2019-2020学年重庆育才中学高二第一次月考数学试题(解析版)

1、第1页共 16 页2019-2020学年重庆育才中学高二第一次月考数学试题、单选题1两直线a与b是异面直线，b/c，则a、c的位置关系是详解】故选： C点睛】2 .下列说法正确的是(1任意三点确定一个平面；2圆上的三点确定一个平面；3任意四点确定一个平面；4两条平行直线确定一个平面答案】 C解析】 考虑特殊情况，三点共线无法确定平面，当三点不共线时可以确定平面，而若 四点中的任意三点不共线，则可以确定四个平面，易得答案详解】 中，若三点在一条直线上， 则不能确定一个平面； 中，若四点中的任意三点不共线, 则可以确定四个平面；易知 正确 .点睛】本题考查共线问题和共面问题，属于基础题答案】 CA

2、 平行或相交B.异面或平行C .异面或相交D .平行或异面或相交答案】解析】 直观想象分析即可 .由题可得 , a、c 的位置关系可以是异面或相交本题主要考查了空间直线中的位置关系,属于基础题型 .A .B.C .D .3.若抛物线y22px的焦点为1,0，则p的值为(B.4C. 2D. 4第2页共 16 页【解析】利用抛物线y 2px的焦点坐标为,o，即可求出p的值.2【详解】因为抛物线y22px的焦点为1,0,所以-1,2p 2，故选 C.【点睛】本题主要考查抛物线的方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握情况，4 .已知平面，及直线 a,b，卜列说法止确的是（）A.a/b,b，则a/B.

3、a,b，则aC./,a,b,则a/bD.,a，则a【答案】B【解析】根据线面平行、垂直的性质与判定逐个判断即可【详解】对 A,a/b,b，也有可能a，故A错误.对 B,根据线面垂直的性质，若a，b，则：b.故 B 正确.对 C,若/，a，b，但a,b也可能异面，故 C 错误.属于基础题对 D,若，a,根据面面垂直的性质，则需要a垂直，交线才有a.故 D错误.故选：B【点睛】本题主要考查了空间线面、平行垂直的性质与判定，属于基础题5.等比数列anA.4B.4C.4【答案】 A【解析】由等比数列性质得a3ana7a；16因为等比数列中as,an,a?同号，所以a?-4，选 A.2 26 .对任意实

4、数，则方程x y sin4所表示的曲线不可能是（第3页共 16 页【答案】C【解析】思路分析：用 Ax2+By2=c 所表示的圆锥曲线，对于 k=0,1 及 k0 且 k 工1或 kV0,分别讨论可知：方程 x2+ky2=1 不可能表示抛物线7 在梯形ABCD中，ABC 90,AD/BC,BC 2AD 2AB 2将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）24A .B.33【答案】C由题意可知旋转后的几何体如图 直角梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为 1,母线长为 2 的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为 1 的

5、圆锥后得到的组合15体，所以该组合体的体积为V V圆柱Vo122 121 -33故选 C.【考点】1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.X28.若椭圆a2y b21 a b 0的离心率为3，则双曲线笃2a2y b21(a 0,b 0)的离心率为（）5A .B.上3C.D .54224【答案】B【解析】由题意首先确定 a,b 的关系，然后求解双曲线的离心率即可【详解】由椭圆%占1 a b 0的离心率为3可得：a2b22b3,得 a2=4b2，所以 a=2b.a 2A 椭圆B.双曲线C .抛物线D .圆第4页共 16 页所以双曲线的离心率eb?曲圧b?V5.a2b2故选 B.【点睛】本题

6、主要考查椭圆的离心率，双曲线的离心率等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力9 .下列说法正确的是（）A 若直线 a, b 与平面 所成角都是 30则这两条直线平行B .若直线 a 与平面 、平面 所成角相等，则/C.若平面内不共线三点到平面的距离相等，则/ /D .已知二面角I的平面角为 120 P 是 I 上一定点，则一定存在过点P 的平面，使与，与所成锐二面角都为 60【答案】D【解析】 根据线空间中线面的位置关系方法逐个证明或举出反例即可【详解】对 A,若直线 a,b 与平面所成角都是 30,则直线 a,b 也可能异面故 A 错误对 B,若直线 a 与平面 、平面所成角相等，易得反

