2020届湖北省部分重点中学高三第二次联考数学(理)试题(解析版)

1、第1页共 20 页2020 届湖北省部分重点中学高三第二次联考数学(理)试题一、单选题1 设集合A x|y,B x|(x 1)(x 3) 0，则eRA I B()A.1,3)B.(1,3)C.( 1,0 U1,3)D.( 1,0U(1,3)【答案】B【解析】A是函数的定义域，B是不等式的解集，分别求出后再由集合的运算法则计算.【详解】由题意Ax|1 x 0 x|x 1,Bx| 1 x 3,CRAx|x 1,- (CRA)IB x |1 x3 (1,3).故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，解题时需先确定集合AB中的元素，然后才可能利用集合运算法则计算.2 .复数 z满足(1 i)z |2i

2、|，则z().A.2 2iB.1 iC.2 2iD. 1 i【答案】D【解析】根据复数的模与代数形式的运算性质求解即可.【详解】解：-(1 i)z | 2i| 2,故选：D.【点睛】 本题主要考查复数的模以及复数代数形式的运算性质，属于基础题.3 若实数x,y满足2s+ 2: = ,则 X r 的最大值是()第2页共 20 页B. -2【答案】B【解析】利用基本不等式求 x+y 的最大值得解【详解】由题得于 7、巳讣旷孑=2护（当且仅当 x=y=-1 时取等）所以 1* _1斗二怎、 a = “所以 x+y=2.所以 x+y 的最大值为-2.故选：B【点睛】本题主要考查基本不等式，意在考查学生

3、对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力4非零向量a,b满足ab77尚且（vb）v【答案】C算可得所求值.【详解】由a b肖得，护Z220ib 7护又由（aV）a0得，a bvvr r将代入式，整理得：b24a2，即 b 2 a故选C.【点睛】属于中档题.5 .中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式, 旗杆正0,a,b的夹角为（A . 30B.45C.60D .90【解析】 运用向量的平方即为模的平方，求得b 2 a，由向量数量积的夹角公式，计又因为cosV，bVI2Va 2a彳，即Vb的夹角为60本题考查向量考查向量的平方即为模的平方， 考查运算能力,第3

4、页共 20 页好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和 30 ,第一排和最后一排的距离为10、2米（如图所示），旗第4页共 20 页杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升【答案】B【解析】如解析中图形，可在HAB中，利用正弦定理求出HB，然后在Rt HBO中 求出直角边H0即旗杆的高度，最后可得速度.【详解】如图，由题意HAB 45 , HBA 105,二AHB 30,故选 B.【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件.

5、6.孙子算经中曾经记载，中国古代诸侯的等级从高到低分为：公、侯、伯、子、男,共有五级 .右给有巨大贝献的甲、 乙两人进行封爵，则甲比乙获封等级高的概率为（）2143A .B.-C.D.-5555【答案】A3 323237 J3238.323在HAB中,HBsin HAB AB，即sin AHBsin 45,HB 20.sin 3010、3v465込23（米 /秒）.旗的速度应为（米/秒）第5页共 20 页8.已知sin3cos，则tan2()36B.2 3D.2、3【解析】 利用组合数求出基本事件总数以及事件甲比乙获封等级高”包含的基本事件 数，再用古典概型的的概率计算公式求解即可.【详解】解

6、：甲、乙两人进行封爵共有C5C；25种,11111甲比乙获封等级咼有C5C4C3C2C110种，10 2所求概率为P -255故选：A.【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题.7 .已知0.80.8,则实数a 的取值范围是（）A .(,0)B.0,1C.(1,)D.1,)【答案】 A【解析】 由0.8a0.8a可得0.8a0.81，再根据指数函数的单调性即可求出答案.【详解】解：/0.810.8 0,0.80.81,又0.8a0.8a0.8a0.8x0.81,而函数y0.8在R上单调递增， a 0 ,故选：A.【点睛】本题主要考查根据指数函数的单调性求参数的范围，属于基础题.第

7、6页共 20 页【答案】A解：Tsin1.3Q骣31 .sina- cosa = - 3 cosa+s ina22琪22tan- tan2【点睛】 本题主要考查简单的三角恒等变换和二倍角的正切公式，属于基础题.1,x 0,329.已知符号函数sgn x 0, x 0,那么y sgn x 3x x 1的大致图象是（）1,x 0,【解析】令f3x x3x2x 1,则f xx 12小x 2x1x 1 x 1Jx 121,x 0f 10, f 1 20, f 1-20,Q sgn x0,x01,x0sgn f 10，可排除 A,B，又sgn f 120 , sgn f 120,可排除C，故选D.【解析

