2020届山西省阳泉市高三上学期期末考试数学(理)试题

1、页1第山西省阳泉市 20192020 学年度第一学期期末考试试题高三理科数学第I卷（选择题共 60 分）4.随着社会发展对环保的要求， 越来越多的燃油汽车被电动汽车取代， 为了了解某品牌的电动汽车的节能 情况，对某一辆电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：记录时间累计里程 （单位：公里）平均耗电量（单位：kW?h/公里）剩余续航里程（单位：公里）2020 年 1 月 1 日50000.1253802020 年 1 月 2 日51000.126246（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量,平均耗电量累计里量剩余续航里程平均耗电量）下面对该车在两次记

2、录时间段内行驶 100 公里的耗电量估计正确的是小值是要求的.1.设集合A xx2x6 0,Bxx10,则A B的值是A.-,1B.-2,1C.-3,-1D.3,2.若复数z满足z1 i2i，贝U z的值是A.-1- iB.-1 iC.1-iD.1 i3.若方程|lnxm有两个不等的实根x和X22 2，则X1X2的取值范围是A.1,B.2,C.2,D.0,1、选择题：本题共43“松竹并生”的问题:A.?36.宋元时期数学名著算学启蒙五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是B.C.D.中有关该思想的一个程序框图，若输入的a,b分别为5,2,则输出的n的A.2B.3C.4D.5松

3、长源于值是12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目A.等于12.5B.12.5到12.6之间C. 等于12.6D. 大于12.65.已知函数f xAsin0的图象向右平移4个单位长度后与原图象重合，则3的最3页2第页3第7.函数f xx一在，的图像大致为cosx 2 28.在ABC中,tan AZAB32,AC4, D是线段BC上一点，且DB4DC,则AD ?BC是A.-8B.C.42D.428.在ABC中,BAC1202, AC 4,D是边BC上一点，DB2DC,则AD?BC是A.8B.-8C.32D.329.记Sn为等差数列an的前n项和.已知

4、a210,S498,则A.ann 11B.an2n22C.Sn7nD.Snn214n2210.设P是双曲线笃a0,b0上的点F1、F2是焦点，双曲线的离心率是-,且3F1PF290,F1PF2的面积是 7,A.3.7B.9.7C.10D.1611.如图，在直角梯形SABC中，ABCBCS 90,过点A作AD SC交SC于点D，AD为折痕把SAD折起，当几何体S ABCD的的体积最大时，则下列命题中正确的个数是1AC SB2AB/平面SCD3SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成4AB与SC所成的角等于A.4B.DC与SA所成的角C.2D.12. 已知/)B等式的角f ax 13,4上

5、有解，则实数a的取值范围是A.,0B.3页4第页5第第 II 卷（非选择题共 90 分）本试卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 第 22 题第23 题为选考题，考生根据要求作答 二、 填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13. 已知曲线y xlnx在点Xo, yo处的切线与直线x 2y 1 0垂直，则X）_.a ,6214. 若a 1 x展开式中x的系数为 30,则a _.x15. 已知F是抛物线C : y212x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N若FM2MN，则|FN _.2a16. 已知数列an满足a13a

6、22n1 an2n,数列bn的前n项和Snn 2n，则数列 的bn前 n 项和Tn_.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分 12 分）在ABC中，角代B,C的对边分别为a,b,c，且sin BcosA 2sinC sin A cosB.（1）求B;若b 5，且AC边上的中线长为3，求ABC的面积.18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，2AB AD，侧面PAD为 等边三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点.（1）在棱BC上取一点F使直线EF/平面PAB并证明；（2）在（1）的条件下

