2020届广东省中山纪念中学高三1月月考数学(文)试题(解析版)

1、第1 1页共 1919 页2020 届广东省中山纪念中学高三 1 月月考数学(文)试题一、单选题1 1.已知集合Ax |y lg(2 x),集合B x| 2 x 2，则A B()A A .x | x2B B.x| 2x2C C.x| 2x2D D .x|x2【答案】C C【解析】试题分析：因为对数函数y lg(2 X)，所以2 x 0，即x 2，即集合A X|x 2，由交集的定义知，A BX| 2 x 2，故应选C.【考点】1 1、集合与集合间的基本运算2 2、对数函数；2 2 .在复平面内，复数 匕丄对应的点的坐标为()1 iA A.(2,1)B B.(1, 2)C C.(1,2)D D.(

2、2, 1)【答案】A A3 f【解析】试题分析：Z =- =* _ 一：2 +，所对应的点的坐标是1T(1- rll+i)2) )，故选 A A .【考点】复数的几何意义r3 3.设平面向量m1,2,n2,b，若rn/n，则r r mn等于()A A. 75B B .C C .V13D D .3/5【答案】D D【解析】试题分析：Qmn,1 b 2 20,得b4,mm n 1,22,43,6,imm n732623J5.故应选D.【考点】1 1、向量的坐标运算；2 2、向量平行的性质. .4 4 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()第2 2页共 1919 页【答案】B B【解析】列出循环

3、的每一步，根据条件S【详解】运行该程序，输入i 1,S 0，则S 0g1y3g1;S lg-y3g 101,不满足判断框，则i3,S g1；5S g-y5g y101,不满足判断框，则i5,S9扌；Sg扌g 101，不满足判断框，则i7,Sg9 g-g9；S Ig1y9g 101,不满足判断框，则i9,Sg丄11Sig111g丄y101，满足判断框，输出i 9. .故选：B.B.【点睛】本题考查程序框图，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题5 5.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马， 劣于齐王的中等马， 田忌的下等马劣于齐王的下

4、等马，C C. 1010D D . 11111成立，循环结束，可得出输出结论现从双2第3 3页共 1919 页将函数y f x的图象向左平移寸个单位后得y cos7tsin x，故选项方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）1111A A . . - -B B. C C. D.D.- -3456【答案】A A【解析】先求出基本事件总数，再求出田忌的马获胜包含的基本事件种数，由此能求出田忌的马获胜的概率 【详解】分别用 A A, B B, C C 表示齐王的上、中、下等马，用 a a, b b, c c 表示田忌的上、中、下等马， 现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛有 A

5、aAa, AbAb, AcAc, BaBa, BbBb, BeBe, CaCa, CbCb ,CcCc 共 9 9 场比赛，其中田忌马获胜的有 BaBa , CaCa, CbCb 共 3 3 场比赛，所以田忌马获胜的概1率为. .3故选：A.A.【点睛】本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 【答案】【详解】故选项 A A、B B 都不正确;6 6.已知函数fsincosnx,则下列结论中正确的是A A 函数y f的最小正周期为2nB.函数y f的最大值为C C .将函数yx的图象向左平移D D .将函数yx的图象向右平移丄个单

6、位后得2丄个单位后得2y = g(x)的图象y = g(x)的图象【解结合三对四个选项逐个分析可选出答案由题nsin x 2ncosx,g x cos x2sin x,x g x cosx sinx】sin2x,最小正周期为22n2n，最大值为第4 4页共 1919 页不正确;故选：D.D.【点睛】与推理能力，属于基础题是奇函数，排除 B,DB,D 再根据导函数的导函数小于 0 0 的 x x 的范围，确定导函数在，一3 3上单调递减，从而排除 C C,即可得出正确答案.【详解】1212由 f f( (x x)= 一xsin x x cosx,4241二f (x)-x sinx，它是一个奇函数

7、，其图象关于原点对称，故排除 B B, D D .211又f (x) cosx，当一 V X XV 时，cosxcosx ，二f (x)V 0 0,2332故函数 y y=f (x)在区间-,7上单调递减，故排除 C C.33故选 A A.【点睛】将函数y f x的图象向右平移n个单位后得yncos x一2sin x,故选项 D D 正本题考查三角考查三角函数的周期与最值,考查学生的计算能力x），f (x)为 f f (x)(x)的导函数，则f(x)的图象是()A.【解析】先化简 f f (x x)sincosx，再求其导数，得出导函数D D.B B.第5 5页共 1919 页本题主要考查函数

