2019届广东省潮州市高三第二次模拟数学(文)试题(解析版)

1、【解析】直接利用等差数列的求和公式求解即可第 1 1 页共 1919 页2019 届广东省潮州市高三第二次模拟数学（文）试题一、单选题21 1.已知集合A 2, 1,0,1,2,B xx 2x 3 0，则AI B（）A A.2, 1,0,1B B. -1,0,1,2C C.2D D.2, 1,0,1,2【答案】B B【解析】解出集合B，然后进行交集的运算即可.【详解】2Q B x x 2x 3 0 x 1 x 3，所以A B 1,0,1,2,故选：B.B.【点睛】本题考查交集的计算，涉及一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题. .【答案】A A可.【详解】2 4i，所以z 2 5,故选

2、：A.A.【点睛】本题考查了复数的除法运算与模长的计算问题，是基础题.D D . 1515 斤2 2 .已知复数 z z 满足z 1i2 6i（i为虚数单位），贝U z为（A A. 2.5B B. 1616C C.4、3D D .4【解析】先利用复数的除法运算将复数z z 化为一般形式，结合复数的模长公式，计算即3 3 .我国古代名著九章算术中有这样一段话:今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.意思是:现有一根金锤，长 5 5 尺，头部 1 1 尺，重 4 4 斤，尾部1 1 尺，重 2 2 斤”若该金锤从头到尾,每一尺的重量构成等差数列,该金锤共重多少斤?【解析】直接利用等差

3、数列的求和公式求解即可第 1 1 页共 1919 页【答案】D D第3 3页共 1919 页【详解】因为每一尺的重量构成等差数列an, a ai4 4 ,a 2 ,aia56,数列的前 5 5 项和为S55aia55 3 152即金锤共重 1515 斤，故选 D D.【点睛】本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力,属于基础题. .数解析式，结合的取值范围可求得的值， 然后代值计算可得出f的值【详解】由题意可知，函数y fx的周期为T -115223126TQ f2,22k k Z2kkZ,6626Q0,则f x2sin 2x ,f2sin 16，66故选：A

4、.A.【点睛】4 4 .函数f x2sinx0,0的部分图象如图所示，则f17/1 ! X0至& A A.1B B.12【答案】A AC C .仝【解析】由函数图象可求函数周期，利用周期公式可求，将点，2的坐标代入函6( )第4 4页共 1919 页2 25 5.双曲线 笃爲1 a 0,b 0的一条渐近线y 2x，则该双曲线的离心率e a2b2( )A A.3B B.C C. -5D D.22 2【答案】B B【解析】根据渐近线的斜率求解基本量之间的关系，再求解离心率即可 【详解】故选：B B【点睛】6 6.已知向量a 1,2,b x,4且a/b，则aC C.35【答案】得结果 【详解】3,6

5、本题正确选项:【点睛】涉及到利用向量共线求解参数、向量的坐标运算问题，属于基础题 7 7如图，正方形ABNH和正方形MDEF的面积相等，正方形GMCN为两个正方形本题主要考查了由图象求正弦型函数的解析式,数形结合思想，属于基础题.考查了三角函数的图象和性质，考查了因为一条渐近线y 2x, ,故b2, ,故e Jb.5.本题主要考查了双曲线中的渐近线与基本量的求解 属于基础题. .B B.5.3【解根据向量平行可求得x，利用坐标运算求得a b3,6，根据模长定义求Q a/b4 2xr bra本题考查向量第5 5页共 1919 页1的公共部分，GN 3HN，在多边形ABCDEFGH内随机取一个点，

6、则这个点取自 阴影部分的概率为()第6 6页共 1919 页故选：C.C.1A .-9【答案】C C171D .18【解设出正方形ABNH的边长为3，计算出对应区域的面积，结合几何概型的概率公式【详设正方形ABNH的边长为3，则正方形GNCM的边长为1,1SABCDEFGH9 2 1 17,SGNCM1，所求概率为17故选：C.C.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合图形求出对应正方形的面积是解决本题的关键，考查计算能力，属于基础题 138 8.已知点A 3,1在直线y mx n m 0,n 0的图象上，贝U的最小值为m n( )A A .8B B.9C C.12D D .18【解析