7、例如，且直线 a 与平面 、平面所成角均为45时/不成立，故 B 错误对 C,若平面 内不共线三点到平面的距离相等，且三点在平面的两侧时/不成立，故 C 错误.对 D,易得当平面 过|且经过二面角I的平面角的角平分线时成立 故 D 正确故选：D【点睛】本题主要考查了空间中线面的位置关系，属于基础题型10 如果P是等边VABC所在平面外一点，且PA PB PC -,VABC边长为1,3那么PA与底面ABC所成的角是（）.第5页共 16 页【答案】A【解析】【详解】 如图，易知P ABC为正三棱锥，PO面ABC,PA与底面ABC所成的角，即为APO,A。#AB守，PA3，故PAO 30故选A.点睛

8、：线线角找平行，通过平行将异面直线转化为两个相交直线，再通过解三角形求夹 角，最后根据异面直线所成角范围求角的大小线面角找垂线，即通过线面垂直关系确定射影，再根据解直角三角形确定大小二面角找垂面，即找棱垂直的平面，得到平面角之后再解三角形即可11.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的个 数为().B.45C.60D.90cos PAOAO 3PA 2(1)AC BD(2)AC P截面PQMN(3) AC BD(4)异面直线PM与BD所成的角为45A第6页共 16 页B.2【答案】C【解析】QQM /PN, QM /面ABD,因此QM /BD,同理可得 AC /

9、 /MN ,Q AC/MNAC P截面PQMN；（2）正确；MN QMQQM /BD,AC/MN ,1,（3）不一定正确；AC BDQ QM / /BD,异面直线PM与BD所成的角为PMQ 45,正确，选 C.点睛：线线角找平行，通过平行将异面直线转化为两个相交直线，再通过解三角形求夹角，最后根据异面直线所成角范围求角的大小12 已知P ABC是正四面体（所有棱长都相等的四面体 ），E是PA中点，F是BC上 靠近B的三等分点，设EF与PA、PB、PC所成角分别为、，则（）.A .B .C .D .【答案】D【解析】分别取AB中点G,AC中点H,连结 GE ,GF,EH,FH,AF，如图所示，则

10、FEA,FEG,FEH,aaEH -,EG -,aFH -2 22QQM /BD, AC/MN,MN QMAC BD；（ 1）正确;由P ABC是正四面体（所有棱长都相等的四面体）第7页共 16 页，设正面体的棱长为a第8页共 16 页根据余弦定理可得AF27a2, *36a2故选 D二、填空题2 213 直线l : x y 3 0被圆C:(x 1) (y 2)16截得的弦长为_ .【答案】42【解析】 利用垂径定理求解即可.【详解】12 3_圆心1,2到直线l : x y 30的距离d -产)2J2.又半径为r 4.V2故弦长为2. r2d22 16 8 4.2.故答案为：42【点睛】本题主

11、要考查了垂径定理求解圆的弦长问题，属于基础题型14 自空间一点分别向 70。二面角的两个平面引垂线，这两条直线所成的角的大小是【答案】70【解析】画图分析求解即可【详解】EF2cosa272a49EF219a2cos2 EFEF aEF272a36EF2a218EF2EF2 EFEF acos2 EFEF a cos coscos，且，为锐角第9页共 16 页由图可得，自空间一点分别向 70。二面角的两个平面引垂线，两条直线所成的角的大小是70当该点在其他位置时也成立 第10页共 16 页【点睛】本题主要考查了空间中的角度问题属于基础题型15 .已知抛物线C : y24x的焦点为 F，准线为I

12、，过点 F 作倾斜角为 60 勺直线交抛物线于 A, B 两点(点 A 在第一象限)，过点 A 作准线 I 的垂线，垂足为 M ,则AFM的面积为_ .【答案】4.3【解析】根据抛物线的焦半径公式与三角形面积公式求解即可【详解】由题，先推导焦半径公式，如图设y22px,(p 0)中有|PF| t,PFx,过P引准第11页共 16 页【点睛】本题主要考查了抛物线焦半径公式与面积公式等，属于基础题型t1 cos1 cos604.又FAM 60故SAFM-44 sin6024.3.故答案为:4,3第12页共 16 页16.正四面体ABCD的棱长为 2，棱AB/平面 ，则正四面体上的所有点在平面的射影

