2020届河南省中原名校高三上学期第五次质量考评数学(文)试题(解析版)

1、第1 1页共 1818 页2020 届河南省中原名校高三上学期第五次质量考评数学（文）试题、单选题1 1.已知集合Ay |y2x1,By |ylOg3x,1x 9，则（）3A A . A A B BB B.B AC C.AI BD.AUB R【答案】B B【解析】解不等式求出集合即可得出结论.【详解】解：- Ay|y 2x11,By |y1logsx, x 91,2,3BA,故选：B.【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，考查指数函数与对数函数的性质，属于基础题.1 3i2 2 .在复平面内，复数z（i为虚数单位）所对应的点位于（）i 2A A .第一象限B B.第二象限C C .第三象限D

2、D .第四象限【答案】D Dz z，再根据复数的几何意义即可得出结1 3i1 3i i 21 7i 17ii 2i 2 i 2555复数 z z 所对应的点位于第四象限，故选：D D.【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，属于基础题.【解析】论.【详解】解: TZ第2 2页共 1818 页2.小2sin cos2tan33-sin222231sin cos1 tan59故选：A A.【点睛】 本题主要考查简单的三角恒等变换，考查万能公式，属于基础题.4 4 已知等比数列an满足aa33 2, a3a732，则A A.4、2B B.42C C.4 2【答案】C C【解析】根据等比数列的性质

3、求解即可.【详解】解： a3a732,a5a3a732, a as4 4 2 2 ,又ai a33 20,- a54-2 ,故选：C C.3 3 .若tan1，则 sinsin 2 2()42B B.【答案】A A【解析】根据差角的正切公式求出ta n，再根据万能公式求出4D D .5sin2【详解：Ttan二tantantan 114421131 tantan1 442第3 3页共 1818 页【点睛】第4 4页共 1818 页本题主要考查等比数列的性质，属于基础题.0 53.,c 0.5,则如图所示的程序框图的输出结果为(【解析】根据指数函数与对数函数的性质，模拟程序运行可知输出的为最大数

4、，由此可得出结果.【详解】解：-a log0.52, b 20.5,c 0.53,a 1 0 c - 1 b. 2,8模拟程序运行可知输出的为最大数，则输出的值为b 2，故选：D D 【点睛】本题主要考查程序框图，考查比较指数与对数的大笑，属于基础题.6 6 正整数列按如下规律分组:(1),(2,3,4),(5,6,7,8,9),(10,11,12,13,14,15,16),则第 100100 组的第 100100 个数字是()A A 1030110301B B. 1010010100C C 99019901D D . 97049704【答案】C C【解析】由题意可知第n组的最后一个数是n2,

5、由此可得出结论.【答案】D D第5 5页共 1818 页【详解】解：由题意可知第n组的最后一个数是n2,第6 6页共 1818 页第100组的第100个数字是9921009901, 故选：C C.【点睛】 本题主要考查数列分组问题，属于基础题.7 7 .已知某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各条棱中长度的最大值为（由图可知， 最 长棱为SC J324232J34，故选：D D.【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，考查空间想象能力，属于中档题.B B. 29C C. 41D D.34【解析】先将三视图还原几何体可知该多面体为四棱锥，再求最长棱.【详解：由题意可知，该多面体为四棱锥如图,【答

6、案】D D3*芥乔I第7 7页共 1818 页x y30,-的最大值为(8 8 .若实数x, y满足2xy20,则z)x3xy40,75A A .B B.C C. 2 2D D . 8 837【答案】D D【解析】先画出不等式组表示的平面区域，再根据直线斜率的几何意义求解即可.【详解】AO由图可知当直线经过点A -,8时，斜率最大，为z乂8，3 3x故选：D D.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，考查数形结合思想，属于基础题.9 9 .定义在R上的偶函数 f(x)f(x)满足 f(xf(x 3)3) f(x)f(x)，若f(2)3m 1，且2mf (4) 2m 1，则实数m的取值范围为()A

7、 A.B B.RC C.(,2)D D.(2,)【答案】C C2x y解得，即A目标函数y表示经过原点的直线的斜率,第8 8页共 1818 页【解析】由题意可得f(x 6) f(x)，结合偶函数的性质得f (4) f (2)，从而第9 9页共 1818 页第1010页共 1818 页【详解】解：f (x) 2x sinx,【详解：Tf(xf(x 3)3)f f (x(x 6)6) f f (x(x又 f f(x)(x)是解出即可.f(x)f(x),3)3) f(x)f(x), f(4)f(4) f(f( 4)4)f(2)f(2),3m 1，且f2m 1,3m 12m2即2m 2m 32m22m