7、】将定点A的坐标代入ymx n,得出到3m n 1,再利用基本不等式即可求得答案.【详依题意得,3m9m12,当且仅当9m，即n 3m时取等号，因此,n13的最小值为12. .m n2 2B.第7 7页共 1919 页【点睛】本题考查基本不等式，考查基本不等式中1的妙用，考查计算能力，属于基础题.第8 8页共 1919 页正方形ABCD的边长为2,ABE为以E为直角顶2r2 AD可计算出四棱锥E ABCD的外接球半径R，进而可计算出该四棱2锥外接球的表面积 【详解】Q四边形ABCD为正方形，则AB AD，Q平面ABE平面ABCD，平面ABEI平面ABCD AB，AD平面ABCD，AD平面ABE

8、， 由于ABE为以E为直角顶点的等腰直角三角形，则该三角形的外接圆半径为AB彳rAB1,所以，四棱锥E ABCD的外接球半径R从而外接球的表面积为4 R28故选：D.D.【点睛】计算能力，属于中等题【答案】A A9 9如图，四平面ABE平面ABCD,则该几何体外接球的表面积为（）C C 2 .2【解析】推导出AD平面ABE，计算出ABE的外接圆半径r，利用公式本题考查多面体外接球表面积的求法,推导出线面垂考查推理能力与1010 .已知x、y满足，则 3x3x y y 的取值范围是（A A.1,B B.1,8C C.2,7D D.1,点的等腰直角三角形,【答案】D D8第9 9页共 1919 页

9、【解析】利用待定系数法求得3x y x y 2 x y，结合不等式的基本性质可求得 3x3x y y 的取值范围【详解】3x y x y 2 x y，1x y 1由题意得，由不等式的基本性质可得1 3x y 7. .22 x y 6因此，3x3x y y 的取值范围是1,7. .故选：A.A.【点睛】本题考查不等式取值范围的计算，本题用到了待定系数法结合不等式的基本性质求解，也可以作图利用线性规划知识解决，是中档题.xx1111.设函数f X e ex，则使得f 2x f x 1成立的 x x 的取值范围是( )U 1,【答案】B B【解析】 分析出函数y f x是R上的增函数，结合单调性可求

10、得不等式f 2x f x 1的解集. .【详解】由于函数 力exx为R上的增函数，函数yex是R上的减函数，所以，函数f x e* e % x是R上的增函数，由f 2x f x 1得2x x 1，解得x 1. .故选：B.B.【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，推导出函数的单调性是解答的关键，考查分析问设3x ya x y b x y a b x a b，可得,1B B.1 1C C.亍1第1010页共 1919 页题和解决问题的能力，属于中等题 311212 .已知函数g x a x（x e,e为自然对数的底数）与h x 3lnx的图e象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）

11、A . Je3331B B.1,e3C C.3e3,e33D.e33,【答案】 B B【解析】 由已知，得到方程a x33ln x,可得a3x 3ln x在区间1-,e上有解,e构造函数f xx33l nx，利用导数求出函数y -r， 、1f x在区间，ee上的值域，即可求得实数a的取值范围【详解】1再转化为方程a x33l nx在，e内有解，构造函数f xx33l nx，令e23 3x33ZRf x 3x0，得x 1，x x1当x 1时，f x 0，此时函数y f x单调递减；当1 x e时，f x 0，e此时函数y f x单调递增 函数y f x在x 1处有最小值f 11，所以，1 a e

12、33. .故选：B.B.【点睛】 本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a x33ln x在上有解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题、填空题由题意可知方h x在区间-,e上有解,e1又femaxf ee33，第1111页共 1919 页1313 如图，一个几何体的正视图是底为2高为3的等腰三角形，俯视图是直径为2的半圆，该几何体的体积为 _求得结果. .【详解】123故答案为:【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.1414.已知直线y 2x 3和圆x2y26x 4y 5 0相交

