2020届浙江省普通高校招生学业水平考试(1月)数学试题(解析版)

1、【详解】第 1 1 页共 2020 页2020 届浙江省普通高校招生学业水平考试（1 月）一、单选题1.1.已知集合A 1,2,4，B 2,4,6，则AU B（）A A.4B B.1,6C C.2,4D D.【答案】D D【解析】根据集合的并集运算，即可求解 【详解】因为集合A 1,2,4, ,B 2,4,6由集合的并集定义可知AUB 1,2,4,6故选：D D【点睛】本题考查了集合的并集运算，属于基础题 2.2.tan a（）A A.tanaB B.tanaC C.tanaD D.【答案】A A【解析】根据诱导公式，化简即可求解 【详解】由诱导公式可知tan atana故选: :A A【点睛

2、】本题考查了诱导公式的简单应用，属于基础题 3.3.log62 log63（）A A. 0 0B B . 1 1C C .log65D D .【答案】B B数学试题1,2,4,61tanalog125第2 2页共 2020 页【解析】根据对数的运算及常数对数的值即可求解 第3 3页共 2020 页根据对数的运算性质可知log62 log63log62 3log661故选: :B B 【点睛】B B. 3 3【答案】【详解】所以圆的半径为 3 3 故选: :B B【点睛】5 5 .不等式X12(1 X 3B B.【答案】【详解】不等式X 12本题考查了对数的运算性质的简单应用， 属于基础题. .

3、4 4 .圆x22y 2X80的半径是(当X 1时, ,不等式可化为12, ,即x3 所以1当X 1时, ,不等式可化为X 2,即 卩1X. .所以 1 1综上可知，不等式的解集为-1X00 选项(C)(C)7C1616 设数列an满足311,4的n的最大值是（B B. 9 9. .选 C.C.a2na2n 12,a2n 1a2nN，则满足C C. 1212D D . 1414【答案】【解析】根据数列an满足的条件， 讨论 n n 的奇偶性， 即可求得解析式 根据解析式解绝对值不等式即可求得满足条件的n的最大值. .【详解】数列an满足印1，a2na2n 12，a2n 1a2n1a23则32n

4、 1a2n 1则当 n n 奇数时，an所以ann4, ,代入可得4，解不等式可得7 n 9N，所以此时n的最大值是第1414页共 2020 页第1515页共 2020 页则当 n n 偶数时，an2n2所以若ann 4, ,代入可得2 n n 4, ,解不等式可得4 n 12而n N, ,所以此时n的最大值是 1212综上可知，n的最大值是 1212故选: :C C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求法，对奇偶项分类讨论数列的性质，绝对值不等式的解法，属于中档题 1717.设点A,B的坐标分别为0,1,1,0,P,Q分别是曲线y 2x和y logzX上unr uuuuju urn的动点，记

5、I1AQAB，I2BP BA. .( )uuruuuuuu则APuuurA A .若I1I I2，贝UPQABRB B.若I I1I2,BQuuruuuuuuuurC C 若PQABR，则1112D D .若APBQ，则I1I1【答案】C C【解析】根据题意，由向量数量积和投影的定义，结合平面向量共线的性质即可判断选项【详解】根据题意，在直线AB上取P,Q, ,且AP BQ 过P,Q分别作直线AB的垂线，交曲线y 2X于P,P2和交y log2X于Q1Q. .在曲线y 2X上取点F3, ,使AP( (| AF3 3 . .如下图所示uuu uuruuri uuujiruur2BP BABPBA

6、 cos PBABP BA第 iiii 页共 2020 页若AP BQ, ,则AQ BP若 I IiI I2，则AQBp即可 此时P可以与Pi重合, ,Q与Q2重合， 满足题意，但是JUJJJJT JJJAB R, ,则PQ/AB，此时必有Pi与Q对应（或P2与Q2）, ,所以满I IiI I2, ,所以 C C 正确; ;对于 D,D,对于点巳,满足APAPj，但此时P3在直线AB上的投影不在P处，因而不满足AQ BP, ,即 I IiI I2, ,所以 D D 错误 综上可知,C,C 为正确选项故选: :C C【点睛】本题考查了平面向量数量积的意义及向量投影的应用较为复杂，属于难题 uuu

