2019届山东省临沂市高三模拟考试(三模)数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 2424 页2019 届山东省临沂市高三模拟考试（三模）数学（理）试题一、单选题1.1.设集合A =xln x0 0 时，直线过可行域且在 y y 轴上截距最 大时，z z值最大，在 y y 轴截距最小时，z z 值最小；当 b bv 0 0 时，直线过可行域且在 y y 轴上 截距最大时，z z 值最小，在 y y 轴上截距最小时，z z 值最大. .5 5从 0 0, 1 1, 2 2, 3 3 这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为()252 25A A B B. 一C.-D D .779 99y y 轴上的截距最大，B 2,2处取得最大值,第

2、5 5页共 2424 页【解析】由题意列出所有可能的结果，然后结合古典概型计算公式可得概率值【详解】能组成两位数有：1010, 1212, 1313, 2020, 2121, 2323, 3030, 3131, 3232，总共有 9 9 种情况. .其中偶数有 5 5 种情况，故组成的两位数是偶数的概率为故选：D.D.【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，属于中等题 6 6 .函数f x ,g x的定义域都为R，且f x是奇函数，g x是偶函数，设h(xf (x +1片g (x +1)，则下列结论中正确的是()C C .h x的图象关于x =1对称D D.h x的图象关于x = -1对称【答案

3、】D【解析】由题意结合函数的奇偶性和函数的平移特性即可确定后函数h x的性质【详解】首先考查函数H(x)= f(xj+g(x),其定义域为R，且H (-x)= f (-x) + g(-x)= f (x”g(x)= H (x),则函数H x为偶函数，其图像关于y轴对称，将H (x )的图像向左平移一个单位可得函数h(x)=H (x+1)=|f (x+1 + g(x+1)的图像，据此可知h x的图象关于x = -1对称故选：D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数图像的平移变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力7 7 .秦九韶，中国古代数学家，对中国数学乃至世界数学的发展做出了杰出贡献

4、.他所创立的秦几韶算法，直到今天，仍是多项式求值比较先进的算法用秦九韶算法是将f x =2019x20182018x20172017X2012x 1化为A A.h x的图象关于(1,0)对称B B.h x的图象关于(-1,0)对称第6 6页共 2424 页由题意，在 ADCADC 中，由余弦定理可得:9 16 T31cosC =-2汉3汉42则sin C -,2f X j：2019x 2018x x 2017 x2x1再进行运算，在计算f Xg的B B.n _2和S二Sxgn 1D D.n_1和S=Sxgn-1【答案】C C【解析】由题意结合秦九韶算法和流程图确定所需填入的程序语句即可【详解】

5、由题意可知，当n =1时程序循环过程应该继续进行，n= 0时程序跳出循环， 故判断框中应填入n _ 1,由秦九韶算法的递推关系可知矩形框中应填入的递推关系式为：S二 n, 故选：C.C.【点睛】本题主要考查流程图问题， 流程图与秦九韶算法的综合运用等知识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力8 8.在ABC中，B =45,D是BC边上一点，AD 13,AC =4,DC =3,则AB的长为（）C C.3.3【答案】D D【解析】 首先求得cosC的值，然后利用正弦定理解三角形即可【详解】值时，设计了如下程序框图，则在和中可分别填入（）A A.n_2和S=SXDn3“62第7 7页共 2424

6、页据此可得：AB=26. .故选：D.D.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 2 2XV229 9若双曲线2=1 a 0,b 0的一条渐近线被圆x- V-2 =2所截得的a b【详解】设圆心到直线的距离为d，由弦长公式可得：2、.2_d2= 2，解得：d = 1,双曲线的渐近线方程为：bx_ay=O，圆心坐标为0,2,0士2a2ac故：-=1，即：1，双曲线的离心率e2. .a bca故选：B.B.【点睛】本题主要考查圆的弦长公式，点到直线距离公式，双曲线离心率的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. .1010 如图是

7、某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大截面的面积是( )在VABC中，由正弦定理可得:ABsin CAC，即:sin BAB 4：3 一2，2 2弦长为 2 2,则双曲线C的离心率为()A A 、3C、,5【答案】B B【解析】由题意首先求得圆心到直线的距离，双曲线的离心率 B B. 2 2D D 2-5然后结合点到直线距离公式整理计算可得第8 8页共 2424 页A A 2 2B B.3【答案】A A【解析】首先确定几何体的空间结构特征，然后结合面积公式求解面积的最大值即可【详解】由三视图可知其对应的几何体是一个半圆锥，且圆锥的底面半径为 故俯视图是一个腰长为 2 2,顶角为1