8、的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于 0 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 0 时原函数单调递减，属于基础题.第6 6页共 1919 页【答案】B B【解析】 试题分析：两个曲线的:1一.：匚.，和.：一亠： 一，故两个曲线的_相等，即焦距相等，而两个曲线的 T T - -,另一个一一，所以离心率不同，虚轴也不同，故选 B B .【考点】双曲线的性质0,将函数f x cos x的图象向右平移个单位后得到函数2g xsin x的图象，则4的最小值是f)A A .3423B.C.D D .332【答案】D D【解析】由函数f (x)cosxsin（ x）图象向右平移一个单位后得

9、到22sin( x),22由题意可得：2 2k, fk Z)解得：34k，:0,2242当k 0时,3的值最小值为-,故选 D.D.21010 .已知x,1y均为正实数，且11 1，则x y的最小值为 f)x2 y 26A A . 2020B B. 2424C C. 2828D D . 3232【答案】A A【解析】分析:由已知条件构造基本不等式模型x yx 2y 24即可得出详解：Qx,y均为正实数，且1-，则6丄x 2 y 26x 2x y (x 2) (y 2)46(2)(x 2) (y 2)8 8.已知（0,亍） ， 则曲线4sin21与曲线2x9 4cos2A A 离心率相等B B.

10、焦距相等C C .虚轴长相等D D .顶点相同9 9.已知x第7 7页共 1919 页6(2H2)4v 2 x 26(22卜)420当且仅当x y 10时取等号x y的最小值为 20.20.故选 A.A.点睛：本题考查了基本不等式的性质,一正、二定、三相等”31111.已知函数f (x) loga(xax),11，若函数 f f （x x）在区间（-,0）上单调递增，则实数a的取值范围是3A A .Q1)C C.(1,4)【答案】【解析】设g （x）3x ax,由g(x)0可得x（、a,0） C，a,），进而可得g(x)3x2令 g g (x)(x)x（,；,）；令g （x）0，可得(a,：）

11、(a,），所以函数g（x）在（,0）上单调递减，在,(.a,）上单调递增当a 1时，函数 f f （x x）的单调递增区间为；),(W），不合题意；当0 a 1时，函数f f （x x）的单调递增区间为J)，因为函数1f f（x x）在区间（2,0）上单调递增，所以1，所以实数a的取值范围是3,1)，故选 A A .4x21212.若函数f的最大值为f，则实数a的取值范围为A A.0,2e2B B.【答案】B B0,2e3C C.0,2e2D D.0,2e3x第8 8页共 1919 页【解析】由f( 02 a，可得ainx x222 a在x0恒成立,【答案】3,0第 7 7 页共 1919 页

12、即为 a a f 1-lnx1-lnx)Mx x2,当x e时，oe2显然成立；2当00，可得axInx 12x,0vxve,Inx 1可得a 0;33由x e2时，g(x)0,g(x)在x e2,递增,3即有g(x)在x e2处取得极小值，且为最小值2e3, 可得a 2e3, 综上可得0 a 2e3故选 B B.【点睛】本题考查函数的最值的求法和应用， 注意运用参数分离和分类讨论的思想方法,以及构造函数法，求出导数和最值 . .、填空题x 0,x 2y 3,则x y的取值范围是_2x y 3,设g( x)g(x)2x(l nx 1) x(Inx 1)2x(2I nx 3)2，(Inx 1)2

13、由Ovxvg (x)vo,g(x)在(o,e)递减，且g( x)v0当xe时，有1Inxv0，可得a设g( x)2xInx 1x e,g(x)x(2Inx 3)(Inx 1)23evxve2时,3g( x)v0,g(x)在(巳記)递减,1313 .若x，y满足约束条件:第1010页共 1919 页【解析】 约束条件对应ABC边际及内的区域:请在此输入详解！1414 已知直线y kx 1与曲线y x3ax b切于点(1,3)，则b的值为【答案】3 3【解析】将1,3代入切线，得k 2，又y 3x2a，所以y |x i3 a 2，得a 1,曲线解析式为y x3x b，再将1,3代入可得b 3151