8、】由sin出结论.【详解】3cos6可得tan丄3，再用二倍角公式即可求23cos，即2sin2ta n1 tan243【答案】D22【详解】第 6 页共 20 页x10 .已知A, B为椭圆4-1上的两个动点,3M 1,0，且满足MA MB,则uuirMAUUU ,+卄,BA的取值范围为3,4B.491,9D.9,44【答案】C【解析】由题可得MABAUULTMAuuu(MAuurMB)UUU2MA，设M(x, y)，由两点间距离公式结合x2,2可得解.【详解】A, B为椭圆1上的两个动点,M 1,0为其左焦点.MAMB，则有UULTMAUULTMB 0.uuuMAULUUUT BAMAUU

9、T(MAUULT UJU2MB) MA.设M (x, y)，则3(1UULT2MA(x 1)2(x1)223(1 y)42x 4(x44)2.UULT22,2，得MA14(x24)1,9.故选C.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的应用及数量积的坐标运算, 属于中档题11 .设数列an的前项和为Sn，且ai1,an2(n 1) n2，则nSn2n的最小值是(B. 2【答案】【解析】由题意得当n2时，SnSn1)，得Sn2，从而求出2Sn2n2n22n33n2利用导数得数列nSn2n2个递增数列,从而可求出答案.22【详解】第 6 页共 20 页第9页共 20 页an鱼2(n 1),nSn当n 2时

10、,SnSn12(n1),nn1 SnSn 12(n 1),n-n1 &512n(n 1),.SnSn 12,nn 1又Sa111数列Sn是以 1为首项，2 位公差1的等差nSn1 2n 12n 1,nSn22n n,nSn2n22n3n22n22n33n2,令yr3小22x 3x ,x21，则y 6x6x数列nSn2n2是一个递增数列，当n1时,nSn22n有最小值23故选： A.解：1,【点睛】6x x 10,本题主要考查地推数列的性质，考查等差数列的证明，属于中档题.12 .如图，已知四面体 ABCD 的各条棱长均等于 4, E , F 分别是棱 AD、BC 的中点.若用一个与直线

11、 EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为(4【答案】B第10页共 20 页uur13 .设D为ABC所在平面内一点，AD1uuu4uuuUUV AC，若BC3uuvDC R,【答案】-3【解析】直接利用向量的线性运算求出结果.【详解】D为ABC所在平面内一点uuv,AD1 uuv AB34 uuu/-AC,3-B, C, D 三点共线若BCuuv DCR ,uuv二ACuuvuuvACuavAD，【解析】将正四面体补成正方体，由此可得截面为平行四边形KL KN 4，且KN KL,禾U用基本不等式即可求出结论.【详解】可得EF

12、平面CHBG，且正方形边长为2、2，由于EF，故截面为平行四边形MNKL，且KL KN 4,又KL/BC,KN /AD，且AD BC,KN KL,2KN KL2当且仅当KL KN 2时取等号,【点睛】本题主要考查了面面平行的性质，考查了基本不等式的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题.二、填空题MNKL，且-SrMNKLKN KL解：将正四面体补成正方体如图,第11页共 20 页1uuv，与A- 1AB+4AC，比较可得：-，解3333.即答案为-3.【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题.b6ax2-的展开式中 x3项的系数为 20,则abx【答案】【详解】b6-的展开

13、式的通项公式为xTr 1C：26 rax令123r3，得r33- C6ab20,二ab1,故答案为： 1 【点睛】6 r. r 12 3rC6a b x,本题主要考查二项式的展开式的系数，属于基础题.x2y215已知双曲线 牙1 a0,b0的左、右焦点分别为Fi、F2，过点Fi作圆a b化为：AuU=-AEV+14 若【解利用二项式的展开式的通项公式求解即可.解：2ax第12页共 20 页x2y2a2的切线，与双曲线的右支交于点P，且F1PF245o。则双曲线的离心率为_ 。【答案】3【解析】【详解】记PF1F2.则PF2F1135设切点为M则在Rt OF1M中,sina,cos c-c .

14、a2b2c第13页共 20 页在PF1F2中，由正弦定理得TPFJ= 2/2csine = 2 * = 2迈aIPF,I=(2b十2-2Pa = 2a吕二爲故该双曲线的离心率为16 .为响应国家号召， 打赢脱贫致富攻坚战， 武汉大学团队带领湖北省大悟县新城镇熊 湾村村民建立有机、健康、高端、绿色的蔬菜基地，并策划生产、运输、销售”一体化的直销供应模式，据统计，当地村民两年时间成功脱贫蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份 10 元的价格销售到生鲜超市，每份 15 元的价格卖给顾客，如果当天前 8 小时卖不完，则超市通过促销以每份 5 元的价格卖给顾客（根 据经验，当天能够

