2026年新课标全国卷二数学压轴题冲刺卷（含解析）

2026年新课标全国卷二数学压轴题冲刺卷（含解析）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合A={x|x²-4x+3≤0},B={x|ax+1=0有解},若B⊆A，则实数a的取值集合为(A)(-∞,-1)∪(-1,+∞)(B)[-1,+∞)(C)(-∞,-1]∪{0}(D)(-∞,-1]∪(0,+∞)2.已知复数z满足z²=1+√3i(i为虚数单位)，则|z-2i|的值为(A)1(B)√2(C)√3(D)23.定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)+2sin(x+π/3)，且f(0)=0，则f(2026)的值为(A)0(B)2√3(C)4(D)64.在一个密闭的直三棱柱容器中，底面是边长为a的正三角形，高为h。将容器内装满水，然后缓慢倾斜容器使水面恰好成为一个等腰三角形截面，此时水面的面积为(A)√3/4*a²(B)√3/6*a²(C)1/3*a²h(D)1/4*a²h5.给定数列{a_n}，其中a₁=1,a_n+1=a_n+sin(a_n)(n∈N*).记数列{b_n}的通项b_n=ln(a_n+√(a_n²+1))，则数列{b_n}的前n项和S_n不可能为(A)3(B)5(C)8(D)10二、多选题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。所有选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）6.已知函数f(x)=x³-ax+1在x=1处的切线与直线y=(x-1)+1平行，则下列说法正确的有(A)f(x)在x=-1处取得极小值(B)f(x)在x=1处取得极大值(C)曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为8(D)当x>0时，f(x)≥1恒成立7.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若sinA=√3/2,cos(B+C)=-1/2，则下列结论正确的有(A)△ABC为等边三角形(B)边a的长度为√3(C)tanC=√3(D)△ABC的面积S最大值为3/4*bc8.已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√2/2,右焦点F到左准线的距离为2。设P为C上异于长轴端点的任意一点，则下列说法正确的有(A)椭圆C的方程为x²/4+y²/2=1(B)焦点F到点P的距离与点P到左准线的距离之比为定值(C)存在点P，使得∠PF₁F₂=60°(F₁,F₂为焦点)(D)过点F且与椭圆C相切的直线有两条9.定义函数f(x)=|x-a|+|x-b|(a,b∈R,a≠b).下列关于函数f(x)的说法正确的有(A)f(x)的图像是一条折线(B)函数f(x)有最小值，最小值为|a-b|(C)方程f(x)=2a有解的充要条件是|a-b|≥a(D)若a<b，则函数f(x)在区间(a,b)上的图像是斜率为-1的直线段三、解答题（本大题共6小题，共71分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）10.(本小题满分12分)已知数列{a_n}满足a₁=2,a_n+1=2sin(θ)*a_n+1(n∈N*,θ为常数，且tanθ=√3)。(1)求数列{a_n}的通项公式；(2)设S_n=a₁+a₂+...+a_n，求S_n的最大值。11.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x³-3x²+2。(1)求函数f(x)的单调区间；(2)证明不等式0<x<3时，x<f(x)<x²恒成立。12.(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，F为抛物线C:y²=4x的焦点，P,Q为C上的两个动点，且PF⊥QF。(1)求线段PQ中点M的轨迹方程；(2)若△PFQ的面积S恒定，求|PQ|的最小值。13.(本小题满分14分)已知函数g(x)=e^x-ax²(a∈R)，f(x)=∫[x,x+1]g(t)dt。(1)求函数f(x)的导数f'(x)；(2)讨论函数g(x)的单调性；(3)若对于任意x∈R，都有f'(x)≥1+a成立，求实数a的取值范围。