14、5 已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为2x y 4 0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m,点A到直线l的距离为n，则m n的最小值为 _ . .【答案】6J15【解析】过点A作直线I的垂线，垂足为H,过点A作准线的垂线，垂足为C,交y轴 于点B，根据抛物线的定义可知，AF AC m 1，所以m n AF AH 1, 过点F作直线I的垂线，垂足为H1,当点A在FH1与抛物线的交点时，AF| |AH最 小，从而可求出答案 【详解】如图，焦点为F 1,0，抛物线的准线方程为x 1,过点A作直线l的垂线，垂足为H，则AH n,A(0,3),B(0，2)，C(1,1)【详第1111页共

15、1919 页过点A作准线的垂线，垂足为C,交y轴于点B，则I AB m,| AC m 1,根据抛物线的定义可知，|AF| |AC m 1,所以mnlAF| |AH1，此时，m n取得最小值L-5i. .5本题考查抛物线的性质，考查点到直线距离公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题 1616 .函数f x XX(函数y x的函数值表示不超过x的最大整数，如3.64,2.12),设函数g x f x lg x，则函数y = g(x)的零点的个数为_. .过点F作直线I的垂线，垂足为Hi，则FH6.55当点A在FHi与抛物线的交点时,AF | AH最小，为FHi出，5故答案为：Lili. .

16、第1212页共 1919 页【答案】8 8【解析】令h x f x，则h x x x,易知x 0,1时，h x x，且h x是周期为 1 1 的函数，令g x f x Igx0，可得Igx h x，即只需求得函数h x及y Ig x的图象在(0,+?)上的交点个数即可. .【详解】令h xf x，贝U h x x x,由函数yx的定义知，x 0,1时，h x x，且h x是周期为 1 1 的函数. .令g xf x lg x 0，则Ig xf x，即Ig x h x，且x 0,作出函数h x及y lg x在(0,+?)上的图象，如下图，h 111 lg1 0，二者第一次相交，h 10 10 1

17、0 0,lg10 1,故x 0,10时，h x与y Igx的图象有 8 8 个交点,x 10时，h(x) 1，lgx1，二者无交点所以函数h x及y lg x的图象在(0,+?)上有 8 8 个交点，即函数y = g(x)的零点的个数为 8.8.故答案为：8.8.本题考查函数零点个数，考查函数图象的应用，利用数形结合是解决本题的较好方法，考查学生的计算求解能力，属于中档题 三、解答题rrr r1717 .已知m (、3 sin x,2),n (2cos x,cos2x)，函数f(x) m n. .(1) 求函数 f f (x)(x)的值域；第1313页共 1919 页(2) 在ABC中，角A,

18、 B,C和边a,b, c满足a 2, f(A) 2,si nB 2s in C，求边c. .【答案】( (1 1)函数 f(x)f(x)的值域为1,3(2 2)c厲3第1414页共 1919 页【解析】试题分析：(1 1)平面向量的数量积及辅助角公式可得f(x) 2sin(2x -) 1,6则函数 f(x)f(x)的值域可求；(2 2 )由f(A) 2si n(2 A ) 1 2可得A，再由正弦63定理；余弦定理可求边c试题解析：(1 1)f(x) m n 2/3sin xcosx 2cos1 2x V3sin2x cos2x 1 2sin(2 x)1，-1 sin(2x -) 1，则函数 f

19、(x)f(x)的值域为1,3. .61(2(2) /f(A) 2sin(2A )12, /.sin(2A -)6 6 2十135又2A - 2A则A -6 6 66 63由sinB 2sinC，得b2c, 已知a 2,由余弦定理a2b2c22bc cos A,得：c2 33【考点】平面向量的数量积，辅助角公式，正弦定理；余弦定理1818 .某学校高三年级有学生500500 人，其中男生 300300 人，女生 200200 人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100100 名学生，先统计了他 们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的