15、把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）该生鲜超市统计了 100 天有机蔬菜在每天的前 8 小时内的销售量（单位：份），制成如 下表格（注：x, y N*，且x y 30）.若以 100 天记录的频率作为每日前 8 小时销 售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，若购进17份比购进 18 份的利润的期望值大，则x 的最小值是 _前 8 小时内销售量15161718192021频数10 x16161513y【答案】25【解析】 先根据条件求出分布列和期望，再根据 购进 17 份比购进 18 份的利润的期望 值大”即可得出答案.【详解】 解：若该超市一

16、天购进 17 份这种有机蔬菜，Y表示当天的利润（单位：元），那么Y1的分布列为第14页共 20 页【解析】（I）由2Sn2Sn 12ananan 11可以得出an -21 13an 12丫1657585P10 x90 x100100100丫1的数学期望E10半65751008510090 x 8300 10 x100100 若该超市一天购进18 份这种有机蔬菜，丫2表示当当天的利润（单位：元），那么丫2的分布列为丫260708090P10 x1674 x10010010010010 x1674 x 8540 20 x丫2的数学期望E Y2607080+90 -100 100 100 100 1

17、00购进 17 份比购进 18 份的利润的期望值大，8300 10 x854020 x口 “二，且x 30,100 100解得24 x 30,又x N*,X的最小值为 25,故答案为：25.【点睛】 本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.三、解答题（i）求证：数列an1为等比数列;2（n）求数列an1的前n项和Tn.n1 1n【答案】（i）详见解析；（n）Tn1 -.43217 .已知数列an的前n项和为Sn，且满足2Sna*n n N第15页共 20 页的前n项和Tn.【详解】(1)2Snan当n 2时，2Sn 1Tn【点睛】本题考查了等比数列的证明，考查利用分组求和法求数列

18、的前进而得出结论（n）由（i）可推导出an11，再利用分组求和法就能求出数列an12第16页共 20 页公比的等比数列。所以an18 .如图，四棱锥P ABCD中，PD平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形,PD AB 2, E 为 PC 上一点，当 F 为 DC的中点时，EF 平行于平面 PAD.两式相减，2ananan 1an13anan 1，所以数列an1为等比数列。2(n)由2S知，数列an1 1 12是以-为首项，为n 项和的求法.第17页共 20 页(I)求证：DE平面 PCB;【答案】(I)证明见解析;BC DE, 从而可证出DE平面PCB;(n)以点D为坐标原点，分别以直线D

19、A,DC,DP为x轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，求出平面BDE和平面PDB的的一个法向量，再根据法向量求出二面角.【详解】又Q DE平面PCD,BC DEQ PD CD，当F为DC的中点时,EF平行平面PAD，所以E是PC的中点,(n)解：以点D为坐标原点，分别以直线DA,DC,DP为x轴，y轴，z 轴，建uuruuur则D(0,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),E(0,1,1),DB (2,2,0),DE (0,1,1),DE PC,PC BC C,DE平面PCB;立如图所示的空间直角坐标系,(n)求二面角E BDP的余弦值.【解析】(I)PD平面ABCD

20、可得PD BC，从而证出 BC 丄平面PCD，则(I)证：Q PD平面ABCD ,PDBC,又 正方形ABCD中，CD BC,PDCD D,BC平面PCD,第18页共 20 页(2)直线 BD 恒过 x 轴上的定点N (2, 0).证明如下rr uuu r uuur设平面BDE的法向量为 n (x, y,z)，则n DB 0,n DE0,2x 2y 0,r，令z 1，得到y 1,x 1,n (1, 1,1);y z 0uur又QC(0,2,0),A(2,0,0),AC ( 2,2,0)，且AC平面PDB,ur平面PDB的一个法向量为m (1, 1,0);面角E BD P的余弦值为63【点睛】

21、本题主要考查线面垂直的判定和性质，考查二面角的求法，属于中档题.2X219 已知椭圆C：pya(I)求椭圆C的方程;(n)设直线|过点M(1,0)且与椭圆C相交于A,B两点.过点A作直线x 3的垂线,垂足为D证明直线BD过x轴上的定点.2【答案】(1) y21; (2)见解析3【解析】(1)由离心率列方程可求得椭圆方程；(2)当直线 AB 的斜率不存在时，直线 BD 过点(2, 0).当直线 AB 的斜率存在时， 设直线 AB 为y=k (x-1 ),联立方程组，消去 y 整理得：(1+3k2) x2-6k2x+3k2-3=0 .利 用韦达定理、直线方程，结合已知条件求出直线BD 过 x 轴上