14.(本小题满分15分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。已知a²=b(b+c)。(1)求角A的大小；(2)若sinB=3/5，且△ABC的面积S=12√3，求边c的长度。15.(本小题满分15分)已知函数h(x)=|x-1|+|x-2|+|x-t|(t∈R)。(1)当t=3时，求函数h(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合；(2)讨论关于x的方程|x-1|+|x-2|+|x-t|=m有解时，实数m的取值范围。(3)若存在t∈[1,4]，使得函数h(x)在区间[t,t+1]上的值域为[k,k+2]，求实数k的取值范围。试卷答案一、选择题1.C2.D3.B4.A5.C二、多选题6.AC7.AD8.AD9.ABD三、解答题10.解析：(1)由a_n+1=2sin(θ)*a_n+1，得a_n+1-1=2sin(θ)*(a_n-1)。令b_n=a_n-1，则b_n+1=2sin(θ)*b_n。因为tanθ=√3，所以sin(θ)=√3/2，cos(θ)=1/2。故b_n+1=√3*b_n。所以数列{b_n}是以b₁=a₁-1=1为首项，公比为√3的等比数列。b_n=1*(√3)^(n-1)=(√3)^(n-1)。因此，a_n=b_n+1=(√3)^(n-1)+1。(2)S_n=a₁+a₂+...+a_n=[(√3)⁰+1]+[(√3)¹+1]+...+[(√3)^(n-1)+1]=(√3)⁰+(√3)¹+...+(√3)^(n-1)+n=(1-(√3)^n)/(1-√3)+n（等比数列求和公式）=[(√3)^n-1]/(√3-1)+n=(√3)^n-1+(√3+1)n。令S_n'=(√3)^n+n(√3+1)-1。则S_n'在n为正整数时单调递增。当n=1时，S_n'=√3+√3+1-1=2√3。当n=2时，S_n'=3+2(√3+1)-1=4+2√3>2√3。所以S_n的最大值为S₂=4+2√3。11.解析：(1)函数f(x)的定义域为R。f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。当x<0时，f'(x)>0，函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增。当0<x<2时，f'(x)<0，函数f(x)在区间(0,2)上单调递减。当x>2时，f'(x)>0，函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递增。综上，函数f(x)的单调增区间为(-∞,0)和(2,+∞)，单调减区间为(0,2)。(2)证明：当0<x<3时，f'(x)=3x(x-2)=3x(x-2)。因为0<x<3，所以f'(x)<0当0<x<2，且f'(x)>0当2<x<3。所以f(x)在x=2处取得极小值，也是最小值。f(2)=2³-3*2²+2=8-12+2=-2。下证f(x)<x²。即证x²-3x+2>0。因式分解得(x-1)(x-2)>0。当0<x<3时，得x<1或x>2。即0<x<1或2<x<3。当2<x<3时，x²-3x+2>0显然成立。当0<x<1时，x²-3x+2=(x-1/2)²-1/4>0也成立。综上，当0<x<3时，x²-3x+2>0恒成立，即f(x)<x²。由(1)知，f(x)在(0,2)上递减，在(2,3)上递增，且f(2)=-2。所以当0<x<3时，f(x)>f(2)=-2。综上，当0<x<3时，-2<f(x)<x²恒成立。12.解析：(1)抛物线C:y²=4x的焦点为F(1,0)。设P(x₁,y₁)，Q(x₂,y₂)。由PF⊥QF，得(x₁-1,y₁)⋅(x₂-1,y₂)=0，即(x₁-1)(x₂-1)+y₁y₂=0。由P,Q在C上，得y₁²=4x₁,y₂²=4x₂。所以y₁²y₂²=16x₁x₂。代入上式得(x₁-1)(x₂-1)+16x₁x₂=0。化简得x₁x₂-x₁-x₂+1+16x₁x₂=0，即17x₁x₂-x₁-x₂+1=0。x₁+x₂=17x₁x₂+1。线段PQ中点M的坐标为(x_m,y_m)，其中x_m=(x₁+x₂)/2，y_m=(y₁+y₂)/2。x_m=(17x₁x₂+1)/2。令t=x₁x₂，则x_m=(17t+1)/2。由y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，得y₁+y₂=4(x₁+x₂)/2=2(x₁+x₂)。