13、于M、N两点，贝UMN _. .【答案】2、3【解析】将圆的方程化为标准形式， 求得圆的圆心坐标与半径， 求出圆心到直线的距离, 利用勾股定理可得出MN.【详解】圆的方程化为x 32y 228，圆心坐标为3,2，半径为r2-2,圆心到直线的距离为d _- J5，所以MN 2J?2d22/3. .421故答案为：2 3 【解析】由三视图可知该几何体是半圆锥,利用圆锥的体积公式以及三视图中的数据可由三视图可知，该几何体是半个圆锥，且底面是半径为1的半圆，高第1212页共 1919 页【点睛】 本题考查直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于基础题1515 已知a R，命题P:x1,2,x2a 0

14、，命题q: x x R R , ,x22ax 2 a 0，若命题P q为真命题，则实数a的取值范围是 _.【答案】a 2或 a a 1 1【解析】根据不等式恒成立化简命题P为a 1，根据一元二次方程有解化简命题q为a 2或a 1，再根据且命题的性质可得结果 . .【详解】若命题p:“x 1,2,x2a 0为真；则1 a 0,解得：a 1,若命题q: “ x xR,x22ax 2 a 0”为真，2则4a 4 2a 0,解得：a2或a 1,若命题pq”是真命题，则a 2，或 a a 1 1 ,故答案为a 2或 a a 1 1【点睛】解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1 1 ）原

15、命题与其非命题真假相反；（2 2）或命题一真则真”；（3 3）且命题一假则假”.【答案】【解析】由题意可得an1an 143T1an 2，进而求得anan 1n-，然后利用3累加法可求出数列an的通项公式 【详解】Q 3anan 24an 1n3，则an1*13an 1an 2,1616.已知数列an中，a“an 24an 1n 3，则a._2a4一3第1313页共 1919 页1设bn1 an an1，则13bn2，故 0 是等比数列，且b111a2 a19公比为3，第1414页共 1919 页考查利用累加法求数列的通项，考查计算能力，属于中等题 三、解答题 1717 .如图，D D 是直角

16、ABC斜边BC上一点，BAC 90,AC Z 3DC. .用余弦定理可求得x的值. .【详解】AC(1)在ADC中，根据正弦定理，有 -sin ADC由累加法可得ana1a2aia3a2故答案为:【点故ananan 11 J_13n17T33 3n2本题考查了数列递推式,(1(1)若DAC 30，求角B的大小;(2(2)设BD2DC 2x，且AD2 2 2 2，求x的值. .【答(1)60; (2 2)x 2. .【解(1)根据正弦定理即可求出sin ADC3，再根据角的关系即可求解;2(2(2)可求得AC .3x,cosB6，然后在ABD中，利3DCsin DAC第1515页共 1919 页

17、因为AC_ 3DC，所以sinADC、3sinDAC32又ADCB BADB 6060,所以ADC 120o,所以BADCBAD60o;(2 2)依题意可知DCX,BD 2X, 则BC3X,AC3X,ABr.曰.6于疋cosB3在ABD中，由余弦定理，得AD2AB2BD22AB BDcosB，即2,226x24x22、6X2x62x2，得x 2. .3【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，以及解三角形的问题，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.1818 如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD平面ABCD,EF/平面ABCD. .(1(1)求证：平面

18、ACFACF 平面BDF;(2 2) 若CBA 60o，求三棱锥 E E BCFBCF 的体积. .【答案】 (1 1)证明见解析；(2 2)1. .【解析】 (1 1)推导出ACBD,DF AC，从而AC平面BDF，由此能证明平面 ACFACF平面BDF;(2 2) 取BC中点O，连接OE、ODOD，过D点作DMBC于M点，推导出四边形EODF为平行四边形，可得DF /0E，进而可证明出DF /平面BCE，并推导出DM平面BCE，可得出三棱锥F BCE的高为DM，利用锥体的体积公式可求得 结果 【详解】(1 1)在菱形ABCD中，ACBD第1616页共 1919 页QDF平面ABCD,AC平

