2020届重庆市第一中学高三下学期第一次月考数学(文)试题(解析版)

1、第1页共 17 页2020 届重庆市第一中学高三下学期第一次月考数学（文）试、单选题【答案】【详解】故选：B.【点睛】C. -1【答案】【详解】【点睛】2x3.已知椭圆a2占占1a bb20分别过点A 2,0和B 0, 1,则该椭圆的焦距为( )A. 、3B.2 3C.D .2 5【答案】B1 若全集UA.1,31 x 4，集合AB.33x3,427，则CUA=()D.3,4【解先求出集合 A，再按补集的定义求解即可解不等式13 3x27，得1 x 3,所以A，故CUA3,4.本题考查补集的定义及求法, 属于基础题2 .已知i为虚数单位，则.2019i等于（B.【解按照复数的运算法则和等比数列

2、的前n项和计算即可.i i2i3i20192019i(1 i )i(1 i)1 i2i(1 i)(1.2i i)(1i)1.故选:C.第2页共 17 页【详解】 由题意可得a 2,b 1，所以 a2= 4, b2= 1,所以c.413，从而2c 2 3.故选：B【点睛】本题考查椭圆方程的求法，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，是基础题.4 中国铁路总公司相关负责人表示，到2018 年底，全国铁路营业里程达到 13.1 万公里，其中高铁营业里程 2.9 万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014 年到 2018 年铁路和高铁运营里程 （单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是 （

3、）A .每相邻两年相比较，2014 年到 2015 年铁路运营里程增加最显著B 从 2014 年到 2018 年这 5 年，高铁运营里程与年价正相关C . 2018 年高铁运营里程比 2014 年高铁运营里程增长 80%以上D .从 2014 年到 2018 年这 5 年，高铁运营里程数依次成等差数列【答案】D【解析】由折线图逐项分析即可求解【详解】选项A,B显然正确；2 9 1 6对于C,0.8，选项C正确；1.61.6,1.9,2.2,2.5,2.9 不是等差数列，故D错. 故选：D【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识，是基础题5 .若tan3-，贝U tan 2（）43

4、考查计算能力, 属于基础题本题考查复数的计算，考查等比数列的前n项和,【解析】由题意可得 a2= 4, b2= 1，利用隐含条件求得 c,则 2c 即为所求.第3页共 17 页【答案】C【详解】因为tan344tan1，所以31 tan4，解得tan7,从而32ta n7tan221 tan24故选 C【点睛】本题考查三角恒等变换，考查两角差的正切及二倍角公式，考查运算求解能力，是基础题6 等差数列an的前n项和为Sn，已知 333620，S535，则 S7(A . 57B. 60C. 63D . 66【答案】C【解析】利用等差数列前 n 项和公式及性质求出 33,再利用等差数列通项公式求出3

5、1,d，由此能求出an的前 n 项和公式，进而求得S7.【详解】因为S55 a1a55 2a335 a335，所以a37,22又a3;日日620,解得a37,a613,设数列an的公差为d，所以a6a33d 6,a132解得，所以Snn 2n，从而S 63.d2故选：C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式的求法，是基础题，注意等差数列性质的合理运用.7 已知一个圆柱的轴截面是面积为36 的正方形，则这个圆柱的侧面积为()A .36B. 27C. 18D. 12【答案】A25B.252424【解析】由两角差的正切求得tan7,再利用二倍角公式求解即可0 xmax2第4页共 17

6、页0解得 C2,1,由图可点 C2,1与坐标原点0,0的连线斜率最大，即【解析】由轴截面求得圆柱的高和底面圆半径，再计算圆柱的侧面积.【详解】设底面圆的半径为r，则高为2r，由2r 2r 36，得r29，2S侧面2 r 2r 4 r 36故选：A.【点睛】本题考查了圆柱的轴截面与侧面积的应用问题，是基础题.x y 108 若变量x,y满足约束条件x y 30，则y的最大值是（)x2 0 x【详解】故选：B11A .B.C. -232【答案】B【解析】作出不等式组对应平面区域，利用z 的几何意义即可得到结论.y表示通过可行域内的点x,y与坐标原点的直线的斜率,x画出不等式组表示的可行域,第 5