20、分数分成5 5 组:100100 , 110)110), 110110, 120)120), 120120 , 130)130), 130130 , 140)140), 140140 , 150150分别加以统计，得到如 图所示的频率分布直方图.1从样本中分数小于 110110 分的学生中随机抽取 2 2 人，求两人恰好为一男一女的概率；2 若规定分数不小于 130130 分的学生为 数学尖子生”，请你根据已知条件完成2X22X2 列联表，并判断是否有 90%90%的把握认为 数学尖子生与性别有关”？附：第1515页共 1919 页P(KP(K2 k) )0.1000.1000.0500.05

21、00.0100.0100.0010.001k k02.7062.7063.8413.8416.6356.63510.82810.828n(ad be)2(a b)(c d)(a c)(b d)【答案】（1 1） . ； （2 2）有 90%90%的把握认为数学尖子生与性别有关”.【解析】试题分析：（1 1）先利用分层抽样的得到男生男生和女生的人数，再列举出基本事件，利用古典概型的概率公式进行求解；（2 2）先利用频率分布直方图得到有关数据,列出列联表，利用，-公式求值，再结合临界值表作出判断.试题解析：解：由已知得，抽取的 100100 名学生中，男生 6060 名，女生 4040 名 分数小

22、于等于 110110 分的学生中，有 60X0.0560X0.05 = = 3(3(人) )，记为 A A1, A A2, A A3；女生有 4040 0.050.05 = 22( (人)，记为 B B1, B B2从中随机抽取 2 2名学生，所有的可能结果共有1010 种，它们是：(A(A1, A A2) ), (A(A1, A A3) ),(A(A2,A A3) ), (A(A1, B B1) ), (A(A1,B B2) ), (A(A2, B B1) ), (A(A2, B B2) ),(A(A3, B B1) ), (A(A3, B B2) ),(B(B1, B B2) ),其中，两

23、名学生恰好为一男一女的可能结果共有6 6 种，它们是：(A(A1, B B1) ), (A(A1, B B2) ),(A(A2,B B1) ), (A(A2, B B2) ), (A(A3,B B1) ), (A(A3, B B2) ),故所求的概率- 一 -105（2 2）解：由频率分布直方图可知，在抽取的 100100 名学生中，男生 60X0.2560X0.25 = = 1515（人），女生 40X0.37540X0.375 = = 1515（人）据此可得 2X22X2 列联表如下：数学尖子生非数学尖子生合计男生151545456060女生151525254040合计3030707010

24、0100K2第1616页共 1919 页1.791.79 2.706.2.706.所以没有 90%90%的把握认为数学尖子生与性别有关”.【考点】1.1.分层抽样；2.2.古典概型；3.3.频率分布直方图；4.4.独立性检验思想.1919 已知定义域为R的函数f x一1是奇函数. .2x 12(1) 求b的值；(2) 判断并证明函数f X的单调性；2 2(3)若对任意的t R，不等式ft 2t f 2t k 0恒成立，求k的取值范围1【答案】( (1 1)b 1； (2 2)f X在,上为减函数，证明见解析；(3 3)k -3【解析】(1 1)由f X是R上的奇函数，可得f 0 0，可求出b的

25、值；2X2X1XX1 2 2 11X 12 2 2 2故b 1时，满足题意(2(2)由(1 1)知,所以得K22n(ad be)(a b)(e d)(a e)(b d)2100(15 25 15 45)60 40 30 7025141.79因为(2(2)由(1 1)可知f X的表达式，任取 X X1,X,X2R，且 X X1X X2，比较f X1f X2与0 0 的大小关系，可得出函数的单调性;(3)由f X是奇函数，可将不等式转化为f t22t2f k 2t，再结合函数是R上的减函数，可知对一切t R,3t22t k 0恒成立，令即可求出答案【详解】(1(1)因b 100，即0 b 1，即2

26、2经验证1 12 2X1第1717页共 1919 页1 1 2 2X1任取 X Xi,X,X2R，且X XiX X2，贝yf Xlf x2歹1 2212112X21，函数y 2X在R上是增函数，所以22X0. .又21 2X210，则f % fX20，即f %fX2, fX在 ，上为减函数. .(3 3)因为f X是奇函数，从而不等式f t22tf 2t2k0等价于f t22t f 2t2k f k 2t2，又因为fx为， 上减函数，所以由上式推得t22tk2t2，即对一切t R，3t22t k 0恒成立，1则4 12k0，即k. .3【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的应用，考查不等式恒成立