19、面ABCD,DF AC,又Q DF I BD D,AC平面BDF,而AC平面ACF,平面ACFACF平面BDF;(2 2)取BC中点0，连接OE、ODOD ,Q Q BCEBCE 为正三角形，OE BC,Q平面BCE平面ABCD，交线为BC,OE平面BCE,OE平面ABCD,QDF平面ABCD,OE/DF,Q EF/平面ABCD，平面EODF I平面ABCD OD,EF平面EODF,EF/OD,四边形EODF为平行四边形，DF OE. 3,过D点作DM BC于M点，Q平面BCE平面ABCD，平面BCE I平面ABCD BC，DM平面ABCD，则DM平面EBC，Q DF /OE， DFDF 平面

20、BCE，OE平面BCE，DF /平面BCE，则DM的长为F到平面BCE的距离，因此，三棱锥EBCFBCF 的体积为vFBCE1SBECDM1222sin601. .334【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.1919 随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加 下表是某购物网站 20172017 年 1-81-8 月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据第1717页共 1919 页系数r加以说明；（系数精确到 0.0010.0

21、01）（2 2）建立y关于x的回归方程y bx a（系数精确到 0.010.01）;如果该公司计划在 9 9 月份实现产品销量超 6 6 万件，预测至少需投入促销费用多少万元（结果精确到0.010.01）nnn参考数据：（X 11）（yi3）74.5，（x 11）2340，（y 3）216.5，i 1i 1i 1,34018.44，4.06，其中Xi，yj分别为第i个月的促销费用和产品销量,i 1,2,3, L 8. .n_(x x)(yiy)参考公式：（1 1）样本（Xi，yi）（i1,2丄，n）的相关系数r（2）对于一组数据（X1,yJ,（X2,y2），L,（Xn,yn），其回归方程y b

22、x a的斜率n_(x X)( yiy)i 1_ nZ，a y bx. .(Xix)2i 1系数近似为 0.9950.995，说明y与X的线性相关性很强，从而可以用回归模型拟合y与X的得x 24.59，即至少需要投入促销费用24.5924.59 万元. .试题解析：（1 1）由题可知x 11，y 3，和截距的最小二乘估计分别为【答案】 （1 1）可以用回归模型拟合y与x的关系（2 2）至少需要投入促销费用24.5924.59 万元【解析】试题分析：（1 1）x 11，y3，代入公式得r0.995，因为y与x的相关关系；（2 2）代入计算公式得回归方程为y 0.22x 0.59，由题y 0.22x

23、 0.596解i 1第1818页共 1919 页XiyiyXiyi将数据代入rni 1ni 1第1919页共 1919 页18.44 4.0674.8664因为y与x的相关系数近似为 0.9950.995，说明y与x的线性相关性很强，从而可以用回归 模型拟合y与x的关系. .n.dXix yiy74 5(2 2)将数据代入b二 得b竺0.219i dxix340i 1ia y bx 3 0.219 110.59所以y关于x的回归方程y0 22X0 59由题y 0 22X0 59 6解得x 24.59，即至少需要投入促销费用24.5924.59 万兀. .2 22020 .如图，已知椭圆 笃爲1

24、 a b 0,A 2,0点是它的右端点，弦BC过椭a b亠、uuu uuucis圆的中心O,AC BC 0，BC 2|AC. .(1(1)求椭圆的标准方程;(2(2)设P、Q为圆上不重合的两点， PCQPCQ 的平分线总是垂直于x轴，且存在实数uuu uuu使得PQ AB，求的最大值2 2x y【答案】(1 1)443【解析】(1 1)先求出a的值，再求出点C的坐标，并将点C的坐标代入椭圆方程，得出b的值，即可得出椭圆的标准方程;(2)先由已知条件得出直线PC和直线QC的斜率互为相反数，可设直线PC的方程为y 1 k x 1，将直线PC的方程与椭圆方程联立，求出点P的坐标，同理得出点Q的坐标，