7、，当棱PF上存在一点M，使得直线CM与底面ABCD所成角为45时，求二面角M CD A的余弦值.C.D.-,022页6第为椭圆上任意一点，且F1PF2的面积最大值为.3.(1) 求椭圆C的方程(2)过焦点F1的直线I与圆0：x2y21相切于点Q，交椭圆G于A, B两点，证明：|AQ|BF120.(本小题满分 12 分)某市创卫办为了了解该市开展创卫活动的成效，对市民进行了一次创卫满意程度测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”计 5 分，“不合格”计 0 分，现随机抽取部分市民的回答问卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：等级不合格合格19.(

8、本小题满分 12 分)已知椭圆C :b 0的两个焦点分别是FI,F2，离心率e3,P2(1)求a,b,c的值；(2)按照分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的问卷中随机抽取10 份进行冋题跟踪调研，现再从这 10 份问卷中任选 4 份，记所选 4 份问卷的量化总分为，求 的分布列及数学期望E(3)某评估机构以指标M M，其中 D 表示的方差来评估该市创卫活动的成效.若M 0.7,则认定创卫活动是有效的；否则认为创卫活动无效，应该调整创卫活动方案 判断该市是否应该调整创卫活动方案？.在(2)的条件下,21 .(本小题满分 12 分)已知函数f(X)2x21Xaln x(aR)22页7

9、第得分20,4040,6060,8080,100频数6a24b(1)讨论f (x)的单调性;(2)设g(x) exx 2x且y h x有两个零点，求a的取值范围.页8第请考生在第 22, 23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分.满分 10 分.选修 4 4 :坐标系与参数方程x 2 2cos22.(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为(为参数)，y 2si n以原点0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin.(1)求曲线Ci的普通方程和C2的平面直角坐标方程；R),点A是曲线 C3与Ci

10、的交点，点B是曲线 C3与C2的交点，A,B均异于原点O，且AB 4J2，求 的值.14(1)求 t 的值；(2)若实数 a, b 满足2 a22 b2t，求22的最小值a b山西省阳泉市 2019 2020 学年度第一学期期末考试(2)已知曲线 C3的极坐标方程为(023.(本小题满x 1的最小值为 t.页9第高三理科数学参考答案与评分标准选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分,题号123456789101112答案BCCDBCADBADA17.(1)由已知可得sinAcosB sin BcosA 2sinCcosB所以sin A B 2sinCcosB在ABC中，sin A B si

11、nC.2所以sinC 2sinCcosB.因为在ABC中，sinC 0,D1所以COSB 2,. 4因为0 B,. 5所以B3. 63(2)由(1 )得 B ,又AC边上的中线长为，所以BA BC 6,737所以BA BC 2BA BC 36，即c2a22accosB 36,所以c2a2ac 36，.2 2 22a c2accosB，所以a c ac 25，.1012二填空题: 本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分,13. e14. 115.616.2n2n 1三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，)由得：11ac,.21113所以SABCacsin B28由余弦定理得b2页

12、10第18. (1 )在BC上取中点F，在PA上取中点G,连接EF,GB,GE,11由于GE平行且等于AD,BF平行且等于AD，所以GE平行22且等于BF,所以四边形BFEG是平行四边形，页11第所以EF/GB.直线GB平面 PAB,直线 EF 平面 PAB ,.所以EF/平面PAB .(2)取AD中点O，连接PO,由于APAD为正三角形 PO AD又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD ADPO平面ABCD，连接OF，四边形ABFO为正方形。 PO平面POF，平面POF平面ABCD而平面POF I平面ABCD OF过M作MH OF，垂足为H，二MH平面ABCDMCH为MC与平面AB

13、CD所成角，MCH45.6MH CH在厶PFO中，MH/PO,MHFHPOFO设AB BF a,AD2a,PO、3a,FO a MH FH.，MH.3aa、3FH在RtCFH中，CH2CF2FH2 ., 2 23FHaFH2FH辽a,MH-a,OH a4ia . 822C(aaO),D(0,a,0),设平面MCD的法向量为n (x, y, z), nMC0n CD 0以O为坐标原点,OF、OD、OP分别为x、yz轴建立空间直角坐标系,M (aUULUMC2a)uuu(a,0,0).10112页12第J6法向量可取n 0,1 厂,3而平面ABCD的法向量为m (0,0,1)设二面角cos122a