13、构成的图形面积的最小值是 _ ，最大值是 _ .【答案】2,2【解析】当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影图形的一边始终是AB的投影，长度为 2,而发生变化的是投影的高，找出高的变化，得到答案.【详解】因为正四面体的对角线互相垂直，且棱AB/平面 ，当CD/平面 ，这时的投影面是对角线为 2 的正方形，此时面积最大，为121 2 2；2当CD平面 ，射影面的面积最小，此时构成的三角形底边2,高是直线CD到AB的距离，为,2，射影面积为122.2；2正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的最小值是2，最大值是2【点睛】本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算

14、投影面积的题，注意解题过程中的投影图的变化情况，属于中档题 三、解答题17.ABC的内角 A, B , C 的对边分别为 a, b, c,已知 b2c2a2be.(1)求 A;(2)若a 4 3，c 8, D 是BC上的点，AD .43，求ABD的面积【答案】(1)A(2)2、33【解析】(1)利用余弦定理求解即可【详解】丄，即cosA-，又A (0, )，故A-；223ac(2)由正弦定理得：sinC 1,sin A sin C1Q C (0, ) C-,B - ,b -c 4,262(2)利用正弦定理可得C2,再计算出BD利用三角形面积公式求解即可.2 2 2解：(1)Qb C2bc第13

15、页共 16 页在ACD中：CDAD2AC23 3，BD BC CD 3,SABD1AB BD sinB 2 32【点睛】本题主要考查了正余弦定理与三角形的面积公式解三角形的方法，属于中等题型18.如图几何体中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD,EC/PD，且PD AD 2EC 2.(1) 求证：BE/平面PDA;(2) 求PA与平面 PBD 所成角的大小.【答案】(1)见解析(2)-6【解析】(1)由 BC/AD ,EC/PD，结合面面平行判定定理可证得平面BEC/平 面PDA，根据面面平行的性质证得结论；(2)连接AC交BD于点0，连接PO，利 用线面垂直的判定定理可证得A0平面 PB

16、D，从而可知所求角为APO，在Rt APO中利用正弦求得结果【详解】(1)Q四边形ABCD为正方形BC/AD又AD平面PDA BC/平面PDA又EC/PD,PD平面PDA EC/平面PDAQ EC,BC平面BEC,ECI BC C平面BEC/平面PDAQ BE平面BECBE/平面PDA(2) 连接AC交BD于点O，连接PO第14页共 16 页Q PD平面ABCD,AO平面ABCD又四边形ABCD为正方形AO BDQ BD, PD平面PBD,BDI PD D AO平面PBDAPO即为PA与平面 PBD 所成角Q PD AD 2且PD ADPA2 2又AO1AC1、2222.22 2AO 1sin

17、 APOAPO PA 26即PA与平面 PBD 所成角为：6【点睛】本题考查线面平行的证明、直线与平面所成角的求解，涉及到面面平行的判定与性质、 线面垂直的判定与性质的应用；求解直线与平面所成角的关键是能够通过垂直关系将所 求角放入直角三角形中来进行求解19 已知等比数列an的前n项和Sn2n 1，其中 为常数.(1)求;(2)设bnlog2an，求数列an0 的前n项和Tn.【答案】(1)2(2)Tnn n 12n 122SnSn 1求出当n 2时an的通项，根据an为等比数列得到印的值后可得2(2)利用分组求和法可求anbn 的前n项和Tn.【详解】(1)因为Sn2n 1,当n 1时，印S

18、14，当n 2时，Sn 12nAO PD【解析】(1)利用an第15页共 16 页所以anSnSn 12n 12n2n,因为数列an是等比数列，所以an2n对n 1也成立,所以42，即2.(2)由(1)可得an2n,第16页共 16 页因为bnlog2an，所以bnlog22n所以Tn2 2223L 2n1n n 1n 1即Tn2n 12.2【点睛】(1) 数列的通项an与前n项和Sn个关系式实现an与Sn之间的相互转化(2) 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分 组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆 成一个数列连续两项

