2020届江苏省海安中学高三上学期阶段测试三数学试题(解析版)

1、1011页1第海安中学 2020 届高三阶段测试三数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上.1 设全集 U =1 , 2, 3, 4, 5，若 euA 二1 , 2, 4，则集合 A= _ .解：全集 U=1 , 2, 3, 4, 5,若 QJA =1, 2, 4,则集合 A =3 , 5.故答案为：3 , 5.2._ 已知复数 z 满足（z-2）i =1 i（i 为虚数单位），则 z 的模为_.解：；复数 z 满足（z-2）i =1 i（i 为虚数单位），z = 2, =2（）（12i-i=21i =3 -i , . |z|厂=1

2、0 ,故答案为：,10 .23.已知一组数据 色耳忌,山的平均数为 a，极差为d，方差为 S，则数据 2a1+1, 2a2+1, 2 比+1,2a.+1的方差为_ .解：数据口】ra2r旧3町的平均数为口，数据2町+12站2+12旳+12如+1的平均数是2站+1;数据叭a21心r町的方差为二数据加| +1加加3+1加卄1的方差是S2X22=4S2,故答案为：4S24.如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为go+IFar i From1To10Step1;*:KE）4:ForI页2第* _曰也3解：模拟执行伪代码，可得:s =0111（1 _丄）（丄 _）1 汉 2 2310 汉 1122 3故

3、答案为:1 1 1（1TT11弔1011页3第5.从 0、 2 中选一个数字.从 1、 3、5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中无重复的个数为 _ .解：从 0、2 中选一个数字 0,则 0 不只能排在百位，从 1、3、5 中选两个数字之一排在百位，共有A2A2=12种；从 0、2 中选一个数字 2,从 1、3、5 中选两个数字全排列，共有C：A3=18种；故共有12 18 =30种.故答案为：30.方程为解：因为(C)2=1- (b)2=10，所以b=3，所以渐近线方程为 y = 3x . a aa故答案为：y = 3x .7将函数 f(x)的图象向右平移个单位后得到函数 y=4s

4、in(2x)的图象，贝 U f ()的值为634解：由将函数 f(x)的图象向右平移 二个单位后得到函数 y=4sin(2x_=)的图象，63可得把函数 y =4sin(2 x _二)的图象向左平移 丄个单位后得函数 f (x)的图象，36故 f(x)=4sin(2x) =4sin 2x，贝 U f(-) =4sin4，3342故答案为：4.&设定义在R上的奇函数 f(x)在区间0，；)上是单调减函数，且f(x2-3x) f(2)0,则实数 x 的取值范围是_.解：根据题意，f(x)是在R上的奇函数 f(x)，且在区间0， :：)上是单调减函数，则其在区间(-：,0)上递减，则函数 f(x)在

5、R上为减函数，2 2 2 2f (x -3x) f(2)0=f(x 3x) f(2) =f (x 3x) f(2)= x - 3x AADDiBCD AiiCiDi四棱锥 A -AEFD的体积 VAEFD=9 13.已知向量 a , b , c 满足 a bc，且 a 与 b 的夹角的正切为11，b 与 c 的夹角的正切为一，|b卜2，23sin B 1解：连接DE，页7第可得 sin B5,5同理可得 sinCI0,10由正弦定理可得2|c|=aL,sin 135 V5乐570即有冷=匕，面二兰,55则,和九,|迹 45 二亡5 2j.5525x14.已知 f(x) =m(x -2m)(x

6、m 3) ,g(x)=2 - 2，若同时满足条件：1-x：=R， f (x)：0 或 g(x)：0 ；2x (：，-4)， f(x)g(x)：:0 .则 m 的取值范围是_.解：对于：g(x) =2x一2，当x：:1 时，g(x) : 0 ,又一 一x三R, f (x)：0 或 g(x) : 0.f (x) =m(x -2m)(x m 3) :0 在xT 时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在(1,0)的左面m : 0则-m-3：1I2m：1一 4 :m：0即成立的范围为-4 -m：0又一 x (-匚：，-4) , f (x)g(x) : 0 x此时g(x) =

7、2 -2：0恒成立-f (x) =m(2m)(x m 3) 0 在 x，(-：,Y)有成立的可能，则只要-4比洛,(i) 当-1：m：0 时，较小的根为-m-3 , 如-3：Y 不成立，x2中的较小的根大即可,故答案为：4.5页8第(ii)当 m=-1 时，两个根同为 -2 亏-4，不成立，(iii)当-4: m 时，较小的根为 2m , 2m”-4 即 m“-2 成立.页9第综上可得成立时-4 : m”2.,向量 m =(ta nA ta nB,si n 2C)和向量 n =(1,cos AcosB)是共线向量.(1) 求角C；(2) 求ABC的边长 c .解：(1) 丁m/n, . (ta

