + cosB)17

6、f15、=362X x1+17=4.所以b= 2.综合题组练1 . （2019 河北石家庄一模）在厶ABC中，AB=2,C=青，贝AC+ 3BC的最大值为( )A.7C. 3 7AB解析：选 D.仁ABC中,AB=2,C=，则矿则AC+ 3BC= 4sinB+ 4 3sinA=2cosA+63sinA=4 7sin(A+ 0),所以ABC的面积S= 2bcsin-23= 63.=8sin2B2.解得 cosB= 1（舍去）15,cosB= 17.由 cosB= 15 得 sin8g1B=而故SABC= 2acsinB=*ac.又SABC=2,贝 Uac=耳.172B. 2 7D. 4 7=BC

7、=ACCsinAsinB=4si nsin-5 -所以AC+ . 3BC的最大值为 4,7.故选 D.-6 -2 .在梯形ABCDh AB/ CD AB=1,AC=2,BD=2 护，/ACD=60,贝U AD=()A. 2B. 7C. 19D. 13 -63解析：选 B.因为在梯形ABCD中，AB/ CD/ACD=60，所以/BAC=60 .在厶ABC中，AB=1,AC=2，由余弦定理，得BC=4+ 1 2X2X1Xcos 60 =, 3,所以AB+BC=AC,所以/ABC=ZBCD=90 .在厶BCD中，由勾股定理，得CD= (2：3)2(一2= 3,所以在ACD中，由余弦定理，得AD= 9

8、+ 4 2X3X2Xcos 60 =7.故选 B.3. (2019 福建第一学期高三期末考试)ABC的内角A,B, C的对边分别为a,b,c, 已知 Q3(acosC- ccosA=b,B=60，贝U A的大小为 _.解析：由正弦定理及 3(acosCccosA=b,得 3(sinAcosC sinCcosA) = sin B, 所以 3sin(A-C) = sinB,由B= 60，得 sinB=#，所以 sin(AC) = g 又AC= 1202C ( 120 , 120 )，所以AC= 30，又A+C= 120,所以A= 75答案：75b+ 12 = (b 3)2+ 9,因为b 1 , 3

9、，所以当b= . 3 时，c取最小值 3.答案：35.(综合型)(2019 辽宁大连检测)已知ABC的内角A,B, C的对边分别为a,b,c,- 2 2 2且满足 cosB cos C sinA= sinAsinB(1)求角 C;若c= 2 6,ABC勺中线CD=2，求ABC勺面积S的值._ 2 2 2解：(1)由已知得 sinA+ sinBsinC= sinAsinB,2 2 2由正弦定理得a+bc= ab,2 . 2 2a+bc2ab2n4 在ABC中，角A, B,C的对边分别是a,b,as inA+bsinBcsinsinBsinC=2若b 1 , 3，则c的最小值为 _解析:asinA

10、+bsin BcsinC2 3ZBa2+b2c2sinBsinC 3a，得 2abc.由余弦定理可知cosC=2 2 2a+bc2ab，即3cosC=nC,所以 tanC=，.?3,故 cosC=，所以c=b 2/3由余弦定理可得cosC=-7 -因为 0n，所以C= -3-.法一：由 |CD= 2|CAvCB= 2,可得CA+CB+ 2CA-6B=16,-8 -2 2 2 2即a+b-ab= 16,又由余弦定理得a+b+ab= 24,所以ab= 4.所以S= fabsin /ACB= *hb=书.法二：延长CD到M使CD= DM连接AM易证BCDAAMD所以BC= AM= a, /CBD=ZMADn所以/CAM=.3a2+b2+ab= 24 ,由余弦定理得*22a+bab= 16 ,1i厂所以ab= 4 ,S= absin /ACB=x4x= 3.6 .已知a,b,c分别是ABC中角A, B, C的对边，acsinA+ 4sinC= 4csinA(1)求a的值；J3圆OABC的外接圆(O在厶ABC内部),OBC的面积为 g,b+c= 4,判断ABC的形状，并说明理由.2则acsinA+ 4sinC= 4csinA?a c+ 4c= 4ac,222因为CM0,所以a c+ 4c= 4ca?a+ 4 = 4a? (a 2) = 0,可得a=