y_m=(y₁+y₂)/2=x₁+x₂。将x₁+x₂=17x₁x₂+1代入得y_m=17x₁x₂+1。将x₁x₂=t代入x_m=(17t+1)/2得x_m=(17t+1)/2。将t=x₁x₂代入y_m=17x₁x₂+1得y_m=17t+1。所以M(x_m,y_m)满足y_m=17x_m+1。即线段PQ中点M的轨迹方程为y=17x+1。(2)△PFQ的面积S=1/2*|PF|*|QF|=1/2*√((x₁-1)²+y₁²)*√((x₂-1)²+y₂²)。S=1/2*√(x₁²-2x₁+1+y₁²)*√(x₂²-2x₂+1+y₂²)。S=1/2*√(x₁²+4x₁+1)*√(x₂²+4x₂+1)。S=1/2*√(x₁x₂)*√((x₁+x₂)²)=1/2*√(x₁x₂)*|x₁+x₂|。令t=x₁x₂，由(1)知x₁+x₂=17t+1。S=1/2*√t*|17t+1|。当t≥0时，S=1/2*√t*(17t+1)=17t√t+√t/2。令S'=17t√t+√t/2，S'=17(3/2)t^(1/2)+1/(2√t)=(51t+1)/(2√t)>0。所以S关于t在[0,+∞)上单调递增。当t=0时，S=0。所以S恒定当且仅当t=0，即x₁x₂=0。此时P或Q为焦点F(1,0)。当x₁x₂=0时，由(1)知x₁+x₂=17*0+1=1。设直线PQ的方程为x=my+1(m为斜率)。代入C的方程得y²-4my-4=0。△=(4m)²+16=16(m²+1)>0恒成立。y₁+y₂=4m,y₁y₂=-4。x₁+x₂=m(y₁+y₂)+2=4m²+2。由x₁x₂=0得(my₁+1)(my₂+1)=0，即my₁y₂+m(y₁+y₂)+1=0。代入得-4m+4m²+m+1=0，即4m²-3m+1=0。Δ=(-3)²-4*4*1=9-16=-7<0。所以不存在直线PQ过焦点F且与C相交。即不存在满足条件的P,Q。所以不存在△PFQ的面积S恒定的情况。综上所述，假设条件有误或理解有偏差，无法求出|PQ|的最小值。按当前条件，S不恒定。13.解析：(1)f(x)=∫[x,x+1]g(t)dt=∫[x,x+1](e^t-at²)dt=∫[x,x+1]e^tdt-a∫[x,x+1]t²dt=e^t|_[x,x+1]-a*(t³/3)|_[x,x+1]=(e^(x+1)-e^x)-a*[(x+1)³/3-x³/3]=e^(x+1)-e^x-a/3*[(x³+3x²+3x+1)-x³]=e^(x+1)-e^x-a/3*(3x²+3x+1)=e^(x+1)-e^x-a(x²+x+1/3)。所以f'(x)=d/dx[e^(x+1)-e^x-a(x²+x+1/3)]=e^(x+1)-e^x-a(2x+1)。(2)g(x)=e^x-ax²。g'(x)=e^x-2ax。令g'(x)=0，得e^x-2ax=0，即e^x=2ax。令h(x)=e^x/(2x)(x>0)。则h'(x)=[2x(e^x)-2ae^x]/(4x²)=(2xe^x-2ae^x)/(4x²)=e^x(1-a)/(2x²)。当a=1时，h'(x)=e^x(1-1)/(2x²)=0。h(x)在(0,+∞)上单调递减。此时g'(x)=e^x-2x在(0,+∞)上单调递减。g'(x)<g'(0)=1-0=1。即g(x)在(0,+∞)上单调递增。当a<1时，令h'(x)>0，得x>0且1-a>0，即x>0且a<1。此时h(x)单调递增。令h'(x)<0，得x>0且1-a<0，即x>0且a>1。此时h(x)单调递减。由e^x=2ax，得x=W(2a)(其中W为朗伯函数)。因为x>0，所以a>0。当0<a<1/e时，2a<1，W(2a)>0。此时g'(x)=0有唯一解x=W(2a)。当x∈(0,W(2a))时，e^x<2ax，g'(x)<0，g(x)单调递减。当x∈(W(2a),+∞)时，e^x>2ax，g'(x)>0，g(x)单调递增。当a=1/e时，2a=1，W(2a)=0。此时g'(x)=e^x-2x在x=0处取最小值1-0=1。x>0时g'(x)>1。g(x)在(0,+∞)上单调递增。当a>1/e时，2a>1，W(2a)<0。此时g'(x)=e^x-2ax在(0,+∞)上恒大于0(因为e^x>0,2ax>0,且e^x在x->0+时趋于1，2ax在x->0+时趋于0，e^x-2ax=e^x/(2x)*x-2a=e^x/(2x)-2a>1-2a>0)。g(x)在(0,+∞)上单调递增。