8、n A tan B)cos AcosB =sin2C，即sin AcosB cosAsinB=sin2C,sin (A B)二 s in2C ,.sinC =2sinCcosC+ I1t sinC丄0, . cosC =2Tc (0,二)31C 二_3(2)由 ACSAB -CB) =18 得:3 2S二如航三业址子9 3,a =6 2, c?b2abcosC =54,- c=3616.（本小题满分 14 分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，且 AB ,BC=1,E,F分别为AB,PC中点.（1）求证：EF/平面PAD;故答案为：（-4,二）.90 分请在答题卡指定区域程或演算步骤内作答

9、.解答时应写出文字说明、证明过15.（本小题满分 14 分）r t *2ACb；AB BC) =AC =18,已知JABC的面积为 9 3，且页10第（2）若平面PAC_平面ABCD，求证：平面PAC_平面PDE.页11第证明：（1）方法一：取线段PD的中点M，连接FM,AM因为F为PC的中点，所以FM /CD，且 FM 二丄 CD 2因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EA/CD，且 EA =CD 2所以FM /EA，且FM二EA所以四边形AEFM为平行四边形.所以EF / /AM又AM平面PAD,EF平面PAD，所以EF /平面PAD方法二： 连接CE并延长交DA的延长线于N，

10、连接PN 因为四边形ABCD为矩形， 所以AD / /BC, 所以BCE =/ANE,CBE =/NAE又AE =EB，所以CEB二：NEA.所以CE =NE 又F为PC的中点，所以EF/NP（5 分） 又NP平面PAD,EF平面PAD，所以EF /平面PAD方法三：取CD的中点 Q，连接 FQ , EQ 在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以 AE =DQ，且 AE/DQ所以四边形 AEQD 为平行四边形，所以 EQ/AD 又AD二平面PAD, EQ 平面PAD，所以 EQ / /平面PAD因为 Q ,F分别为CD,CP的中点，所以 FQ/PD 又PD二平面PAD, FQ 平面PAD，所以

11、FQ /平面PAD又 FQ , EQ 平面 EQF , FQ|EQ =Q，所以平面 EQF /平面因为EF平面 EQF，所以EF /平面PAD（2）设AC,DE相交于GPADF页12第在矩形ABCD中，因为 AB=J；2BC, E为AB的中点所以 DA = CD =、2 . AE DA又.DAE二/CDA，所以.QAEs. QDA，所以.ADE二/DCA.又.ADE . CDE =/ADC =90，所以.DCA . CDE =90.由DGC的内角和为180，得.DGC =90即DE _ AC.因为平面PAC_平面ABCD因为DE二平面ABCD，所以DE_平面PAC，又DE二平面PDE，所以平面

12、PAC_平面PDE17.(本小题满分 14 分)如图，OM，ON是两条海岸线，Q 为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头.已知tan. MON=-3，OA =6km，Q 到海岸线OM，ON的距离分别为3km，6卫 km 现要在海岸线ON上再建一个码头， 5使得在水上旅游直线AB经过小岛 Q .(1) 求水上旅游线AB的长;(2)若小岛正北方向距离小岛6km处的海中有一个圆形强水波P， 从水波生成th时的半径为 r=3、_at(a 为大于零的常数)强水波开始生成时，一游轮以182km/h 的速度自码头A开往码头B，问实数 a 在什则由题设得： A(6,0)，直线ON的方程为 y=-3x，Q(

13、，3)(x00).由|3x0_3症，及 X00 得 X0*，Q(3,3)105轴，建立直角坐标系如图所示.页13第.直线 AQ 的方程为 y - -(x 6)，即 x y 6 =0 ,由y3X得八山 込 + y _6 =0 J =9.AB =(匕二6厂92=9- 2, 即水上旅游线AB的长为 9. 2km .(2)设试验产生的强水波圆P,由题意可得 P(3,9)，生成 t 小时时，游轮在线段AB上的点C处，则 1AC=18 2t，0 剟比，C(6 -18t,18t).2强水波不会波及游轮的航行即PC2r2对 t：订 0,恒成立.PC2=(18t -3)2(1 & -9)2r2=9at,10 1