8、 3故选：【点本题主要考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，属于中档题.1010 .有以下命题:函数f(x) 2x sinx有且只有一个零点;“x (0,),1 nx 2x 3 0”的否定为 “x (0, ),ln已知f (x)是定义域为R的函数 f(x)f(x)的导函数，贝 U U“f(x)f(x)为x 2x 3 0”；亍函数”是“f (x)为偶函数”的充要条件;22若匚1表示双曲线，则实数m的范围是mm 13 m其中正确命题的个数为(B B. 1 1【答案】B B【解析】 对于，求导后即可判断；对于,”的否定即可；对于 ，根据双曲线的标准方程有D D . 3 3”对于，举一个反例解出即可判断

9、.第1111页共 1818 页 f (x)2 cosx 0在R上恒成立，函数f(x) 2x sinx在R上单调递增，又f (0)0，函数f (x) 2x sinx有且只有一个零点，故 对; “x (0,),l nx 2x 3 0”的否定为“X。(0,),ln x2x030”故错；若f (x)2si nx不具有奇偶性，但导函数f(x)cosx为偶函数，故 错；2若X2y1表示双曲线，则m 13 m0,得m1或m 3，故错；故选：B B.【点睛】本题主要考查判断命题的真假性，考查函数的性质，考查双曲线的标准方程，属于中档题.1111.过抛物线C : y24x的焦点F的直线I交抛物线C于A,B两点，

10、且满足交AM于点D，再利用抛物线的定义求解即可.【详解】 解：过 代B分别作准线的垂线，垂足依次为M,N,过点B作BD垂直于AM，交AM于点D,uuuAFuuu2FB， 则直线I的斜率k(k0)的值为(A A .2、2【答案】A AB B. 2323【解析】 过A, B分别作准线的垂线，垂足依次为M ,N，过点B作BD垂直于AM,第1212页共 1818 页第1313页共 1818 页设|BF| r，则|AF | 2r, |AD|AM| |BN|r,BD| AB f| AD f 2 2r， k tan BAD2.2,|AD |故选：A A.【点睛】本题主要考查抛物线定义的运用，属于中档题.12

11、12 .已知函数f (x)2xe(2 a)x -2x2,e 2ax ax(a0)有且仅有两个零点，则实数a的值是()3311A A .小2B B.亠2C C. c 2D D .小2eeee【答案】 B B【解析】 由题意有f(x)xae axex2x，从而得出y ex与y ax-有22【详解】xa cy e与y ax 及y2x共有 2 2 个不同的交点，而y ex与y 2x在y轴左侧有一个交点，xay e与y ax有且仅有一个交点，由抛物线的定义得|BN | r,|AM | 2r,且仅有一个交点，即直线axax2与y e相切，则满足条件，设切点坐标为x0 xo, yo，可得exoaXoXoea

12、，解出即可.2解：由题意有,f(x) exax亍第1414页共 1818 页a当a 0时，若直线y ax与y ex相切，则满足条件,第1515页共 1818 页设切点坐标为x,yo，可得切线方程为y exe x冷,.a3a，二aalna-，解得a孕,-乙2【点睛】 本题主要考查函数的零点个数，考查转化与化归思想，属于难题.二、填空题log2(x 1),x1,31313 .已知函数f(x) X，则f f 21x,x1,4-【答案】8 8【解析】从内到外，根据分段函数的解析式求解即可.【详解】XoeaX0XeXoe解:f(x)log2(x 1),x1 x2 ,x 1,1,log2 f f3f 22

13、1 28,4故答案为：8 8.【点本题主要考查分段函数求函数值，属于基础题.Lrr1414 .已知向量m (2,3), n (2 ,3)，若m与n的夹角为钝角，则实数围是_ . .的取值范【答33 922,7【解析】由题意得m n0且mn不成立由此可求出答案.【详解】解： m (2,3)与n (23)的夹角为钝角,第1616页共 1818 页2 2x y 2x 4y 10交于A, B两点，则| AB |的最小值是【答案】22【解析】先求出直线经过的定点，再由圆的方程得出圆心和半径，再由几何知识得出最短弦与过该点的直径垂直，由此可求出答案.【详解】解：由题意，直线2kx y 4k 3 0即2k