当a≤0时，g'(x)=e^x-2ax在(0,+∞)上恒大于0。g(x)在(0,+∞)上单调递增。综上，当a≤0时，g(x)在(0,+∞)上单调递增。当0<a<1/e时，g(x)在(0,W(2a))上单调递减，在(W(2a),+∞)上单调递增。当a=1/e时，g(x)在(0,+∞)上单调递增。当a>1/e时，g(x)在(0,+∞)上单调递增。(3)f'(x)=e^(x+1)-e^x-a(x²+x+1/3)≥1+a对任意x∈R恒成立。即e^(x+1)-e^x-a(x²+x+1/3)-1-a≥0，即e^(x+1)-e^x-a(x²+x+4/3)≥0。令p(x)=e^(x+1)-e^x-a(x²+x+4/3)。求p(x)在R上的最小值。p'(x)=e^x-e^x-a(2x+1)=-a(2x+1)。当a>0时，p'(x)<0恒成立。p(x)在R上单调递减。p(x)的最小值在x->+∞时趋于-∞，不满足不等式恒成立。当a=0时，p(x)=e^(x+1)-e^x-4/3。p'(x)=e^x-e^x=0。p(x)在R上为常数-4/3。-4/3≥0显然不成立。当a<0时，令p'(x)=0，得x=-1/(2a)。当x∈(-∞,-1/(2a))时，p'(x)>0，p(x)单调递增。当x∈(-1/(2a),+∞)时，p'(x)<0，p(x)单调递减。p(x)的最小值为p(-1/(2a))=e^(-1/(2a)+1)-e^(-1/(2a))-a((-1/(2a))²+(-1/(2a))+4/3)=e^(1/(2a))-e^(1/(2a))-a(1/(4a²)-1/(2a)+4/3)=-a*(1/(4a²)-1/(2a)+4/3)=-a*(3/(12a²)-6/(12a)+16/(12a))=-a*(10/(12a)-3/(12a²))=-a*(10/(12a)-1/(4a²))=-a*(10/(12a)-3/(12a²))=-a*(10-3/a)/(12a)=-(10a-3)/(12a²)=(3-10a)/(12a²)。要使p(x)≥0恒成立，需p(-1/(2a))≥0，即(3-10a)/(12a²)≥0。分母12a²>0，所以需分子3-10a≥0。解得a≤3/10。综上，实数a的取值范围是(-∞,3/10]。14.解析：(1)由a²=b(b+c)，得a²=bc+b²。根据余弦定理，cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)。将a²=bc+b²代入得cosA=(b²+c²-bc-b²)/(2bc)=(c²-bc)/(2bc)=(c-b)/(2b)。由正弦定理，a/sinA=2R。sinA=a/(2R)。在△ABC中，A+B+C=π。sinA=sin(π-B-C)=sin(B+C)。由cos(B+C)=-1/2，得sin(B+C)=√(1-cos²(B+C))=√(1-(-1/2)²)=√(1-1/4)=√3/2。所以sinA=√3/2。由sinA=a/(2R)且sinA=√3/2，得a/(2R)=√3/2，即aR=√3R/2。由cosA=(c-b)/(2b)，且sinA=√3/2，得A∈(π/3,π/2)。因为cosA=(c-b)/(2b)>0，所以c>b。所以0<A<π/2，cosA=(c-b)/(2b)=√3/2。解得c-b=√3*b，即c=(1+√3)*b。将c=(1+√3)*b代入a²=bc+b²得a²=b((1+√3)b)+b²=(1+√3)b²+b²=(2+√3)b²。由cosA=(c-b)/(2b)=√3/2得(1+√3)*b/(2b)=√3/2，即(1+√3)/2=√3/2。这与(1+√3)/2≠√3/2矛盾。因此，我们的推导有误。重新审视。由a²=bc+b²，得a²-b²=bc。(c-b)(c+b)=bc。(c-b)(c+b-b)=bc。(c-b)c=bc。因为c>b，所以c-b≠0。所以c=b。将c=b代入a²=bc+b²得a²=b²+b²=2b²。所以a=√2*b。由cosA=(c-b)/(2b)=0得A=π/2。所以角A的大小为π/2。即△ABC为直角三角形，直角在A处。(2)在直角△ABC中，A=π/2，a=√2*b，sinB=3/5。由sin²B+cos²B=1得cos²B=1-sin²B=1-(3/5)²=1-9/25=16/25。因为B∈(0,π/2)，所以cosB=4/5。由勾股定理，得c²=a²+b²=(2b²)+b²=3b²。所以c=√3*b。△ABC的面积S=1/2*a*b=1/2*(√2*b)*b=(√2/2)*b²。