27、问题，考查学生的计算求解能力，属于中档题 2 22020 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:务 笃1 a b 0的离心率为 一3, ,直线a b2y x被椭圆C截得的线段长为土10. .5(1) 求椭圆C的方程；(2) 过原点的直线与椭圆C交于代B两点( (代B不是椭圆C的顶点)，点D在椭圆C上，且AD AB，直线BD与x轴y轴分别交于M , N两点. .设直线 BDBD,AM斜率分别为k1, k2，证明存在常数使得K求OMN面积的最大值2【答案】(1)(1)Xy21. .4(2)(2)证明见解析，1:k2，并求出 的值;第1818页共 1919 页28第 i5i5 页共 i9i9 页【解析】

28、 试题分析：( (1 1 )首先由题意得到将y x代入x24y2a2可得x鸟,5由丄口0，可得a 2. .b 1得解. .55(2)( i )注意从确定ki,k2的表达式入手，探求使kik2成立的0), Dg, y2)，则B( Xi, yi)，yiy2iy得到kii2Lx-ix24k4x-i根据直线BD的方程为y yi(x xi)，4xiyi令y ,得x 3Xi，即M (3xi,0). .得到k2 2xi1由ki-k2，作出结论. .2(ii)直线 BDBD 的方程y yi-(x Xi),4xi139从确定OMN的面积表达式S 3 xi % xi入手，应用基本不等式得248解 试题解析：(i

29、i)由题意知 丄匚兰 仝，可得a24b2. .a2椭圆 C C 的方程可化简为x24y2a2. .因此&込迈，可得a 2. .55因此b i,2设A(xi, yi)(Xiyi将y x代入可得x第2020页共 1919 页所以椭圆 C C 的方程为y2i. .40), D(X2, y2)，则B( Xi, yi),(2) ( i )设A(Xi,yi)(Xiyi第2121页共 1919 页y1因为直线 ABAB 的斜率kAB-,Xi又AB AD，所以直线 ADAD 的斜率k已,yy(ii)直线 BDBD 的方程y y-(x X-),4x133令x 0,得yy1，即N (0, yj,44由(i)知M

30、(3X1,0),139可得OMN的面积S 3 x y1 x1y1,248由题意知k0,m0,y kxm由x22，可得（1y148mk所以为X22:1 4k2因此y1y2k(x1X2)由题意知,X1x2yy1所以KX1x24k所以直线 BDBD的方程为y2 2 24k )x 8mkx 4m 40. .2m4k24x1(X X-),令y0,得X3x1,即M (3为,0)可得k2_y_2x1. .所以k11k2,即-22. .设直线 ADAD 的方程为 y y kxkx m m ,2m第2222页共 1919 页因为xy1y121，当且仅当 嵐y12时等号成立，4229此时 S S 取得最大值 ,8

31、9所以OMN的面积的最大值为. .8【考点】椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，三角形面积，基本不等式的应用2121 .已知函数fx x al nxa R.1 a(1) 求函数h x f x的单调区间；x1 a(2)若g x在1,e e 2.71828L上存在一点x，使得f xg xo成x立，求a的取值范围.【答案】(1 1)当a1时，h x在0,a 1上单调递减，在a 1,上单调递增,当a1时，h x的0,上单调递增.( (2 2)ae21e 1或a 2.e 1【解析】试题分析： (1(1)先求函数导数，并因式分解x 1 x 1 a2x安装导函数是否变号进行分类讨论:当a1时，导函数不变号， 在定义区间上单调递增;当a1 a时，导函数由负变正，单调性先减后增(2 2)构造差函数h x x alnxa，结合x(1 1)讨论h x单调性,确定对应最小值，解出对应a的取值范围.试题解析:解：(1 1)h,l acx x al nx，定义域为0,xa1 a2x ax 1 ax 1x 1 ah x1 -222xxxx当a1 0,即a1时，令h x 0,/x 0，x 1 a，令h x0, x 0,0 x 1 a；当a1 0,即a1时，h x