8、20的等腰三角形,易知过该几何体顶点的所有截面均为等腰三角形，且腰长为2 2，顶角的范围为0：,120；,1设顶角为二，则截面的面积：S 2 2 si- 2s in二,2当v -90时，面积取得最大值2. .故选：A.A.【点睛】本题主要考查三视图还原几何体的方法，三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 r = . 3，咼h = 1，第9 9页共 2424 页1111若函数f x=x2-kex在（0,上单调递减，则k的取值范围为（）第1010页共 2424 页【答案】C C【详解】由函数的解析式可得：f x = 2x - kex，函数在（0,：）上单调递减，则2x据

9、此可得：k-恒成立，e2x2-x令g x =-x x 0，则g xe_ee故函数g x在区间0,1上单调递增，在区间 1,=1,=上单调递减，22函数g x的最大值为g 1，由恒成立的结论可得：k_ ，ee表示为区间形式即2, ,；. ._e_e故选：C.C.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，函数最值的求解，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力（兀）1212 .已知函数f x =sinl2x，若方程I 6丿（0 X1CX2v 兀）,则sin（为x2）=（34A A. - 一B B.55【答案】B B【解析】由题意首先确定函数的对称轴，然后结合题意和三角函数

10、的性质、同角三角函数基本关系和诱导公式即可确定sin （xi x2）的值. .【详解】_e【解析】将原问题进行等价转化为恒成立的问题,然后利用导数的性质可得实数k k 的取x 4 41313 .已知向量a，b满足：a=3,b=4,a+b= V41，则| a b|=_【答案】3 344【解析】由题意结合平行四边形的性质可得a -b的值 【详解】 由平行四边形的性质结合平面向量的运算法则可得:2 a【点睛】本题主要考查向量模的计算，平行四边形的性质等知识， 意在考查学生的转化能力和计 算求解能力 14.已知函数f x=logax-1 -1（a0,且a = 1）的图象恒过点A，若点A在角的终边上，则

11、cos2-sin【答案】5【解析】 首先确定点 A A 的坐标，然后由三角函数的定义求得sin：,co的值，最后结(2sin为-x2=sin 2x2(n二sin 2x232二cos I 2x2-I26丿 n1由题意：sin 2x2I26丿据此可得:ab =3. .+a_b2,+ b )=a+b +ab,即：2(32+42)=(阿 $第1313页共 2424 页合二倍角公式可得三角函数式的值第1414页共 2424 页【详解】由函数的解析式可知点A A 的坐标为A 2, -1,由三角函数的定义可得:【点睛】本题主要考查对数函数恒过定点问题，由终边点的坐标求解三角函数值的方法等知识, 意在考查学生

12、的转化能力和计算求解能力 (2弋15在1 x的展开式中，x3项的系数为I x丿【答案】4040【解析】由题意利用排列组合的性质可得X3项的系数. .【详解】由题中的多项式可知，若出现X3，可能的组合只有：p(-X f和-K(-X j4, 乙x.X j结合排列组合的性质和二项式展开式的过程可得X3系数为：C获13汉20疋(一1,+。6汇11汇。5汉21汉(一14=40.【点睛】本题主要考查二项式展开式与排列组合的综合运用，属于中等题21616 已知抛物线C : y =2px p 0的焦点为F，直线I与C交于A,B两点，AF _ BF，线段AB的中点为M，过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N,A

13、B则-1的最小值为_ MN【答案】.2【解析】由题意结合抛物线的定义和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. .【详解】如图所示，设抛物线的准线为I，作AQ一l于点Q,BP _ l于点P,_ 2.5，故cos2：- -sin2： =cos2二一sin2x sin2:I I - -5第1515页共 2424 页由抛物线的定义可设：AF = AQ = a, BF =|= b,当且仅当a=b时等号成立【点睛】的转化能力和计算求解能力 三、解答题1717 .已知数列满足印=1耳1二an 2n2.(1) 判断数列an2n，是否为等差数列，并说明理由；(2) 记Sn为数列n 的前n项和，求Sn. .【

14、答案】(1 1)见解析；(2 2)Sn二n22 n-2n2【解析】(1)(1)由题意结合等差数列的定义和数列的递推关系即可确定数列为等差数列；(2)(2)结合(1)(1)中的结论首先确定数列的通项公式，然后分组求和确定其前 n n 项和即可. .【详解】(1 1)- an 1二an-2n2,由勾股定理可AB+|BF|2= Ja2+b2,由梯形中位线的性质可MN则:122a ba b22- ab2AB.a2bMN2. .AB |MN的最小值为J2 .本题主要考查抛物线的定义及其应用,均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生AF第1616页共 2424 页 ani，2n1- an-2n=2, -