7、页共 i7 页【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键.9 .在直三棱柱ABCABiCi中，己知AB BC，ABBC 2，CCi2力，则异面直线ACi与ABi所成的角为（）A.30B.45C.60D.90【答案】C【解析】由条件可看出AB PAiBi，则BACi为异面直线ACi与AiBi所成的角，可证得三角形BACi中，AB BG，解得tan BAC“，从而得出异面直线ACi与所成 的角.【详解】连接ACi,BCi，如图：又AB PABi，则BACi为异面直线ACi与AiBi所成的角.因为AB BC,且三棱柱为直三棱柱， ABCC“ AB面BC

8、CiBi,-AB BCi，又AB BC 2，CCi2 2，BCi, 2 2 222、3，-tan BACi、3，解得BACi60.故选 C【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题.10 已知函数f (x)x24x m(ex 22 xe )有唯一零点，则实数m()第6页共 17 页1A 2B. 21C. -D.22【答案】D【解析】通过转化可知问题等价于函数yx24x的图象与函数y m(ex 2e2 x)的图象只有-个交点求m的值，分m 0,m 0,m 0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论【详解】函数f(x)x24x m(e

9、x 2e2 x)有唯一零点，等价于函数y x24x的图象与函数y m(ex 2ex)的图象只有一个交点，当m0时，yx24x(x2)244，此时有两个零点，不满足题意；当m0时，由于yx24x(x2)24在(，2)上单调递减，在(2,)上单调递增，且y m(ex 2e2 x)在(，2)上单调递减，在(2,)上单调递增，所以函数y x24x的图象最低点为(2, 4)，函数y m(ex 2e2 x)的图象最低点为(2,2 a)，由于2a 04，故两个函数的图象有两个交点，不满足题意；当m 0时，由于y x24x (x 2)24在(，2)上单调递减，在(2,)上单调 递增，且y m(ex2e2 x)

10、在(，2)上单调递增，在(2,)上单调递减，2x 22 x所以函数y x 4x的图象最低点为(2, 4)，函数y m(ee )的图象最低点为(2,2a)，若两函数只有一个交点，则2a 4，即a2.故选：D.【点睛】本题考查了函数零点个数求参数的取值范围，考查了转化与划归的思想，考查逻辑思维能力和计算能力，属于中档题211 已知抛物线C:y2px(p0)的焦点为F，且F到准线I的距离为 2，直线h：x my 5 0与抛物线C交于P,Q两点(点P在x轴上方)，与准线I交于点R, 若QF 3，则SRL().SPRF第7页共 17 页【答案】C2 2 2 2C: y24x.因为QF 3，所以(X21)

11、 y 9，又y 4x?，得X22(负值舍 厂去)，y22 2，联立x2my0，得y24 my 4,5 0,故y1y24 5，y 4x5所以y1-.10，故洛 -，过点P作PP垂直于准线l : x 1，垂足为P，过点Q作2S/QRFQRQQ36S/PRF|PR|pp77，故选C.2B.0,3【答案】x-2 上为奇函数且单调递减，利用性质解得不等式即可.f x cosx f x sinx2cos X因为 x ,0，有f x cosx f x sinx 0, 2f x当 X -,0 时，g X 0，则g x在 -,0 上单调递减2cosx2【解析】设P(xi, yJ,Q(X2,y2)，易知y0, y

12、 0由题意知p 2，则抛物线QQ垂直于准线I :x1，垂足为Q，易知VRQQsVRPP，故12 设奇函数fx的定义域为，且f X的图像是连续不间断，x有 f x cosxf x sin X 0，若 f m2fcosm，贝 U m 的取值范围是(3【解设 g ( x)，通过研究导函数及函数f x的奇偶性，可判断cosxg (x)在令g Xf X，则g Xcosx又f X是定义域在f X32上的奇函数，g x丁cosx也是cosx五上的奇函数并且单调递减【详第8页共 17 页二、填空题上ex,x 0nt13 .已知f x2，则f f In3.x21,x0【答案】8【解析】 根据分段函数的定义直接求

13、解即可【详解】f f ln3 f( eln3)f( 3) ( 3)21 8.故答案为：8.【点睛】本题考查分段函数求值问题，属于基础题，14 西周初数学家商高在公元前1000 年发现勾股定理的一个特例，勾三，股四，弦五此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年，我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数成为勾股数现从 3,4,5 ，5,12,13， 6,8,10，7,24,25 ，8,15,17，9,40,419,12,15， 10,24,26 ，15,20,25，15,36,39这几组勾股数中随机抽取1 组，则被抽出的这组勾股数刚好构成等差数列的概率为 _.2【答案】-5【解析】利用古典概型定义