25、利用向量的坐标运算得出实数的表达式，再利用基本不等式可求出的74.574.50.995第2020页共 1919 页最大值.【详解】uurQ ACuuuBCACB 90. .uuu,uuiruuuuuur又BC2AC，OCAC2,(1(1)依题意可知 a a又点C在椭圆上,! 1,AOC是等腰直角三角形，Q A 2,0,C 1,1. .x2b2-，因此，所求椭圆的标准方程为32y-1；3(2(2)如下图所示:对于椭圆上两点P、Q，QPCQ的平分线总是垂直于x轴,PC与CQ所在直线关于直线x 1对称. .设kPCk k 0，则kcQ则直线PC的方程为直线CQ的方程为y232将代入44得1 3k2x

26、26k k3k26k 1 0. .Q C 1,1在椭圆上,1是方程的一个根,XP3k26k 12，1 3k以k替换k，得到XQ3k26k 13k2112kXQXPk，yQyP4k2，1 3k2易知B 1, 1，uuuAB3,uuur1, Q PQuuuAB，4k3k21，第2121页共 1919 页442/33k V 23k13,kVk1当且仅当3k时，即当k时，等号成立,k3因此，实数的最大值为王3.3【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆方程的求解， 解决本题的关键在于将题中的角转化为直线的斜率关系，考查推理能力与计算能力，属于中等题.2121 .已知函数fx x alnxa R1

27、 a(1) 求函数h x f x的单调区间；x1 a(2)若g x在1,e e2.71828L上存在一点x，使得f xg xo成x立，求a的取值范围.是否变号进行分类讨论：当a1时，导函数不变号，在定义区间上单调递增；当a 11 a时，导函数由负变正，单调性先减后增(2 2)构造差函数h x x alnx，结合xl a(1)h x x alnx，定义域为0,xx2ax 1 ah x1x2xx2x2当a1 o,即a1时， 令h x0 , x 0 , x 1 a,令h x0, x0, 0 x1 a;当a1 0,即a1时，h x0恒成立，【答案】(1 1)当a1时，h x在0,a 1上单调递减，在a

28、 1,上单调当a 1时，h x的0,上单调递增.(2 2)a【解析】 试题分析：(1 1)先求函数导数，并因式分解x2，安装导函数(1(1)讨论h x单调性，确定对应最小值，解出对应a的取值范围.试题解析：解:第2222页共 1919 页综上，当a1时，h x在0,a 1上单调递减，在a1,上单调递增,第2323页共 1919 页当a 1时，h x的0,上单调递增.(2(2)由题意可知，在1,e上存在一点 x xo，使得f x0gXQ成立,即在1,e上存在一点x0，使得hx0,即函数h x x alnx1一a在x1,e上的最小值hx0.min由(1 1)知，当a1 e，即a e1时，h x在1

29、,e上单调递减,h x . h emin1 a e -ea0,a2e 1e 1h xminh 111a0 ,- - a2;当1a 1e，即0ae 1时，h xh 1a2aaln 1 a0.min/0ln 1 a1.0aln 1 a a. h 1 a 2此时不存在Xo使h x00成立，e21综上可得a的取值范围是ae一1或a 2.e 1点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数 的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分 离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题x 1 cos2222 .直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为y sin(1)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1、C2的极坐标方程；(2)射线 OTOT :-(0)与G异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求AB6的大小.e21.e21e 1,ae 1e 1当a 11，即a 0时,h x在1,e上单调递增,( 为参数)，曲线21.第2424页共 1919 页【答案】(1)(1) G G 的极坐标方程为2cos, ,C2的极坐标方程为第2525页共 1919 页2 2cos32s in21;(2)I3、2【解析】（1 1 ）将1 c