2020届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

1、第1 1页共 2020 页2020 届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1 1.已知复数z3（i为虚数单位）1 2i，则 z z 的实部为（)3A A .-53B.51C C.51D .-5【答案】B B【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】3(1 2i)36.i (1 2i)(1 2i)553z的实部为5故选：B【点睛】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题.1a1b2 2已知 a a, b b, c c 为实数，则“丄 丄”是ac2bc2”的（）1010A A .充分不必要条件B B.必要不充分条件C C .

2、充要条件D D .既不充分也不必要条件【答案】B B【解析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解：根据指数函数yx 的单调性可得，若10a丄10丄1010b,c = 0时，ac210be2不成立，即充分性不成立,a1当ac2bc2，则c 0,则 a a b b，即丄10b1，即必要性成立,10a即“丄10b1一是ac2bc2的必要不充分条件，10解：Q z31 2i第2 2页共 2020 页【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键，属于基础题.sin 23 3 .已知tan0,，则cos 2【答案】B B【解析】首先根据同角

3、三角函数的基本关系求出sincos，再利用诱导公式及二倍角公式化简可得;【详解】解：Q Q tantansincos.2sin2cossin解得1cos2.55_55sincos2.555Q 0,sincos2 .55_55sin 2cos -22sin cossin2cos故选：B【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用,二倍角正弦公式的应用，属于4 4 .函数f x2冷的部分图象可能是(A A .B B.第3 3页共 2020 页第4 4页共 2020 页首先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，再取特殊值即可判断;B. 2B B【答案】D D【详解】解：因为2xx定义域为x2

4、x2x,0 U 0,2x2x2x所以f2一-为奇函数，函数图象关于原点对称，故2x2C排除;又因为1220，所以D排除;3故选:【点睛】本题考查函数图象的识别, 函数的奇偶性的判断，属于基础题5 5.已知非零向量a,b满足I；b| |ab|，则a与b的夹角为(【答案】B Br r【解析】根据向量模的定义，将等式两边同时平方，即可得a b0, ,即可求得；与b的夹角 【详解】二r rr r非零向量a,b满足 I I a a将等式两边同时平方可得r2r r r2展开可得a 2a b b化简可得a b0由向量数量积的定义可知因为a,b为非零向量r2r r r2a 2a b ba b a b cos

5、a,b = 0贝V cos a,b = 0【解正、二定、三相等 ”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题【点睛】第 5 5 页共 2020 页即a与b垂直,其夹角为2故选: :B B【点睛】本题考查了向量模的化简运算，向量数量积的定义及向量夹角的求法，属于基础题6 6 .已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，2 a5a6a3，则S()A A.2B B. 7 7C C.14D D.28【答案】C C【解析】利用等差数列通项的性质，将已知条件转化为关于【详解】2 a4d a42d a4d，解得：a4【答案】A A【点睛】 本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，

6、注意值，利用等差数列前n项和的性质，求得S7的值. .a4的方程，由此解得a4的S77 a-i az7a414故选:【点本小题主要考查等差数列通项的性质，考查等差数列前n项和公式,考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题7 7 .若函数f(X)x(x 2)在x a处取最小值，则2a等于B B.1.3,2【解析】将函数y的解析式配凑为f x再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的x值, 可得出【详当x 2时，x 20，则f22x2当且仅当时，即当x3时，等号成立，因此，a 3,故选 A.A.第6 6页共 2020 页8 8 已知圆（x 1）2（y 1）22 a截直线x y 20

7、所得弦的长度为4,则实数a（）A A . -2-2B B. -4-4C C. -6-6D D . -8-8【答案】B B【解析】【详解】由题意：圆心（1,1）,r.厂a,设圆心到直线的距离为d,二d J，2-A2BJ（2 a） 4 J 2 a,9 9已知双曲线 C C 的中心在坐标原点，一个焦点（,5,0）的渐近线方程为（1x22B B.y x3【答案】【详解】d1 1 2,1 1.2,到渐近线的距离等于2 2,贝 U U C CD.y 2x【解先根据双曲线的焦点坐标，求得a a 和 b b 的关系,由焦点到渐近线的距离得,5ba2b22，解得 a a 和 b b,问题得解：设双曲线的方程为:

8、2x2a其渐近线方程为:依题意a2b2、5ba2b2解得a1, b 2,二双曲线 C C 的渐近线方程为2x正、二定、三相等 ”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题【点睛】第 5 5 页共 2020 页故选：D D.第8 8页共 2020 页本题主要考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，属基础题.1010已知抛物线C : y28x的焦点为 F F，点A 1, a a 0在 C C 上，若直线 AFAF 与 C C交于另一点 B B,则AB的值是()A A 1212B B. 1010C C 9 9D D 4.54.5【答案】C C【解析】可得 A A 1,21,2 2 2，故直线AF