7、UJUPQ ABJUT对于 c,c,若PQR不成立，且JUTBQ所以 A A、B B 错误; ;，向量共线的特征和性质，综合性强第 i2i2 页共 2020 页i8i8.如图，在圆锥SO中,A,B是e O上的动点,BB是eO的直径，M,N是SB的两个三等分点，AOB 0，记二面角N OA B,M AB B的平，则的最大值是（B B.【答案】B B【解析】设底面圆的半径为T, ,OSa, ,以BB所在直线为x轴, ,以垂直于B B所在直线为y轴，以OS所在直线为 z z 轴建立空间直角坐标系, ,写出各个点的坐标 利用法向量求得面角N OA B与M AB B夹角的余弦值 结合即可求得的取值范围面

8、角分别为， ，若第 i2i2 页共 2020 页即可得的最大值. .【详解】设底面圆的半径为r, ,0S a, ,以BB所在直线为x轴，以垂直于BB所在直线为y轴, ,M, ,N是SB的两个三等分点 则M -,0,3uuu所以OAr cos ,r sin,0uuir,ON设平面NOA的法向量为urmxi,yi,乙vUMntm OA 0则vUJU/m ONV 0, ,代入可得化简可得x-ir cos2冲令xi1， 解得yi i所以m i,cossin平面OAB的法向量为由图可知，二面角Nxi, yi, zixi, yi, Z1y1r sincos,zi isin2rOA2r0,0,iB的平面角r

9、 cos , r sin ,00%0,a033为锐二面角，所以二面角N OA B的平面可得0 0,0,0 , B r ,0,0 , S 0,0, a, ,A r cos ,r sin ,0 ,Br,0,0以OS所在直线为 z z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则由AOB 0第1919页共 2020 页角 满足cosB的法向量为k*2小2工2uuuuBAr r cos ,r sinUUUJ,0 , AMvUJUVX2,y2,z2ntkBA 0则V UJUV代入可得k AM 0X2,y2,z2X2rx2r cosy2r sin化简可得x2rx2r cosy2r si nr0令x21，解得y2r

10、3设二面角M ABr32a r cos , r sin ,3r cos , r sin ,00rcos , rsin,空032az2所以k 1,丄空sin平面AB B的法向量为由图可知，二面角面角满足cos1 cos,z2 2sin2r0,0,12rAB B的平面角为锐二面角，所以二面角M ABB的平2rsin4r22a由二面角的范围可知0结合余弦函数的图像与性质可知cos2rcos4r22a化简可得cos- -，且02第2020页共 2020 页所以的最大值是 一3故选: :B B【点睛】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用，根据题意建立合适的空间直角坐标系，求得平面的法向量，即可

11、求解 本题含参数较多，化简较为复杂，属于难题 二、填空题1919 .设等比数列an的前n项和为Snn N*，若 a a?2 2,a?4，则印 _S4 4 _ . .【答案】1 11515【解析】 根据等比数列的通项公式，可求得 6 与q. .再求得a4, ,即可求得S4的值. .【详解】因为数列an为等比数列，由等比数列的通项公式可知n 1anae而 a a?2,2,a34a?a 2a11所以2,解方程组可得cagag 4q 2所以a4a1q31 238所以S4a1+ a2+ a3+ a41 2 4 815故答案为：1; ;15【点睛】本题考查了等比数列通项公式的简单应用，前 n n 项和的求

12、法，属于基础题. .r rrr2020.设u,v分别是平面a, 的法向量，U1,2, 2,v2, 4,m. .若a/则实数 m m _ . .【答案】4 4【解析】 根据两个平面平行时，其法向量也平行，即可求得参数 m m 的值. .所以023第2121页共 2020 页【详解】因为 a/a/，且分别是平面a, , 的法向量则U/Vrr因为u 1,2, 2, ,v 2, 4,m所以存在，满足u v则1,2, 22, 4,m121即24解得22 mm 4所以m 4故答案为：4【点睛】本题考查了平面平行时法向量的关系，平行向量的坐标表示及关系，属于基础题 2121 在中国古代数学著作就长算术中，鳖