14、直接求解即可又f m2fcosm等价于f m3cosm即 gmg, m -,33又m ，2 2 m3?.故选：D【点睛】本题考查了运用导数判断函数的单调性及应用,法的技巧，属于中档题.3cos3考查了函数奇偶性的应用，考查了构造第9页共 17 页【详解】第10页共 17 页从这 10 组勾股数随机抽取 1 组，共 10 种抽取方法，其中能构成等差数列的有：3,4,5 ,426,8,10，9,12,15，15,20,25，共 4 种，故所求概率为：P.1052故答案为：2.5【点睛】本题考查古典概型概率公式及应用，考查了数学文化的背景，考查理解能力，属于基础题，2 2P在椭圆c：Z1上运动，则点

15、p到直线169x y 100的距离的最大值为_【答案】15.22【解析】设与直线x y 100平行的直线方程为：x y c 0,与椭圆方程联立消元，令0，可得c的值，求出两条平行线间的距离，即可得解【详解】设与直线x y 10 0平行的直线方程为：x y c 0，与椭圆方程联立消去y得:所以两条平行线间的距离为:15故答案为：2【点睛】 本题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出与直线椭圆相切的直线方程，属于常考题15 .在平面直角坐标系中，动点25x232 cx 16c21442 20，令1024c100(16c144)即:576c214400解之得：c 5,所以点P到直线x y 100

16、的距离的最大值为100平行，且与16 .已知三棱锥D ABC的每个顶点都在球 O 的表面上,AB6,AC 2 6,第11页共 17 页AB AC，顶点 D 在平面ABC上的投影 E 为 BC 的中点，且DE 5，则球 O 的体积为_.第12页共 17 页【答案】2563【解析】先画出图形，求出外接球的半径，然后计算体积即可【详解】【点睛】 本题考查三棱锥的外接球问题，考查数形结合思想，考查计算能力，属于常考题 三、解答题an的公差为d d 0,等差数列bn的公差为2d，设A，Bn分bn的前n项和，且b13,A23,AB3.(1)求数列an,bn的通项公式；, 12(2)设Cnbn，数列Cn的前

17、n项和为，证明：(n 1).an?an 1【答案】(1)ann,bn2n1； (2)见解析【解析】(1)由等差数列的通项公式及求和公式列印，d的方程组求解则ann可求,进而得bn2n 1(2)利用q 2n 112n 11分组求和即n n 1n n 1可证明如图，在ABC中，AB 6,AC 2、6,ABAC，所以1BC ,62(2、“6)22.15，AE 2BC15，设球 0 的半径为R，则2 215(5 R) R,解之得：R 4，所以球 O 的体积为:R343256故答案为:256317.已知等差数列别是数列an第13页共 17 页【详解】B3,所以2a1d10d9 6d整理得2耳d3a1，解

18、得5a14d9d1所以ana1n1 ?dn,即ann,bnbn 1 2d 2n1，即bn2n 1.综上，ann,bn2n1.(2) 由 (1)得（C 2n112n1 1nn 1n所以Sn3 52n111 112 23即Sn21212n2n 1 -n1n 1n 1n 1（1） 因为数列A5【点睛】an是等差数列,bn本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力, 是中档18 .如图，在矩形ABCD中，AB 2 , BC 3，点E是边AD上的一点,且AE2ED,点H是BE的中点，将ABE沿着BE折起，使点A运动到点S处，且有SCSD.(1)证明：SH面BCDE;（2）求三棱

19、锥C SHE的体积.【答案】（1）见解析；（2）23【解析】（1）取CD的中点M，分别连接HM和SM，由已知易得SH BE，先证SM CD,再证HM CD,可得CD平面SHM,进而可得CD SH，又CD,BE不平行，即可证SH面BCDE;（2）因为VC SHEVC SHEVS HEC，利用等体积法计算即可得解【详解】第14页共 17 页第15页共 17 页(1)如图，取CD的中点M，连接HM,SM,【点睛】本题考查线面垂直的判定，考查等体积法的应用，考查空间想象能力和运算能力，考查转化思想，属于高考常考题型 19 某大型商场的空调在 1 月到 5 月的销售量与月份相关，得到的统计数据如下表:月

20、份x12345销量y(百台)0.60.81.21.61.8(1)经分析发现 1 月到 5 月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量y(百 件)与月份x之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于x的线性回归方程y? b?(召, 并预测 6 月份该商场空调的销售量；(2)若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对 7 月到 12 月有购买空调意愿的顾客 进行问卷调查假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的 500 名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：有购买意愿对应的月份789101112BC3，且AE 2ED,又点H是BESH BE，QSCCD的中点，SM CD