9、的方程为 y y 2 2 2(x2(x 2)2)，联立直线AF与抛物线方程，由韦达定理，求出B的坐标，然后求解AB【详解】解：因为A 1, a a 0在c : y28x上，所以a28,解得a 2 2或a 2 2(舍去)，即 A A 1,2.1,2.2 2故直线AF的方程为 y y 2 2 2(x2(x 2)2),y 2、2(X2)I I 由2y 8x消去y y，得x25x 40,解得x-i1,x24,B(4,B(4, 4 4 .2).2)则 |AB|AB | |.(4.(41)1)2( ( 4.24.22.2. 2)2)29 9 故选：C【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思

10、想以及计算能力，属于基础题.1111 我国古代名著张丘建算经中记载：今有方锥，下广二丈，高三丈 欲斩末为方亭，令上方六尺 问：斩高几何？ ”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三 丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少 如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是(注：1 1 丈10尺)()A A 19461946 立方尺B B. 38923892 立方尺C C 77847784 立方尺D D 1167611676 立方尺【答案】B B【解析】根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台

11、的高，再计算它 的体积.第 7 7页共 2020 页【详解】【点睛】本题考查了棱锥与棱台的结构特征与应用问题，也考查了棱台的体积计算问题，属于中档题.1 In x,0 x1212 .已知函数f x 1尹,x 1个不同的实数根，则实数 a a 的取值范围是(【答案】解：如图所示，正四棱锥P ABCD的下底边长为高三丈，即PO 30尺；截去一段后，得正四棱台ABCD1 16 63030 0000所以2 23030-20-202 2解得 00002121 ,所以该正四棱台的体积是1 12 2V V 2121 (20(2022020 6 66 62) )389238923 3丈，即AB 20尺，ABC

12、D，且上底边长为 ABAB 6 6 尺,(立方尺).1，若方程f2x0恰有三,0B B.0,11 10,第 7 7页共 2020 页【解由题意作函数 f(x)f(x)的图象，由f(x)f(x)2a，要使方程f x 1 a f0恰有三个不同的实数根，则a有两个不同的实数根，即函数x与ya有两个交点，数形结合即可第1111页共 2020 页得解；【详解】1In x,0 x 1解:因为fx12x1,x 1可画函数图象如下所示：Jy3-111r MI-Xx-/ 1 1 13-2-I-I/1 2 3 4T-R-JQ f2x1 a f x a 0f x1 f xa 0f x1或fxa_ 一2要使方程f x

13、 1 a f x a 0恰有三个不同的实数根，则f x a有两个不 同的实数根，即函数y f x与y a有两个交点，由图可得0 a 1，即a 0,1故选：B【点睛】本题考查了分段函数的应用及方程与函数的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题.二、填空题1313 甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到值”字的人值班）抓完阄后，甲说：我没抓到乙说：丙抓到了 丙说：丁抓到了 丁说：我没抓到已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以判断值班的人是_.第1212页共 2020 页【答案】甲【解析】 依题意，对各种情况分类讨论一一判断可得；【详解】解：假如甲说的是真话

14、，则乙、丙、丁都说假话，既然丁说假话，则丁抓到了，那么丙 说的是真话，与假设矛盾；假如乙说的是真话，则甲、丙、丁都说假话，即丙抓到了，则甲、丁没有抓到，甲与丁 也说的是真话，与假设矛盾；假如丙说的是真话，则甲、丙、丁都说假话，即丁抓到了，则甲没有抓到，甲也说的是真话，与假设矛盾；假如丁说的是真话，则甲、丙、丁都说假话，则甲抓到了，则丙、丁都没有抓到，符合题意；故答案为：甲【点睛】本题考查简单的合情推理，属于基础题. .1414 .已知某几何体三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是矩形，俯视图为直角三角形，则该几何体的外接球表面积为 _. .正视图侧视團俯视图【答案】29【解析】先还原几何体得到

15、直三棱柱，再找到球心的位置，利用垂径定理求得半径，代 入表面积公式求解即可【详解】还原三视图可得如图直三棱柱，因为底面为直角三角形，BCBC 的中点 D D 的正上方 0 0 处，且 0D=2,0D=2,所以半径外接球表面积为4 nR229其外接球球心在底面斜边R . BD20D2AC240D2292第1313页共 2020 页故答案为29第1414页共 2020 页【点睛】 本题考查了利用三视图还原几何体及外接球的表面积应用问题，找到球心是解题的关键，是基础题.5【解析】首先由和之间的距离求，再根据1212,012求，再求函数值 12【详解】设f X的最小正周期为T,根据题中图象可知，T22

