2019届河南省高三期末考试数学(文)试题(解析版)

1、【详解】第1页共19页2019届河南省高三期末考试数学(文)试题、单选题4.若a GRX2 -IJ(a + 2i)e R,则白二(A.B.C.D.【答案】A【解析】由复数的运算，结合复数的概念即可求出结果【详解】丁(2 * i)(日 +2i) = 2a + 2 + (4 - a)i * 4 - a = 0 a = 4故选A【点睛】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力属于基础题型2.表示集合中整数元素的个数，设集合：,，则A.B.C.D.【答案】C【解析】先求出，再结合题意即可求出结果【详解】5 175B= (一”一)- A A B = (-3)-询，2 22,-辽黑门B) = 5.故选C【

2、点睛】本题考查集合的交集，考查运算求解能力与新定义的理解能力，属于基础题型|MFj +|%匚卜MFZ【答案】B3.已知点为双曲线22yX -= 1的左支上一点，/分别为左、右焦点，则A.B.C.D.【详解】第2页共19页【解析】由双曲线的方程写求出，结合双曲线的定义即可求解【详解】第3页共19页由“，b得1, 3则卜F+|lF-MF2| =|MFj- MF2+|FF=-2a + 2c = 4故选B【点睛】本题考查双曲线的定义与基本性质，考查运算求解能力与双曲线定义的应用，属于基础题型4某市体育局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省米仰泳比赛，现将他们最近集训的10次成绩（单位：秒）的平均数与

3、方差制成表格如下：甲乙丙丁平均数59丽1|57方差n|io|io根据表中的数据，应选哪位选手参加全省的比赛（）A.甲B.乙C.丙D. 丁【答案】D【解析】 选择平均成绩最好，方差最小的即可【详解】米仰泳比赛的成绩是时间越短越好的，方差越小发挥水平越稳定， 故丁是最佳人选故选D【点睛】本题考查统计，主要考查应用意识，属于基础题型5.三棱锥的侧棱两两垂直，为侧棱的中点，分别为棱：,上一点，. 平面, ，若从三棱锥.内部随机选取一点，则此点取自三棱锥，内部的概率为（）1111A.IB.C.D.【答案】C【解析】由题意，将概率问题转化为求体积之比问题，即可由几何概型的概率计算公式【详解】第4页共19页

4、求解第5页共19页因为I*平面 ,，I上厂平面卜 ,平面二疋.平面 _JP-DEF 11211-=X X =所以，所以：，即所求概率为.故选C【点睛】本题考查线面平行的性质定理的应用及三棱锥体积的计算与几何概型，解，属于基础题型.nf(x) = cos(2x-一)6将函数：的图像上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数：的图像，则下列判断错误的是()【答案】g(K)= COS(X -)【解析】由三角函数的图像变换先得到，再根据余弦函数的性质即可判断出结果.【详解】H HH HH Hg(x) = cos(x -一)x - = kn(lkE z)x = + kn(k & Z)依题

5、意可得，由：,得故A正确；n n=+ kn(kZ)x =+ kn(k 2)3 32得 占，即对称中心为n2nn-n + kn x - - kn(k G Z) - + kn x - + kn(k G Z)3得弓3，即函数呂図的单调递增区间是故选D【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，熟记余弦函数的图像和性质即可判断出结果，属于 基础题型7.函数一的图像大致为()熟记公式即可求X =A.曲线：关于直线对称n(-0)B.曲线，-关于点对称n(0-)C.函数匚紆在 上单调递增5n 5nD.函数匚心在.上单调递减5K(+ U,0)(k Z)6，故B正确；由2H-+ km3krt (kEZ)故C正确,D

6、错误.【详解】第4页共19页先由i：与厂 关系判断出函数的奇偶性，再由特殊值法，研究几个函数值的正负，即可判断出结果【详解】図为偶函数，排除C,又f，fAO, f，从而排除A,D,故选B.【点睛】本题考查函数图像的识别与函数的奇偶性，根据函数的奇偶性和特殊值验证，即可得出结果，属于基础题型8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】C1【解析】先由三视图可得该几何体可由一个圆柱上、下两半部分分别截取一个圆柱而成，再由几何体的体积公式即可求解C.【答案】r 17 7、-i1 :1【解析】B第7页共19页由三视图可知该几何体可由一个圆柱上、下两半部分分别截取一个圆柱而

7、得，其直观nxl2x4*2x-nxl2x2 = 3n图如图所示，故其体积为.故选C本题考查三视图与简单几何体的体积计算，由三视图还原几何体，熟记体积公式即可,属于基础题型.9.已知函数一的导函数，满足3 对“：恒成立，则下列判断一定正 确的是( )A 0f(0)2f(lB f(0)02f(lCx 冷no;D :【答案】A【解析】构造函数讨刈M 1止眉，求其导数，结合条件判断单调性，进而可求出结果【详解】 设g(x)-(x + lf(x,则Ekr fg 4(x +l)f(x)则的)在R上单调递增,则，即o“o)cf.故选A【点睛】本题考查导数的应用， 通常需要构造函数，利用导数的方法，研究其单调