15、数列an- 2n为公差为2的等差数列(2(2) /a1=1 ,:.a12=3，由(1 1)可得：an2n= 3 2(n -1)=2n 1, & =2(1 2 3 HI n) - 2 2223|l| 2nn,2 1-2二n22n - 2n 12. .【点睛】本题主要考查由递推关系式证明数列为等差数列的方法,考查学生的转化能力和计算求解能力 1818 如图，已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，点E是CD的中点，将BEC沿BE折起到BEC的位置，使二面角C-BE-C是直二面角.(1)证明:BC_ 平面AEC;(2(2)求二面角C - AB - E的余弦值.【解析】(1)(1)由题意利用几何

16、关系结合线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(2)(2)由几何体的空间结构特征建立空间直角坐标系，分别求得两个半平面的法向量，利用所得的法向量整理计算可得二面角的余弦值 【详解】(1 1) TAB=2AD=2，点E是CD的中点，ADE,BCE都是等腰直角三角形，/AEB=90,即AE丄BE.又 T二面角C-BE -C是直二面角，即平面C EB 平面ABE,平面C EB -平面ABE二BE,AE平面ABE,分组求和的方法等知识， 意在【答案】(1 1)见证明;第1717页共 2424 页二AE_ 平面C EB,又 TBC平面C BE, BC _ AE,又TBC _EC,EC平面AEC,AE一E

17、C = E,BC_ 平面AEC. .(2 2)如图，取BE的中点O,连接CO,TCB =C E, CO _ BE,平面C EB_平面ABE，平面C EB 平面ABE = BE,CO平面CEB,- C O_ 平面ABE,过O点作OF LI AE，交AB于F,TAE _ EB, OF _ OB,以OF,OB,OC所在的直线为x轴、y轴、z z 轴，建立如图所示坐标系O - xyz,则O(0,0,0),A竝-,Bh 逅0、,討0,0纠12丿12丿12丿CA =远-辺，-辽,二0,辽I 22丿12设n = (x, y, z)为平面ABC的一个法向量，则所以cos ”：m, n巴卫13，即二面角C -

18、AB - E的余弦值为丄3n CA=0“昴，$-辽y-辽z=0即 一2一2、2、2门取 y y = = z=1z=1，贝 V V x=1x=1 ,- n = (1,1,1),ABE, m =OC二0,0,为平面ABE的一个法向量,第1818页共 2424 页|m| |n| V333第1919页共 2424 页【点睛】 本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)(1)求解本题要注意两点： 一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算.设m,n分别为平面 aB的法向量，则二面角(与m, n互补或相等 求解时一定要 注意结合实际图形判

19、断所求角是锐角还是钝角.2 2Xy佃.已知椭圆C:二2a b 0的离心率为abN两点，OMN(O为坐标原点)的面积为 .X2(1)求椭圆C的方程;2 2【答案】(1 1)H1( 2 2)4 284【解析】(1)(1)由题意求得 a,b,ca,b,c 的值即可确定椭圆方程；(2)(2)分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和均值不等式即可确定三角形面积的最大值【详解】2 2(1)椭圆C :笃与=1(a b 0)与抛物线y2= = X X 交于M,N两点，a b可设M (x,、x),N (x, - x),OMN的面积为;a -1 - a 1,-x X =2

20、 2，解得x=2, M(2, J2),N(2,-、2),， 且与抛物线2 2(2)如图，点A为椭圆上一动点(非长轴端点)Fi,F2为左、右焦点，AF2的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，求ABC面积的最大值.第2020页共 2424 页a -T42由已知得22=1，解得a=22,b=2,c = 2,a b2以丄2a =b +c2 2-椭圆C的方程为.1. .84(2 2)当直线AB的斜率不存在时，不妨取A(2八2),B(2,-、2),C(_2,-.2),故=ABC = 2 2 4 = 4 J2；2，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y二k(x-2),A x,y, B X

21、2,y2，,k(x-2)联立方程x2y2，化简得2k21 x2-8k2x 8k2-8=0,84 -则,=64k2-4 2k21 8k2-8=32k210，228k8k -8X?2，XX222k212k21I _2kI2 Ik I点O到直线kx -八2k =0的距离d二J k1，| AB | T k2讣X1- X2-4X1x2(1+k2)F8k2,8k2- 8-422k21k212k2因为O是线段AC的中点，所以点C到直线AB_4|k|_.k21SZABC=1 |AB|2d =1k21k2k212kT器也）第2121页共 2424 页k2k21k2k21(2k2+1)k2+(k2+1 )2k2k