16、，. T，故2，根据BiD1515 已知函数f x 2sin x0,的部分图象如图所示，贝y f 2 62sin 2 120（增区间上的零点）可知，一62k ,k Z,即卩2k6k Z,又一f x 2sin 2x ,6. .6第1515页共 2020 页故答案为：1 1【点睛】本题考查根据三角函数的图象求函数的解析式,力，函数y Asinwx，般根据振幅求A，再根据周期求，根据 五点法”求21616.若函数f x x x 1 alnx在0,上单调递增，则实数 a a 的取值范围是1【答案】a丄8a【解析】依题意可得f x 2x 10在x 0,上恒成立，参变分离得到xa x 2x2在x 0,上恒

17、成立，令g x x 2x2,求出g x的最大值即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为f x x2x 1 alnx的定义域为x 0,，且函数f x2x x 1aln x在0,上单调递增，fx2x 10在x 0,上恒成立,x即ax22x在x0,上恒成立，2令gxc2x 2x2 x1 14811当x4时gxmax所以a1即a1881故答案为：，8【点睛】2sin142sin 1. .6 6 6意在考查基本的数形结合分析问题的能第1616页共 2020 页本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，属于中档题 三、解答题第1717页共 2020 页1717 在ABC中，内角A, B,C的对边

18、分别是a,b,c，已知22 v32A 3，b c亍航a。(1(1)求 a a 的值;(2(2)若b 1，求ABC的面积。【答案】(2).32【解析】(1(1)由 b b2c2a2，利用余弦定理可得2bccosA-abc, ,结合3A可得结果;3(2(2)由正弦定理sinB7C6，利用三角形内角和定理可得n ,-，由三角形2面积公式可得结果【详解】(1(1)由题意，得b2c2a2仝abc. .3 b2c2a22bccosA. .2bccosAabc, ,n A -32 3cosA.3.3 . .(2) -a由正弦定理 / / abab,si nAn-，可得sinB sinB1 absinC2【点

19、睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题 对余弦定理一定要熟记两种形式：(1 1)a2b2c22bccos A； (2 2)cosAb22 2c a，同时还要2bc第1818页共 2020 页第1919页共 2020 页熟练掌握运用两种形式的条件 另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30o,45o,60o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用【答案】（1 1）见解析（2 2）an2r1n*n N【解析】（1 1）由递推公式可得an 13an2an 11an 1an12 anan 110即an 1an12 anan 11,即可得证；（2 2）由（1 1

20、）可得an 1an2n1, 再用累加法求出数列an的通项公式【详解】解：（1 1）由题意知， 当n 2时，an 13an2an 11an 1an12 anan 110,即an 1an12 anan 11. .因为bnan 1an1, 所以bn2bn 1. .又ba2a1121 12,所以数列bn是首项为2 2,公比为2 2 的等比数列. .（2 2）由（1 1）可知,bn22n12n1所以an 1an2n1. .当n 2时，anan 12n11,anQ 21an 221,a2a121（2 2）求数列an的通项公式 1,将以上式子相加可得,1818 .己知数列an满足a11,a a2an 13a

21、n2an 110 n 2, n N(1)设bnan 1an1，证明：数列bn是等比数列;所以nan21时,所以an2n22a12* 12 1也满足上式,2 1 2n 1n 12nn 1，第2020页共 2020 页【点睛】本题考查根据递推公式证明数列是等比数列，累加法求数列的通项公式，属于中档题 1919 .在四棱锥P ABCD中，平面PAD平面ABCD，PA PD 2，四边形ABCD是边长为 2 2 的菱形，DAB 60,E是AD的中点 A(I)求证：BE平面PAD；(n)求点E到平面PAB的距离 【答案】(I)详见解析；(n). .5【解析】( (I) )首先结合面面垂直的性质定理证明线线

22、垂直，然后结合几何关系和线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；( (n) )首先求得四棱锥P ABE的体积，然后利用等体积法即可求得点E到平面PAB的距离 【详解】 ( (I) )连接BD，在PAD中，PA PD 2,E是AD的中点,二得PE AD,平面PAD平面ABCD，平面PAD I平面ABCD AD, PE平面ABCD,二PE BE,又四边形ABCD是边长为 2 2 的菱形，A 60,ABD为等边三角形，-BE AD,又/PEI AD E,PE面PAD,AD面PAD,第2121页共 2020 页-BE平面PAD;( (n) )在PAB中，PA AB 2,PB6，则SPAB,152在ABE