8、性，即可求解,属于常考题型nna-p -rsin(p +-)=2 $ina + 2cos3 = 1 cosa-2sinp =2.则3(【解析】 先由町 .，心匸，两式同时平方再求和，求出： 的关n10.已知【答案】A第8页共19页sin(p + -)系式，代入，即可求出结果【详解】由 W：出-，p 川了 吋- /，将两个等式两边平方相加，得 心你-公_；Innnnsin(a -13) =- - a - p 2(g(-l)-k + lkt+l恒成立等价于kt+ 2 设創t)t + 1,则剧-3k+l 0r14设v满足约束条件t 2x + y-8 0fjK+ 6y - 4 0,【解析】由约束条件

9、： :作出其对应的可行域，再将目标函数121 Zy =- -X + -y =- -X + -化为 ，目标函数取最大值时，直线:在轴上的截距最大，结合图像即可求出结果【详解】y -x -I-标函数取最大值，由图像易知，直线过点A时，截距最大，即此时目标函数最第11页共19页i 2x + y - 8 = 0大，由-让乂解得A(2,4)，所以此时目标函数的最大值为 - - - - -.故答案为10【点睛】本题考查线性规划，需要先根据约束条件作出可行域，再由目标函数结合图像即可求解,属于基础题型.【答案】【解析】 先由同角三角函数基本关系，将口二-工-转化为定理可求出角；，再由正弦定理即可求出结果【详

10、解】丁COS2C - COSA- $in2B =-$inBsinC - 1 - si口 -(1 -sin2A) - sinB 2sinB5iinC故答案为【点睛】本题考查解三角形，考查正弦、余弦定理的应用，需要考生灵活掌握正、余弦定理，属于常考题型0.A16.设 为一个圆柱上底面的中心，为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每个点都在球的表面上.若两个底面的面积之和为 , 与底面所成角为：，则球。的表面积为_.15在2sin0sinC则BC =的几何特征，可得，解出半径，则球的表面积可求.AC BCmE si庄贝y -J：-第12页共19页DOr【解析】设球的半径为，圆柱下底面半径为，为

11、一个圆柱下底面的中心，根据圆柱第13页共19页【详解】解：设球的半径为，圆柱上下底面半径为，为一个圆柱下底面的中心，由题意知卅二加得2 2,%与底面所成角为&，在RTAO12A中。1严卩，212,上/ _ (j+芒根据圆柱的几何特征，.:即厂-.故该球的表面积-4rK7、弋:：【点睛】本题考查圆柱外接球的表面积，根据已知求出球的半径是解答该题的关键，是基础题 三、解答题17.在公差为：的等差数列中，.(1) 求.的取值范围；1 _n_(2)已知:试问：是否存在等差数列：， 使得数列.-的前项和为?若存在，求的通项公式；若不存在，请说明理由.【答案】(1) (2)存在，通项公式为=d*

12、+ 2 =【解析】(1)由等差数列的性质，将，代入，化简整理即可求出结果；(2)根据： 求出，再假设存在等差数列，结合题意求出，再由裂项相消法求出数列的前项和，即可求出结果【详解】2 22 22“a. + a, = a. + a.,-a. + (a. + d) =2a. +d解：(1), 整理得,2 2则1: I :-解得则的取值范围为1.第14页共19页【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与性质，以及裂项相消法求数列的和，熟记公式即可, 属于常考题型18如图，在平面四边形中，门 八二-二，将其沿对角线f折成三棱锥却庶山，使平面亠平面 T .（1）证明:平面：;（2）求点到平面的距离.【答案

13、】（1）详见解析（2）【解析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明 亠亠平面.;（2）由等体积法，结合 =，即可求出结果.【详解】2 2J J假设存在等差数列J,则（a ai i+t+tl la a2 2+ + b b2 2r-二1 + b22，即 A 耳* ,解得 t tb b2 2=6=6从而1此时：-+-2 2a1+ % a2+ b2+*-3 3n n+ + b b故存在等差数列的前项和为1 11 1：，且.，使得数列第15页共19页（1）证明：在側山中，因为屁卞-於，所以恋W，即:1- 因为平面乙乜、-平面J，平面酬苛：平面亠：一，且；L所以小平面,因为：-平面丨，所以.|八，又AT;，

14、-CD二，所以.，平面：.（2）解：设点到平面* 的距离为由（1）可知，平面- !，所以加I厂，则*:.- ：|：由（1）可知，平面，所以：，1J211滋= -XABXA-C = -%口 =-xADxCD = -则，从而：因为nfr,所以【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，以及求空间中点到平面的距离；要证线面垂直，只需熟记判定定理即可证明；等体积法求空间中点到平面的距离，是比较常用的一种方法;属于常考题型佃.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地 段增设一个起点站， 为了研究车辆发车间隔时间与乘客等候人数之间的关系，经过调查得到如下数据:间隔时间（分钟10