22、的定点.【详解】,解得a -.3, b 1,2c2所以椭圆 C 的方程为3设二面角E BD P的平面角为，由图可知角 为锐角,则cos| cosm,n |.21 (a1)的离心率为1症3b2c(1)解：由题意可得一a2ay21第19页共 20 页(a)当直线 l 斜率不存在时，直线 I 的方程为 x=1,不妨设 A (1, -6), B( 1, -I ), D (3, -6)333此时，直线 BD 的方程为：y=5( x-2),所以直线 BD 过点(2, 0).3(b)当直线 I 的斜率存在时，设 A ( xi, yi), B (x2, y2),直线 AB 为 y=k (x-1), D ( 3

23、 , yi).y k x 1由x23y23得：(1+3k2) x2-6k2x+3k2-3=0 .2 26k3k 3八所以 X1+X2=2, X1X2=2. . ()3k213k21直线 BD: y-%=也(x-3),只需证明直线X23令 y=0，得 x-3=*X23，所以y2 *3y23y11X23比3y21X24x23 X1X2x=所以直线 BD 过点(2,【点睛】 本题考查椭圆方程求法，考查了直线恒过定点，考查推理论证能力、运算求解能力，考 查由特殊到一般的思想，是难题.20.已知函数f x ax Inx.(1)求f x的极值；(n)若a 1 , b 1 , g【答案】(i)有极小值为1B

24、D 过点(2, 0)即可.y2y1y2y1X2X4x23 X1X2 c即证H 2x2X-|，即证2 X2X1X1X23.将()代入可得2 x2X1X|X212k23k213k233k21勢3.3k21综上所述，直线 BD 恒过 x 轴上的定点(2,0).x f x bex，求证：g x 0.In a，无极大值；(n)证明见解析X。,x第20页共 20 页无极大值;x，则h x（n）当a1,b 1时，g x exIn xxx 0,g x令h x gx,根据导数判断得函数h x在0,上单调递增，理得xA，使得h X0eX01X010，从而可得函数gg X0eX0InX0 x丄1 In X0X0X0

25、，根据单调性可得g x11 In1110，从而得出结论 -【详解】解：（I）fX1门ax 0,X当 a 0 时，f X0恒成立，则f x在0,上单调递减，f当a 0时，令f1X0，得x; 令fx 0，得0 x1【解析】（I由零点存在性定x的最小值x无极值;aa1）求导求定义域得f x a x 0，再分类讨论即可得出结论;xex- 1,x0,1上单调递减，在a上单调递增,有极小值为1 In a，(n)当a1,b 1时,exInX。,x第21页共 20 页又b 1,f x be所以0,上单调递增(30,所以X。,使得hxo0，即e*所以函数0，x0上单调递减，在所以函数又函数yg X01 1X。的

26、最小值为g X0eX0In X01 In xIn1 1上单调递增,Xo 1 In XoXo1x在 2,1 上是单调减函数，所以第22页共 20 页又AFBF、3 AB，则AFB .3故XA纠sin AFEf B BE sin BFEsinsin 一3sin 4431.sin 12当f B 1时,3，贝U f A可取 3, 4,，8 共六个值;当f B 2时,A 6，则f A可取 6, 7, 8 共三个值;【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.21.在三棱锥A BCD中，已知BCD、ACD均是边长为 2 的正三角形，BCD在平面 内，侧棱A

27、B. 3 现对其四个顶点随机贴上写有数字(1)求事件“f C f D为偶数”的概率R.偶数”的事件.,33故R P M1PM22.147(2)如图，取边CD的中点F，连结BF、AF因为BCD、ACD均是边长为 2 的正三角形，所以，AF CD,BF CD.因此，CD平面ABF.从而，AFE是二面角E CD A的平面角18 的八个标签中的四个,并记对应的标号为取值为A、B、C、D),E为侧棱AB上一点.(2)若BEEAf BTT，求二面角E CD A的平面角大于一”的概率P2.4【答(1)37【解【详(1)用均为奇数”的事件，用M2表示“f Cf D均为由题意知P M1A24 3A28 7M23

28、14记 “f C f D为偶数”为事件Q.则QM1M2.、EF.第23页共 20 页当 fB 3 时，fA 9，则 fA 不存在.99综上，P2星56.22在平面直角坐标系中，直线的参数方程为卜(t 为参数)，以坐标原点 为极点，乂轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线匕的极坐标方程为戸2=.1 +曲9(I)求直线j的普通方程和曲线的直角坐标方程；(n)设为曲线悴上的点，：运丄：，垂足为，若|汽讲的最小值为卜，求山的值.【答案】(I)十匚_ !叽，.：i；( n)匚：；2丁或匸.【解析】(I)消去参数II可得直线 的普通方程，利用互化公式即可得曲线的直角坐标方程.第24页共 20 页(n)利用曲线 的参数方程设点，根据点到直线距离公式求出 日，再根据三角函数 性质求出最小值，