22、214k2k211一，又k2= k2 1,所以等号不成立4第2222页共 2424 页2 2k k 1222k 1综上，ABC面积的最大值为4 2.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)(1) 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)(2) 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.2020 在中国移动的赞助下，某大学就业部从该大学20182018 年已就业的A、B两个专业的大学本科毕业生中随机抽取了 200200 人进行月薪情况的问卷调查， 经统计发现，他们的月 薪收入在30003000 元

23、到 90009000 元之间，具体统计数据如下表：月薪(百元)弓0,40 )一40,50 )_50,60 )60,70 )70,80)80,90)人数202036364444505040401010将月薪不低于 70007000 元的毕业生视为 高薪收入群体”,并将样本的频率视为总体的概率, 巳知该校20182018 届大学本科毕业生李阳参与了本次调查问卷，其月薪为35003500 元.(1 1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的2 2列联表，并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.0250.025 的前提下认为高薪收入群体”与所学专业有关？非咼薪收入群体咼薪收入群体合计A A 专业B

24、 B 专业2020110110合计(2 2)经统计发现，该大学 20182018 届的大学本科毕业生月薪X(单位：百元)近似地服从正态分布N(=196),其中近似为样本平均数X(每组数据取区间的中点值)若X落在区间(-2 4.2 ,S.ABC第2323页共 2424 页，2 2 二)的左侧，则可认为该大学本科生属就业不理想”的学生，第2424页共 2424 页学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，为以后的毕业生就业提供更好的指导1试判断李阳是否属于 就业不理想”的学生；2中国移动为这次参与调查的大学本科毕业生制定了赠送话费的活动，赠送方式为：月薪低于J的获赠两次随机话费，月薪不低于J的获赠一次随

25、机话费，每次赠送的话赞Z及对应的概率分别为：赠送话费 z z （单位： 元）6060120120180180概率11 1123 36则李阳预期获得的话费为多少元附：K22n ad be亠，其中，n =a b e d.a b b e e d b d【答案】（1 1）见解析；（2 2）见解析；见解析【解析】（1 1）首先写出列联表，然后计算K2的值给出结论即可；由题意求得亠-2二的值然后判定学生就业是否理想即可;由题意首先确定 Z Z 可能的取值，然后求得概率可得分布列，最后利用分布列计算数学期 望可得其预期获得的话费 【详解】（1 1）列出列联表如下：非咼薪收入群体咼薪收入群体合计A专业6060

26、30309090B专业90902020110110合计1501505050200200200（620一3 9）2迥七061 5.024，150 50 90 11033所以在犯错误的概率不超过0.0250.025 的前提下能够判断高薪收入群体”与所学专业有关（2 2）月薪频率分布表如下：K2第2525页共 2424 页月薪(百元)30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)人数202036364444505040401010频率0.10.10.180.180.220.220.250.250.20.20.050.05将样本的频率视为总体的概率，该大学20182018 届

27、的大学本科毕业生平均工资为：=35 0.145 0.18 55 0.22 65 0.25 75 0.2 85 0.05 =59.2,月薪X N(打96),；2“96，二=14,-2;- - 59.2 28 =31.2,20182018 届大学本科毕业生李某的月薪为35003500 元二35百元勺丄-2：；-31.2百元，故李阳不属于 就业不理想”的学生；由知亠-59.2百元=5920元，故李阳的工资为 35003500 元，低于J，可获赠两次随机话费，所获得的话费Z的取值分别为 120120, 180180, 240240, 300300, 360360,111111P(Z =120)=汉,P

28、(z =180) =c2汇汇=-,2242 3 31 1115P(Z =240) =X +c2汉汉=,332 6 18111P(Z =300)汇乂=-,3 691 11P(Z -360). .6 6 36故Z的分布列为：Z12012018018024024030030036036011511P4318936则李阳预期获得的话费为1丄1丄5丄1丄1EY =120180240300360200(元). .4318936【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列的计算与期望的计算等知第2626页共 2424 页识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力第2727页共 2424 页x