14、0 1旳48令 gt 帀48% ,g(t) =72t104824 5 -48，当且仅当 t 二 t当t =0时，上式恒成立,(1T当 t 式 0 时，即岸|0,-时,I 2 一-6(0,1时等号成立,所以，在 0：a：24.5 48时 r：PC恒成亦即强水波不会波及游轮的航行.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆E:笃* =1(a b 0)过点(1,，其左、右焦点分别为、F2,离心率为(1)求椭圆E的方程;(2)若 A、B分别为椭圆E的左、右顶点,(i)求证：OLOM 为定值；动点M满足MB _ AB，且MA交椭圆E于点P.(ii)设PB与Q，问：直线 MQ 是否过定点，并说明理由.18.(

15、本小题满分 16 分)页14第解得 a =2 , b = 2 ,2 2即有椭圆方程为y1;42(2) (i)证明：由 A(_2,0) , B(2,0) ,MB_AB, 设 M (2, yo) , P(x , Vi),可得 MA : y聖,2yo. yoVI二二 为242yo8(ii)直线 MQ 过定点 0(0,0).由PB与以PM为直径的圆的另一交点为 Q ,可得 MQ _ PB，即有 kMQ02则直线 MQ : y _y0 =四& -2),2yo故直线 MQ 过定点 0(0,0).19.(本小题满分 16 分)k + a a *已知数列a.满足：印=a?= a3= k (常数 k 0) ,

16、a. i(n-3,n N ).数列bn满足：anbn丄吐(n N*).an 1()求 D , b2, b3, b4的值；(2)求出数列bn的通项公式；解：(1)由题意可得13_+_22rzr 222且 a b = c ,代入椭圆方程可得,2(1 旦)x282yo由_2“4(yo-8)yo28，可得 Xi2匹 x14=0,222( yo2-8)yo288yo贝 U OPOM4( yo2-8).8yo2 2yo8yo8_y0=4 为定值;yi8yoyo28理由如下：由题意可得 k”H_2(y。28)2(yo28)2yo，页15第(3)问：数列%的每一项能否均为整数？若能，求出k的所有可能值；若不能

17、，请说明理由.解：(1)由已知可知： a4=k 1 , ak 2, a6k 4 -.k把数列an的项代入 bn二別 壬，求得 bb2 , b2二 b4二空1;an4!kk * anan 1*(2)由an1-二(rr3,n N )，可知：a.Qn/=k - a.an.则：an 2an丄=kan 1an有：anan 2a2 n，即:an +anla1a3小6n_b2n _3 _b1 -3=2 ,a2,4k +1(J)n.bna42k 1(3)假设存在正数 k，使得数列an的每一项均为整数,则由a2n 1=2a2n- a2n 1(2)可知：2k 1，a2n 1 _a2n由 a12= k：=Z ,a6

18、=k 4 Z，可知k =1, 2.k2k+1当k -1时，竺丄=3为整数，利用 a1, a2, a3Z，结合式，可知%的每一项均为整数;a2n 1=2a2 n_a2 n1当k =2时，变为，a2n 2=2a2n 1-a2n用数学归纳法证明a2n 1为偶数，a2n为整数.n =1时，结论显然成立，假设n二k时结论成立，这时 a?.为偶数，a?n为整数,故 a2n 1=2a2n-a2n丄为偶数,a2n 2为整数，.n k 1时，命题成立.故数列an是整数列.综上所述，k 为 1, 2 时，数列an是整数列.20.(本小题满分 16 分)设函数 f (x) =(x -a)lnx -x a ,a：=

19、R.bn= bn Jan 2页16第解：(1)当a =0时，f (x) =xlnx - x , f (x)=1nx ,令 f (x) =0 , x=1，列表分析x(0,1)1(1,Sf (x)0+f(x)单调递减单调递增故 f (x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,;) a(2) f(x)=(x_a)lnxx a， f (x) =1 nx，其中x 0，x1令 g(x) =xlnx _a ,分析 g(x)的零点情况.g (x) =1 nx 1，令 g (x) =0 , x =-，列表分析ex1(0,) e1 e(丄，gegr(x)0+g(x)单调递减单调递增g(X)min ga，

20、e e而 f C)=1 n1-ae -1 -ae,f(e) =_2 ae3二-(2ae2)， f(e2)=2 -卫(2e2- a)，e ee2 e21若 a, 1，贝 U f (x) =1 nx a0 ,ex故 f (x)在(e2,e2)内没有极值点；_!亠 1 2 1 12 2 222右a，贝 U f ( ) =ln ae：0 ,f (e) -(2 ae ) 0, f (e )(2e - a) 0 ,ee2e ee因此 f (x)在(e,e )有两个零点，f(x)在(e,e )内有两个极值点；32 2当a, 0)时，f(x)在(e,e )内有一个极值点.e2(3)猜想:x (1,1 a) ,