23、中，AB2,AE 1,BE3，则SABE由PE面ABCD,PE ,3，得VP由VABEVE PAB，设点E到平面PAB的距离为h,即点E到平面PAB的距离为5【点本题主要考查线面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理，等体积法求解点面距离的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力In x2020.已知函数f (x) xex,g(x)x(1(1)求函数 f f (x)(x)的极值;(2)当x0时，求证：f(x)g(x). .1【答案】(1)(1)f(x)(x)的极小值为f( 1)，无极大值. .(2 2)见解析. .e【解析】(1 1)对f (x) xex求导，确定函数单调性，得到函数极值

24、(2)构造函数F(x) x2In x(xxln x2ln xe2xe，得证 xx【详解】(1 1)由题意知，f (x)xxxe e令f (x)0，得x 1,令f (x)则 f f (x)(x)在(，1)上单调递减，在ln x _0)，证明F(x) 0恒成立，得到r1,x(x1)ex,0，得x 1. .(1,)上单调递增，所以 f(x)f(x)的极小值为f( 1)(2 2)当x0时，要证f (x)1，无极大值eg(x)，即证exln x2x第2222页共 2020 页令F(x) x2In x(x 0)，则F (x) 2x - (x 0),x令F (x)0，得x -I，令F (x)0，得o x丄2

25、,22则F(x)在0,-上单调递减，在2上单调递增,22所以当x0时，F(x) F1 ln0,222所以xln x,即21 因为x0时，xee01，xln x所以当x0时，ex2x2xeln xxx所以当x0时，不等式f(x) g(x)成立. .【点睛】本题考查了函数的单调性，极值，不等式的证明，构造函数F(x) x2In x(x解题的关键2 2x y2121 .已知椭圆221 a b 0的上顶点为 A,A,右焦点为 F F ,0,0 是坐标原点,a b是等腰直角三角形，且周长为2 22(1)(1) 求椭圆的方程；(2)(2) 若直线 I I 与 AFAF 垂直，且交椭圆于 B B, C C

26、两点，求ABC面积的最大值 228【答案】(1 1)2LL L i i( 2 2)84 23 3【解析】(1 1)依题意求出a,b,c的值，即可求出椭圆方程；(2(2)由(1 1)可得直线AF的斜率，则可设直线l的方程为y x m m .2联立直线与椭圆方程，利用根的判别式求出参数m的范围，设BX1,%, C C利用韦达定理及点到线的距离公式表示出BC及点A到直线l的距离d，则【详解】 解: (1 1 )在AOF中，OA b,FO0)是AOFSABC1|BC d2利用导数求出面积的最值;2第2323页共 2020 页因为AOF是等腰直角三角形，且周长为2 2、.、2 ,所以bc，ax2b，ab

27、c 22 2，得b c2，a 2，因此椭圆的方程为2x2y1. .42(2 2)由(1)知A 0八2，F v2,0，则直线AF的斜率kAF1，因为直线l与AF垂直， 所以可设直线l的方程为y x m m -.2，2 2代入 乡1，得3x2 4mx 2m2 4 0，所以.2 2m 3.2，.6因此、6,、 、2上是增函数，在、2、2上是减函数,上是增函数，在上是减函数4m 3 4 2m240,解得.6 ,BC又点所以咅， , C C X X2,y,y2，则x1x24m-3，X1X232m23-1 12XiX24.6 m23A到直线l的距离dm、22，SABC1-BC2丰J 6 m2m V2 2，

28、m一6, 2 U 2八6. .m22，m . 6八2 U、2,、6第2424页共 2020 页因为f .232,f冬2-,f2f3.222所以当m,2时，f m取得最大值，f mmax32,所以SABCmaxf口max3.3283因此ABC面积的最大值是8. .3 3【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，利用导数求函数的最值，属于中档题 以坐标原点0为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系(1) 求直线I的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2) 设点P 0, 1. .若直|与曲线C相交于两点 代B, ,求PA |PB的值 【答案】(1 1)、3x

29、y 10,(x1)2(y1)22；(2 2)2、一31 【解析】(1 1)利用代入法消去参数方程中的参数可求直线I的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以，利用2x2y2, cos x, sin y，即可得曲线C的直角坐标方程；(2 2)直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参 数方程的几何意义即可得结果 . .【详解】(1 1)将直线 l l 的参数方程消去参数t t 并化简，得直线 1 1 的普通方程为3x y 10.将曲线 C C 的极坐标方程化为2厂近2 2sin、2cos22即22 sin 2 cos. .- x x2+y+y2=2y+2x.=2y+2x.2222 .在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为1x -t2(t为参数) 中， 曲线