14、19. (1)12c b .-3，2解得a 2,b12所以椭圆C的方程为y21.4(2)证明：由(1)可得|的斜率存在，故|的方程可设为y k X因为直线|与圆O : x21相切,所以圆心0,0到| : y3的距离ddkk21解得k子时，直线|的方程为y2x22x2Ty、3-2联立，可得3x14 3x 20，显然设Ax1,y1,B X2, y2,则x1X24、3.所以X1X222.33设Q X。，y。，2X0沁X02y。1可得、 3.6F13,0XQXF1所以22 3丁 由此可得线段AB,RQ中点重合，故AQBF110同理当k号时也有|AQBFi1112页13第综上AQBFi20.（ 1 ）由

15、频率分布直方图可知，得分在20 40的频率为0.005 20 0.1，故抽取的市民答卷数为:60，又由频率分布直方图可知, 得分在80,100的频率为0.2，所以b 60 0.212，又6 a 24b 60,所以a 18.18c60 20（2）“不合格”有6人.0.015.和“合格”的人数比例为24:36 2:3，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”所以 有20,15,10,5,0共5种可能的取值.的分布列为20151050p183411421735210P2041p1531C6C448G：14G02113C6C44G1p54p04C1035C10210所以E20 -115810350

16、1421735（3） 由（ 2）可得2128D20 12151210 121421所以ME120.750.7，D16故我们认为该市的创卫活动是有效的，不需要调整创卫活动方案p102 2C6C443G07112.921092324215120 1216735210101112同理当k号时也有|AQBFi1112页14第页15第21. (1)f(x)的定义域为(0,),f(x) 2x1 a 2x2ax 1f(x)22x x(x) 0，得十综上，当a (,2I2时，f (x)在(0,当a (2迈，)时，f(x)在(0,a”a 8所以aa28f(x)在(0，-(a=,)上是增函数,4在(a a28a4

17、4a288)上是减函数aa28 a a284,4)上是减函数.由已知可得g xxe cosx，因为xx 0，所以e1，而cosx 1，所以cosx 0，所x 0，所以g xxe sin x在0,上单调递增所以g x g 00.f x 2x在0,内有两个零点.令F(x)1aln x，定义域为(0,x)，F(x) 4 -,x x x0时，F (x)0恒成立,F(x)在(,)上单调递增，则F (x)至多有一个零点，不合题a Inx,对于2x2ax 10,a22、2, 2、.2时,f (x)0，贝U f (x)在(0,)上是增函数.(,2.2)时，对于x0，有f (x)0,则f (x)在(0,)上是增

18、函数.(2,2,)时，令f (x)0，得0 x或x4)上是增函数;)上是增函数,页16第1111当a 0时，令F (x)0得x-，若0 x一，则F(x) 0，F(x)在(0,_)上单调递增；若x-，aaaa1则F (x)0，F (x)在(，)上单调递减，1所以，x时，aF(x)取得极大值，也是最大值，为F ( x)maxa1aln a a In aa10 x 0时，x 0,F(x)；x,F(x)若F(x)有两个零点，则a alna0，解得a12另解：一a In xx0有两根，显然x1不是方程的根，因此原方程可化为1xl nxx 0 且 x1a设xxln x，x In x 1，由x10解得x 1 或 xe由x 0解得ox1e故xxln x在10,_上单调递减，在111上单调递增ee所以x1min11-，所以-10，所以a e.eeea所以a的取值范围是(e，)2 2cosx22.【解析】由消去参数，得Ci的普通方程为(1)1，由4sin，得y 2siny24.24 sin，又ysin2所以C2的直角坐标方程为x y 24.5 分(2)由(1)知曲线 G 的普通方程为4，所以其极坐标方程为4cos