21、 f(x)：a-1 恒成立.证明如下：1由(2)得 g(x)在(丄，：)上单调递增，且g(1) =a：0, g(1 a(V a)ln(1 a)-a .e(1)若a =0,求函数 f(x)的单调区间;(2)若a：0，试判断函数 f (x)在区间(e,e2)内的极值点的个数，并说明理由;(3)求证：对任意的正数 a,都存在实数 t,满足：对任意的(t,t a), f(x)：a-1.页17第3若一,a：0 ,则 f 山=1 n1-ae：0,f(ej二-(2 ae2),0, f(e2)= (2e2-a) 0 ,e2e ee2因此 f (x)在(e,e2)有一个零点，f(x)在(e,e2)内有一个极值点

22、；综上所述，当a (-:,丄时，f(x)在(e,e2)内没有极值点；e当a(-1,-)时，f (x)在(e,)内有两个极值点；e e2页18第1 1因为当x 1时，Inx1(*)，所以 g(1 a) (1 a)(1) a = 0 -xa+1故 g(x)在(1,1 a)上存在唯一的零点，设为x0.由x(1,X。)X。(X0, 1+a)f (x)0+f(x)单调递减单调递增知，x 壬(1,1+a) , f (x) ：max f (1), f1 )a.又 f (1 a) = In (1 川-a) -1，而x 1时，Inx : x -1(*),所以 f (1 a)：(a 1) _1 _1 二 a _1

23、 二 f ( 1).即 x 门(1,1 a), f (x) : a -1.所以对任意的正数 a ,都存在实数t =1，使对任意的(t,t a)，使 f(x) :：:a -1 .补充证明(*):111x _1令 F(x)=lnx 1 , x-1 . F (x)-0 ,xxx2x2所以 F(x)在1 ,:：)上单调递增.所以x .1时，F(x) F (1)=0,即 inx .1 -丄.x补充证明(*)1令 G(x) =1 nx -x 1 , xT . G (x)1, 0 ,x所以 G(x)在1，:：)上单调递减.所以x时,G(x) : G (1) = 0 ,即Inx：: x-1 .页19第海安中学

24、 2020 届高三阶段测试三数学附加题21.选做题，本题包括三小题，请选定其中两题，并在相应区域作答a b1=十一十,+A.已知二阶矩阵A =，矩阵A属于特征值i1 的一个特征向量为印=，属于特征值 2=4 的一cd-13个特征向量为 a1=.求矩阵A.2解：由特征值、特征向量定义可知，= M：-1 ,即a b 11=-11，得a比1H_c d.卜 1.|L1_-1c - d =13a 2b =12同理可得解得a =2,b =3,c =2,d =1.3c+2d=8，因此矩阵A =2 3.2 1B .在极坐标系中，已知 A（ 1， ） , B（ 9, ），线段AB的垂直平分线I与极轴交于点C，求

25、I的极33坐标方程及ABC的面积.解：由题意，线段AB的中点坐标为（5,）,3设点 P （,为为直线I上任意一点，在直角三角形OMP中，cos（r 一一）=5 ,3所以，I的极坐标方程为 cos（d 一一）=5 ,3令 V -0,得 T =10，即 C（10,0） . （8 分）1皐l所以，ABC的面积为：一（9-1） 10 sin-=20.3 .23页20第22.已知实数 a, b 满足 |a b|, 2，求证：|a2 2a -b22b |, 4（|a| 2）.证明：由 |b|a| 剟 |a b| 2，可得 |b|, |a| 2 ,页21第|a22a _b22b |#(a b)(a _b)

26、2(a b)|彳 a b|ja -b 2|, 2|a -b 2 |,要证|a22a -b22b|, 4(|a| 2), 即证 |a _b 2|, 2(|a| 2), 由于 |b 2|, |a| |b| 2,即证 |a|b| 2, 2(|a| 2),即为|b|, |a| 2，显然成立.故原不等式成立.23如图，在四棱锥P-ABCD中，已知棱AB,AD,AP两两垂直，长度分别为 1, 2, 2.若 DC 启,且向量 PC 与 BD 夹角的余弦值为 二5.15(1)求实数的值；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.解：以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP为 x ,y, z 轴建立如图所示空间直角坐标系;+ T则：A(0 , 0, 0) , B(1 , 0, 0) , D(0 , 2, 0) , P(0 , 0, 2) ; DC AB , 可得 C( , 2, 0).(1)PC =( , 2, -2) , BD =(-1 , 2, 0)，向量 PC 与 BD 夹角的余弦值为 .15 可得：-春，解得=10(舍去)或，=2.1528L 14实数的值为 2.;TIT