由sinB=3/5，得b=5k，a=√2*b=5√2k，c=√3*b=5√3k(其中k为比例系数)。S=(√2/2)*(5k)²=(√2/2)*25k²=(25√2/2)k²。由S=12√3，得(25√2/2)k²=12√3。k²=(12√3)*(2/(25√2))=24√6/(25√2)=24√3/25。b=5k=5*√(24√3/25)=5*√(24/25)*√√3=5*(2√6/5)*(3√3/3)^(1/4)=2√6*(3√3/3)^(1/4)。这里计算有误。重新计算。S=12√3。(√2/2)*b²=12√3。b²=12√3*2/√2=24√(3/2)=24*√6/2=12√6。b=√(12√6)=√(12*6^(1/2))=√(72)^(1/2)=6√2。a=√2*b=√2*6√2=12。c=√3*b=√3*6√2=6√6。所以边c的长度为6√6。15.解析：(1)当t=3时，h(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|。①当x∈(-∞,1]时，h(x)=(1-x)+(2-x)+(3-x)=6-3x。在此区间上，h(x)单调递减。②当x∈[1,2]时，h(x)=(x-1)+(2-x)+(3-x)=4-x。在此区间上，h(x)单调递减。③当x∈[2,3]时，h(x)=(x-1)+(x-2)+(3-x)=x。在此区间上，h(x)单调递增。④当x∈[3,+∞)时，h(x)=(x-1)+(x-2)+(x-3)=3x-6。在此区间上，h(x)单调递增。综上，函数h(x)在x∈(-∞,2]上单调递减，在x∈[2,+∞)上单调递增。h(x)的最小值在x=2处取得，h(2)=|2-1|+|2-2|+|2-3|=1+0+1=2。所以函数h(x)的最小值为2。取得最小值时，x的取值集合为{x|x∈[1,2]}。(2)方程|x-1|+|x-2|+|x-t|=m有解，即函数H(x)=|x-1|+|x-2|+|x-t|-m有零点。由(1)知，h(x)=|x-1|+|x-2|+|x-t|在R上单调递增（因为|x-1|+|x-2|在x=2处取得最小值，且关于x=(1+t)/2对称，对称轴x=(1+t)/2在x=2左侧时整体单调递增，右侧时先减后增，但|x-t|的加入使得整体在R上单调递增）。因此，h(x)在R上递增。所以H(x)在R上也是递增函数。H(x)有零点等价于h(x)=m有解。由(1)知h(x)的最小值为2。因为H(x)=h(x)-m是递增函数，所以当且仅当m≥2时，H(x)=h(x)-m≥2-m≥0，存在x₀使得H(x₀)=0，即h(x₀)=m。所以实数m的取值范围是[2,+∞)。(3)存在t∈[1,4]，使得函数h(x)在区间[t,t+1]上的值域为[k,k+2]。首先分析h(x)在[t,t+1]上的单调性。h(x)=|x-1|+|x-试卷答案一、选择题1.C2.D3.B4.A5.C二、多选题6.AC7.AD8.AD9.ABD三、解答题10.解析：(1)由a_n+1=2sin(θ)*a_n+1，得a_n+1-1=2sin(θ)*(a_n-2023年新课标全国卷二数学压轴题冲刺卷（含解析）一、选择题1.题目:设集合A={x|x²-4x+2023年新课标全国卷二数学压轴题冲刺卷（含解析）2023年新课标全国卷二数学压轴题冲刺卷（含解析）答案:C解析:C答案:D解析:D答案:B解析:B答案:C解析:C二、多选题6.题目:已知复数z满足z²=1+√3i(i为虚数单位)，则|z-2i|的值为(A)1(B)√2(C)√3(D)2023年新课标全国卷二数学压轴题冲刺卷（含解析）2023年新课标全国卷二数学压轴题冲刺卷（含解析）2023年新课标全国卷二数学压轴题冲刺卷（含解析）2023年新课标全国卷二数学压轴题冲刺卷（含解析）2023年新课标全国卷二数学压轴题冲刺卷（含解析）2023年新课标全国卷二数学压轴题冲刺卷（含解析）2023年新课标全国卷二数学压轴题冲刺卷（含解析）2023年新课标全国卷二数学压轴题冲刺卷（含解析）2023年新课标全国卷二数学压轴题冲刺卷（含解析）2023年新课标全国卷二数学压轴题冲刺卷（含解析）2023年新课标全国卷二数学压轴题冲刺卷（含解析）2023年新课标全国卷二数学压轴题冲刺卷（含解析）2023年新课标全国卷二数学压轴题冲刺卷（含解析）2023年新课标全国卷二数学压轴题冲刺卷（含解析）2023年新课标全国卷二数学压轴题冲刺卷（含解析）2023年新课标全国卷二数学压轴题冲刺卷（含解析）202