14、x 2 y 3 0过定点（2,32,3）,圆x2y22x 4y 1 0的标准方程为（x 1）2（y 2）24,圆心为（1,2），半径为 2 2, 点（2,32,3）在圆的内部，且到圆心的距离为d2，ABmin2厂242, 故答案为：2 2.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查几何法求弦长，属于基础题.1616 直三棱柱ABC ABQ1中，AB 1,BC 4, ABC 120，侧棱AA 2 则此三棱柱外接球的表面积为 _. .【答案】32【解析】设直三棱柱ABC AB1C1下底面三角形外心为点D，上底面三角形的外心为D1，则三棱柱ABC A1B1C1外接球的球心为DD1中点O，由正弦定理

15、与余弦定理即可求出答案.【详解】故答案为:【点0，解得本题主要考查平面向量数量积的应用, 属于易错的基础题.1515 .直线2kx y 4k 30与圆第1717页共 1818 页解：AB 2, BC 2、2, ABC 120,由余弦定理得AC2AB2BC22AB BC cos ABC,21即AC 116 2 1 421,2二AC刀，R 1AC1空护由正弦定理得底面ABC的外接圆的半径2 sinABC2.3，2设直三棱柱ABC AB1C1下底面三角形外心为点D，上底面三角形的外心为D1, 则三棱柱ABCAB1C1外接球的球心为DD1中点O，在Rt ADO中，AD , 7, DO 1,外接球的半径

16、OA .,7122,此三棱柱外接球的表面积为4(2 2)232,故答案为：32【点睛】本题主要考查几何体的外接球的表面积，关键在于找到球心的位置，属于难题.三、解答题1717已知命题p: x 1,2, x22ax 30,命题q：关于a的不等式t2a22ta 3, 0(t 0). .若命题P是命题q的必要不充分条件，求实数t的取值范围3【答案】，2【解析】先求出命题P和q为真命题时参数a的范围，再根据必要不充分条件的定义得 出两个范围之间的包含关系，从而可得出结论.【详解】23解：对于命题P，因为1 x 2，所以x22ax 3 0 2a xx3函数f(x) x在1,、3上单调递减，在区间-.3,

17、2上单调递增，第1818页共 1818 页x且f (1) 4, f (2) I，所以f(X)maxf(1) 4,所以命题p为真命题时，a 2,2 213对于命题q，不等式t a 2ta 3 0(t 0)的解集为a -,t t因为P是q的必要不充分条件，所以q p，且p q,1 3即 -,u(,2),t t33即2，所以tt23故实数t的取值范围为，2【点睛】本题主要考查充分条件必要条件的应用，属于基础题.1818 在锐角三角形ABC中，a,b,c分别为内角 代B,C的对边，满足(2a c)cos B bcosC. .(1) 求B;(2) 若b 3，求2a c的取值范围 【答案】(1 1)B (

18、2 2)(0,3 .,3)3【解析】(1 1)由正弦定理得(2sin A sinC)cosB sin BcosC，再根据内角和即可得1出cosB，解出即可；2旦孚2爲(2 2)由正弦定理得sinB , 3，边化角，再利用三角函数的性质即可求出答2案.【详解】解：(1 1)因为(2 a c)cos B b cosC,由正弦定理得：(2si nA si nC)cosB si n BcosC,即2sinAcosB sin BcosC sinCcosB sin(B C) sin(A) sin A,1因为sin A 0，所以cosB -,2第1919页共 1818 页因为ABC为锐角三角形，所以B-；3

19、第2020页共 1818 页a131(2)bn【详解】解：(1 1 )3a1则a1a14d a1d2a c (2sin A sinC)2 32sin A sin sin B3解得-A A - -,故2a c的取值范围为(0,3、.3).【点睛】比中项，Sn为an的前n项和. .(1(1)求an及Sn；(2(2)若bnan 13an，求数列 b bn的前项和【答案】(1)an2n1,Snn2. .(2 2)Tn【解析】(1 1)设an的公差为 d(dd(d 0)0)，根据等差数列的通项公式可得3q 8d 19b因为b 3，B 3，所以市2、3|sinAycosA6sin A一6因为ABC为锐角三