19、的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并 项求和法20已知 F 为抛物线C:y22px的焦点，点A(2,m)在抛物线 C 上，且| AF | 4.(1) 求抛物线 C 的方程；(2) 过点 F 作斜率为 2 的直线交抛物线 C 于 P、Q 两点，求APQ的面积.【答案】(1)y28x(2)SAPQ4.5【解析】(1)利用焦半径公式求解即可；(2)根据(1)中算得的方程，设直线PQ: y 2(x 2),再联立方程求解对应的二次方程，再 根据韦达定理与弦长公式计算|PQ|与A(2, 4)到直线PQ的距离，进而求得面积即可【详解】解: (1)Q|AF | 2卫4p 4,即 C 的方

20、程为y28x；2(2)将点 A 代入方程：m216,即m 4,A(2, 4).又直线PQ: y 2(x 2)，联立方程y22(X 2),消 y 得:x26x 4 0,y 8x设P X1,y1,Q X2,y2,则X1X26,X24,|PQ| V1 22|x1x2J1 22J624 4 10,S|,n 1SnSi1,n2，我们常利用这an的关系是第 i3页共 i6 页又点A(2, 4)到直线PQ的距离d|4=4_4 1乞5,SAPQ1|PQ | d 4 5. Vi 2252【点睛】本题主要考查了抛物线方程的焦半径公式与联立直线与抛物线方程求解三角形面积的方法，属于中等题型21.如图，三棱柱ABC

21、AiBCi的所有棱长都是 2,AAi平面ABC, D , E 分别是AC, CCi的中点.(1) 求证：平面BAE平面ABD；(2) 求二面角D BAiA的余弦值；(3) 在线段BiB(含端点)上是否存在点 M，使点 M 到平面ABD的距离为,5请说明理由【答案】(I)证明见解析；(2);(3)存在，理由见解析.5【解析】证明AE丄面AiBD即可证明平面BAE平面ABD；(2)设AD交AE于点 0,过点 A 作AF AB,连 0F ,证明OFA即为所求二面角再计 算即可；取ACi中点Di，连接BiDi,DDi，再证明当点 M 与点Bi重合时，点 M 到平面AiBD的 距离为U即可5【详解】(I

22、)证明：Q AAi面ABC,BD面ABC,AA BD,又BD AC,AAiI AC A,BD面AACQ,AE面ACiC,BD AE，Q ACEAiAD 90,AiA AC,AD CE,AIADCAE,第 i4页共 i6 页则ARDCAE,AE A1D，又QAD BD D，结合可得AE丄面AiBD,又Q AE平面BAE，二面BAE面ABD；(2)设AD交AE于点 O,过点 A 作AF AiB,连 OF ,Q AEA面A1BD,AB平面ABD,AE A1B,OFA即为所求二面角,在Rt AAiB中：AF 2，在AA1D中：AAiAD AiD AO,Rt AOF中：OF；AF2AO2AO2.55.3

23、0,cos OFAOF.155AF5.T5-5取AiCi中点Di，连接BiDi,DDi，Q四边形AACiC为平行四边形，AC/ACi且AC AiCi，Q D、Di分别为AC、AiCi的中点，四边形 AAiDiD 为平行四边形，AAi/DDi且AAiDDi,在二棱柱ABCABiCi中，AAi/BBi,DD/BBi, B,Bi,D,Di四点共面，Q DDi面A, BiCi,AG平面ABiCi，故DDiACi,Q AFAiB,AE AF A,AiB面AEF,QOF 面AEF,ABOF因此，二面角D BAiA的余弦值为(3)当点 M 与点Bi重合时，点 M 到平面AiBD的距离为第 15 页共 16 页又B1D1A|C1,DD1I B1D1D1,AIC1平面BDD1B1设点Bi到平面A|BD的距离为h，由VBIABD即h SA1BDIAD SB.BD，即!h AiD BD3332故当点 M 与点Bi重合时，点 M 到平面AiBD的距离为【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明与性质，同时也考查了二面角的计算、利用等体积法计算点到平面的距离属于中等题型1222 .已知椭圆C的中心在原点，焦点在X轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y x的4 焦点，离心率等于乙5.5(1)求椭圆C