15、112131415等候人数（Y人）2325262928?1调查小组先从这组数据中选取组数据求线性回归方程，再用剩下的组数据进行检验.检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数 再求与实际 等候人数：的差，若差值的绝对值不超过 ，则称所求方程是 恰当回归方程”.X X3 2第16页共19页（1）从这组数据中随机选取组数据后，求剩下的组数据的间隔时间不相邻的概率;（2）若选取的是后面组数据，求 关于 的线性回归方程心，并判断此方程是否是恰当回归方程”；少（精确到整数）分钟?附：对于一组数据 -，；，其回归直线的斜率和截距的最【答案】（1） ； （2） I，是“恰回归方程”；（3

16、）18.【解析】（1）用列举法分别求出“从这组数据中随机选取组数据后，剩下组数据”以及“剩下的 组数据相邻”所包含的基本事件数，进而求出“剩下的 组数据相邻”的概率，再由对立事件的概率，即可求出结果；（2） 由最小二乘法求出线性回归方程，将：和、I代入验证即可；（3） 由（2）的结果结合条件列出不等式，求解即可.【详解】解：（1）设“从这：组数据中随机选取组数据后，剩下的组数据不相邻”为事件 ， 记这六组数据分别为 ， ,，剩下的两组数据的基本事件有11，1162324252634353645465石共15种其中相邻的有 ， ，共种，52P（A） = 1所以.（2）后面组数据是:间隔时间（X分

17、钟）12131415（3）为了使等候的乘客不超过人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多小二乘估计分别为|= 1n n第17页共19页等候人数(Y人)26|29|31_ 12 + 13 + 14+ 15- 26 + 29 + 28 + 31x =-= 13.5 y =-= 28.5因为,4 44 4Ei = 12757154&-4 x x 2 2- = 1.4 272734-4 x (f所以a = y- bx = 285 - 1.4 x 135 = 9,6所以v =1.4K+ 9-6.当x= 10时， 斗xU)十虫2m-2? = O，E：L；当11时， = 1卫x 11*9后=

18、25,25-25二0*1,所以求出的线性回归方程是“恰回归方程”.1xi 18(3) 由 ：，：”；. a 二，得 ,故间隔时间最多可设置为I分钟.【点睛】本题主要考查古典概型和线性回归方程，需要考生熟记古典概型的概率计算公式，以及最小二乘法求线性回归方程的方法，属于常考题型20在直角坐标系中，曲线 ：与直线：交于 两点.(1)若:的面积为I,求；(2) 轴上是否存在点,使得当 变动时，总有八?若存在，求以线段：为直径的圆的方程；若不存在，请说明理由.39厂 +( + -)=-2 22 2【答案】(1) (2)存在，方程为(或 -)【解析】(1)联立直线与抛物线方程，设出 / 两点坐标，结合韦

19、达定理，由弦长公乞叫*-nxyn第18页共19页1S = -d1|MN| = 18式求出巴为I,由点到直线距离公式求出：到的距离，再由：即可求出结果;(2)论等价于直线，倾斜角互补，所以只需求出使直线 ，斜率 之和为的 点坐标即可，进而可求出结果.【详解】解: (1)将：代入.：，得、sn3,- -因为到的距离为1S = -d所以弘口卜.的面积:(2)存在符合题意的点，证明如下:设：为符合题意的点，直线：V，-的斜率分别为/.丫1 - by2-bk + k =-+-从而2贼內 +(3 - b)(X1+Q”36k+6k(3 - b)k 4- k n当 时，有，则直线；的倾斜角与直线的倾斜角互补,

20、故7亠7：，所以点符合题意.本题主要考查直线与抛物线的综合应用，以及圆的方程，通常需要联立直线与抛物线方程，结合弦长公式和韦达定理等，即可求解；求圆的方程时，只需求出圆心和半径即可 求出结果，属于常考题型21已知函数2x3-(6a +3JK3+ 12aX + I6a2.” |MN| = gj2 + k2=18故以线段：为直径的圆的方程为【点睛】17解得-3第19页共19页(1)若 一U，曲线在点；处的切线经过点：，求的最小值;(2)若只有一个零点，且-，求的取值范围.【解析】(1)先对函数；求导，结合导数的几何意义即可求出结果；111a -(2)用分类讨论的思想，分别讨论和 和 三种情况，利用

21、导数的方法研究函数的极值，即可求出结果【详解】解：()八-盼f(a) =- 6a(a -1) f(m)二-心弓 +3 32 2则曲线.I.在点：处的切线方程为j 凡：八卍 纨令x = 0，得丫盯2+久初2设p仪)=2丿 +19，(- 1 x 1)p(x) -2X(3K+ 19)当 I I : :泊门；当一-二1时，.故,即的最小值为.(2)(i)若 ，亠二，当或I时，一 ；当二”-时，.故，的极小值为、Sd1 1 1 12a a- a (iii)若，-当I或时，：；当I 时，：.故-的极小值为一-,【答案】(1) 0(2)U1H 2第20页共19页117因为先，所以丹-和+旳0,又2,则22.117(-汽-一)u (-)综上，的取值范围为.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及导数在函数中的应用，通常需要先对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性以及极值等，结合题中条件即可求解，属于常考题型.22在直角