13、臑（ bibien nm是指四个面都是直角三角形的四面体 如图，在直角ABC中，AD为斜边BC上的高,ABD沿AD翻折AB D，使得四面体AB CD为一个鳖臑,9 9【答案】-B D与平面ADC的夹角 根据线段关系即可求解【详解】作BM CD于交CD于MABAB 3 3，AC 4，现将则直线B D与平面ADC【解析】作B M CD于交CD于M, ,可证明BM平面ACD, ,则BDM即为所成角的余弦值是第2222页共 2020 页因为AD CD, AD DD且CD DD D所以AD平面DBC而AD平面ACD所以平面ACD平面DB C又因为平面ACD I平面DBC DC, , 且BM CD所以BM

14、平面ACD则BDM即为BD与平面ADC的夹角因为直角ABC中,AB,AB 3,3,AC 4所以BCAB2AC2、厂16 5AD处C空迟BC55r2则DC、AC22AD2、421216V55所以DB BCDC 5169559 9故答案为：一1616【点睛】象能力和计算能力要求较高，属于中档题2x x ax 26，若存在a R，使得f x在2,b上恰有两个零点，则实数b的最小值是 _在直角三角形B DC中, ,cos B DM cos B DCDBDC1616本题考查了空间几何体中直线与平面的夹角求法, ,直线与平面垂直关系的判定，对空间想2222 .已知函数第2323页共 2020 页【答案】2

15、2.3第2424页共 2020 页【解析】根据函数f X存在a R在2,b上恰有两个零点，则求得当x 2时满足条件的a. .再由当 x x b b 时取到零点，即可求得b的值 【详解】因为函数f x x2ax 26, ,f x在2,b上恰有两个零点则必在x 2与 x x b b 时恰好取到零点的边界若x 2时, ,f x的零点满足f 2222a 2 6 0解方程求得a 2或a 4当a 2时，f xx22x 2 6, ,满足f x在2,b上恰有两个零点则f bb22b260, ,且b 2解方程可得b2（舍）或 b b4 4（舍）当a 4时，f x2x 4x 26, ,满足f x在2,b上恰有两个

16、零点则f bb24b26 0, ,且b 2解方程可得b22j3（舍）或b 22品综上可知，当b22長时满足f x在2,b上恰有两个零点故答案为：22罷【点睛】本题考查了含绝对值函数零点的分类讨论，注意恰有两个零点条件的应用，根据边界取等时能刚好取得，属于中档题三、解答题（I）求f的值；3（n）求f x的最小正周期;（川）求f x在0,上的值域. .22323 .已知函数x2sin xcos x,x R66第2525页共 2020 页【答案】（I）弓（n）第2626页共 2020 页I I 解析】将 i i 代入解析式，即可求得f f3 3 的值. .（n）根据正弦的二倍角公式化简后，即可求得f

17、 x的最小正周期（川）根据正弦函数的图像与性质，可求得f x在0,上的值域. .2【详解】 2si n 33cos2sin36 cos 2 1止二6 6 2 2 2n)因f x sin 2 xsinf x的最小正周期T（川）0,时, ,2x2因此当2x0时, ,f当2x-，即x51-时, ,f x212所以f x在0,上的值域为2【点睛】本题考查了正弦函数的求值22424 .如图，设抛物线CiX2x 3Xminmax1，正弦函数的图像与性质简单应用 ，属于基础题. .2y与C2：y 2px p0的公共点M的横坐标为0，过M且与G相切的直线交C2于另一点A，过M且与C2相切的直线交G于另一点B，

18、记S为MBA的面积. .因此 k k = = t t第 1919 页共0 0 页1(n)若S -,2，求t的取值范围. .4注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直线与抛物线相切 t32 4【答案】(I)p L ； (n) t -,23 3【解析】(I)将M的横坐标为t代入抛物线Ci解析式可得M t,t，再代入抛物线C解析式，化简即可用t表示P的值 (n)设出点A的坐标，结合 M M 的坐标即可表示出直线MA的方程 联立抛物线Ci根据 相切时判别式0可得 k k = = t t，表示出直线MA的方程 利用两点式表示出直线MA的斜率, ,即可用t表示出点A的坐标 侗理可求得B点的坐标 进而利用两点间距离公式表示出MB，利用点到直线距离公式求得A到直线MB的距离，即可表示出MBA的面积S 结 合S的取值范围，即可求得t的取值范围 【详解】(I)因点M在抛物 线Ci: :xy上，故Mt，tt0又点M在抛物线C:y px p 0上，故t pt，则p(n)设点A为，直线MA的方程为yk x tt联立方程组y k(xt)t)，消去y，得xkx ktt0 x