29、eX二一2X22mx+1(1)若m(一1,1)，求函数f x的单调区间;所表示的平面区域内，请写出判断过程.【答案】(1 1)见解析；(2 2)见解析【解析】(1 1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(2 2)将原问题进行等价转化，分别考查所构造函数的最大值和最小值即可判定题中的结果是否成立 【详解】()解：/m ( -1,1),= 4m2- 4：0，二y =x2- 2mx 1 0恒成立， 函数定义域为R, ,exx2-2mx 1 Lex(2x -2m)2 2x-2mx 1exx2-(2m 2)x 2m 12 2x- 2mx 1ex(x -1)(x-2m -1) (x

30、2_2mx +1 )1当m=0时，即2m 1，此时 f f (x)(x)0 0 , f f (x)(x)在R上单调递增,2当0 : m：1时，即1 . 2m 1：3,x (-：,1)时，f (x)0, f(x)f(x)单调递增,(1,2m1)时，f (x)：0, f f (x)(x)单调递减，(2 m，1,=)时，(x) 7 ,f f (x)(x)单调递增； 一1：m : 0时，即 一1：2m 11时，x(：,2m 1),f (x) 0, f(x)f(x)单调递增,x(2 m 1,1)时，f (x)：0, f f (x)(x)单调递减，(1,r),f (x)0, f f (x)(x)单调递增，

31、综上所述，m=0时，f(x)f(x)在R上递增，2121.已(2)(2)若m0，4，则当0,2m1时，函数 y y 二 f f x x 的图象是否总在不等式第2828页共 2424 页20m：1时,f f (x)(x)在(-：,1)和(2m T：)上递增，在(1,2m - 1)上递减；3-V：m 0时，f(x)f(x)在(-：,2口1)和(1：)上递增，在(2 m 1,1)上递减. .第2929页共 2424 页由( 1 1) 知 f(x)f(x)在0,1递增，在1,2m - 1递减,令g(x) =x，则g(x)在R上为增函数,函数y二f (x)的图象总在不等式y x所表示的平面区域内，等价于

32、函数f(x)f(x)图象总在g(x)图象的上方，当X O1】时，f (x)min二f (0) =1,g(X)max二g(X)=1，所以函数 f(x)f(x)图象在g(x)图象上方；当1,2m 1时，函数 f(x)f(x)单调递减，2m 1所以 f(x)f(x)最小值为f(2m1)= -，g(x)最大值为g(2m 1 2m 1，2m+2所以下面判断f (2 m 1)与2m 1的大小，2m 1即判断 卫 与2m 1的大小，2m +2(11因为m0,，所以即判断e2m1与(2m 1)(2m 2)的大小,I 4f们f 3令x =2m 1，:m 0,， 二x 1,14I 2即判断ex与x(x 1)的大小

33、，作差比较如下：令u(x)二ex-x(x 1),xI1,寸则u (x)二ex-2x -1,令h(x) =u (x)，则h (x)二ex-2,因为-1,|，所以h (x)0恒成立，u(x)在-1,|上单调递增;i3、-又因八。3,u-40，1,，使得u x0jue -2x0T = 0,.2所以存在x0-第3030页共 2424 页所以u(x)在1,xo上单调递减，在ix。,？上单调递增,I 2所以U(x)UX。=e -Xo-Xo=2xo1-xo- X。=-X。xo1,因为二次函数v(x) =-X2 x 1的图象开口向下，其对称轴为u(x)uX)= v x00,即ex(V x)x，也即f (2m

34、1) 2m 1,所以函数 f(x)f(x)的图象总在直线y=x上方,所以函数y = f (x)的图象总在不等式y x所表示的平面区域内【点睛】导数是研究函数的单调性、极值( (最值) )最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识解析几何、微积分相联系.(2)(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性,求参数.(3)(3)利用导数求函数的最值( (极值) )，解决生活中的优化问题.(4)(4)考查数形结合思想的应用.X = 1 cos：2222 .在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数)，以。为y =si na极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为P s

35、in日+cos日=1.I3丿(1)求C的极坐标方程和直线I的直角坐标方程;OM ON的取值范围.【答案】(1)圆C的极坐标方程为二2cos二直线I的直角坐标方程为(2(2)射线耳卜禺与圆C的交点为。，M，与直线I的交点为N，求所以v(x)-x2x 1在1,上单调递减.2因为X。1,3时，VXov19.3.1丄o,2424所以点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)(1)考查导数的几何意义，往往与第3131页共 2424 页(2)1,3第3232页共 2424 页【解析】(1)(1)首先化为直角坐标方程，然后转化为极坐标方程可得C C 的极坐标方程，展开三角函数式可得 I I 的普通方程；(2)(2)利用极坐标方程的几何意义， 将原问题转化为三角函数求值域的问题，据此整理计算可得|0M| 0叫的取值范围.【详解】(1