20、角形，且B 3，所以所以0 A，所以0636sin A 6本题主考查计算能力, 属于中档题.1919 .已知an是公差不为零的等差数列，满足a2a4a519，且a?是印与的等2n 1(8n3) 39322，解出第2121页共 1818 页ai1,d 2,所以an2n 1,9 22- (2n 1) 32n 182n 19(8n 3) 34所以Tn(8n3) 32n 1932【点睛】本题主要考查等差数列的性质，考查错位相减法求和，考查计算能力，属于中档题.2020如图 1 1，已知平面四边形ABCD中，AB/CD,AD BC 2,AB 1,CD 3. .点（2）bnan13an2n 1(2n1)

21、3,记数列bn的前n项和为Tn,则T b1b2b3Lbn3 315337 35L(2n 1) 32n 1,所以9Tn3 33535L(2n1) 32n 1(2n 1)32n 1,两式相减得:8Tn9 2 3335L32n1(2n1) 32n 1Snn(1 2n 1)22第2222页共 1818 页（2 2）在（1 1）的条件下，求三棱锥B ACM的体积. .【答案】（1 1）证明见解析（2 2）12E在CD上，且满足AE CD 沿AE将VADE折起，使得平面ADE平面ABCE, 如图 2.2.（1）若点M是CD的中点，证明：BM /平面ADE;第2323页共 1818 页1【解析】(1 1)取

22、DE的中点N，连接AN,MN，则MN / /EC，且MN专EC，由1题意可得出AB/EC，且AB -EC，从而MN/AB且MN AB，则BM/AN,2从而BM / /平面ADE;(2 2)由题意得AE EC, AE ED，从而得出DE平面ABCE，则点M至U平面1ABCE的距离为-，再根据等体积法即可求出答案.2【详解】(1 1)证：取DE的中点N，连接AN, MN,1因为M是CD的中点，所以MN/EC，且MN EC,2因为在图 1 1 中，AB/CD,AD BC 2, AB 1,CD 3,1所以AB/EC，且AB 1,EC 2，即AB EC,2所以MN/AB且MN AB,所以，四边形ABMN

23、是平行四边形，所以BM /AN,又因为BM平面ADE,AN平面ADE,所以BM / /平面ADE;(2 2)解：因为图 1 1 中AE CD，所以图 2 2 中AE EC, AE ED,又因为平面ADE平面ABCE，平面ADE I平面ABCE AE, 所以DE平面ABCE,由已知得DE 1,1因为M是CD的中点，所以点M至序面ABCE的距离为-,2因为AD 2,DE 1,AE DE，所以AE . 3,所以SABC11 33,2 2第2424页共 1818 页所以VBACMVMABC35 1 /32 2 12【点睛】本题主要考查线面平行的判定, 考查等体积法求三棱锥的体积，属于中档题.2121.

24、已知定点A(0,1),B(0,1)，动点P与A、B两点连线的斜率之积为(1(1)求点 P P 的轨迹C的方程;(2(2)已知点M是轨迹C上的动点，点N在直线 y y2上，且满足uuuuOMC)N 0(其中0为坐标原点)，求OMN面积的最小值 2【答案】(1 1)x2y21(x 0)( 2 2)、2【解析】(1 1)设点P(x,y)，则2，化简即可得出答案;(2)由题意0MON，当点在椭圆的左右顶点位置时，易求出面积；当点在椭圆的左右顶点位置时，设直线0M的斜率k，联立直线与椭圆的方程可求得|OM |：2(2，同理可求得|ON|,4k24,再利用换元法即可求出面积的最值.【详解】解: (1 1)设点P(x, y)，则x0，且kPA山kPBx所以x2化简得2y21,故点P的轨迹C的方程为x2y21(x0)(2)厂 ,uuuu uuir因为OM ON0，所以OM ON,当占=1八、 、2M在椭圆22y 1(x0)的左右顶点位置时,SOMN当占=1八、 、2M不在椭圆y221(x0)的左右顶点位置时,直线OM的斜率存在且不为 0 0,设为k，则OM的方程为 y ykxkx ,第2525页共 1818 页第2626页共 1818 页y kx,x22解得Ty 1,x221 2k22k2i i2k2,此时ON的方程