21、，又因为HM平行于BC,HM CD，又HM SMCD平面SHM,又SH平面SHM，CDSH，又CD与BE不平行,SH面BCDE；(2)由(1)知 SH AH 2sin 45,/2，SHEC三棱锥C SHE的体积VCSHEVCSHEVS HECSD，点M是线段第16页共 17 页频数60801201308030现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7 月与 12 月的这 90 名顾客中随机抽取 6名，再从这 6 人中随机抽取 3 人进行跟踪调查，求抽出的 3 人中恰好有 2 人是购买意愿的月份是 12 月的概率.nx yinx y5参考公式与数据：线性回归方程? b?x ?，其中 R 二-，S

22、21.2.2-2i 1Xinxi 11【答案】（1）? 0.32x 0.24 ； 2.16（百台）；（2）P -5【解析】（1 ）由题意计算平均数与回归系数，写出线性回归方程，再利用回归方程计算对应的函数值；（2）利用分层抽样法求得抽取的对应人数，用列举法求得基本事件数，再计算所求的概率值.【详解】1 1（1）因为x - 1 2 3 4 53 y - 0.6 0.81.2 1.6 1.81.25521 25 3 12所以 I?20.32，则? 1.2 0.32 3 0.24 ,55 5 32于是y关于x的回归直线方程为？0.32x 0.24.当x 6时，？0.32 6 0.242.16 （百台

23、）.（2） 现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7 月与 12 月的这 90 名顾客中随机抽取 6 名，则购买意愿为 7 月份的抽 4 人记为a,b,C,d，购买意愿为 12 月份的抽 2人记为A,B,从这 6 人中随机抽取 3 人的所有情况为a,b,c、a,b,d、a,b,A、a,b, B、a,c,d、a, c, A、 a,c, B、 a,d, A、a,d, B、a, A, B、b,c,d 、b,c, A、 b,c, B、b,d, A、b, d,B、 b,A, B、 c,d, A、 c,d, B、 c, A, B、 d,A,B，共 20 种，恰好有 2 人是购买意愿的月份是12 月的有 a

24、,A,B、 b, A, B、 c, A, B、 d,A,B ,共 4 种，41故所求概率为 P 1205【点睛】第17页共 17 页本题考查了线性回归方程与列举法求古典概型的概率问题，是中档题.220 .已知抛物线y 2px p 0，直线y x 2是它的一条切线.（1）求P的值；（2） 若 A 2,4 ,过点 p m,0 作动直线交抛物线于B,C两点，直线AB与直线AC的 斜率之和为常数，求实数m的值.【答案】(1)p 4； (2)m 2【解析】(1)联立拋物线与直线的方程，利用0,解得 p 即可(2)设B xi,yi，C X2,y2，将kABkAc表示成关于 力，牡的表达式，设出过点P m,

25、0的动直线的方程，代入抛物线方程，结合韦达定理化简得到kABkAC8t 8，满足-时符合题意，解之即可4t 2 m4 2m【详解】(1) 由yx2，得xy 2，代入y222px，得y 2py 4p 0，因为拋物线2y2px p0与直线yx2相切，所以22p4 4 p0，解得p4.(2)设B X%，C X2,y2，Y!4 y24888 %y28则kABkAC2 2y12 y22 y18 84y24y24 y1y216. .设过点P m,0的动直线的方程为xtym， 代入y28x，得y28ty 8m 0，所以64t232 m 0，y1y2&y28m8 y1y28&8所以kABkAC

26、yy4 y1y2164t2m若t变化，kABkAC为常数，则需满足88，解得m2.42m【点睛】本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，考查了斜率公式，考查了韦达定理的应用, 考查了运算能力，属于较难题.21 .设函数f (x) ax2(a 2)x In x(a R).(1) 讨论函数 f(x)的单调性；第18页共 17 页(2) 若函数 f(x)恰有两个零点，求a的取值范围【答案】(1)见解析；(2)(4 4ln 2,)x 2ax a 2丄丄2x 1 ax 1，讨论 a，求得单调性即可xx【解析】(1)第19页共 17 页(2)利用(1)的分类讨论,研究函数最值，确定零点个数即可求解【详解】(

27、1)因为f2x axx Inx,其定义域为0,所以2 ax a2x 1 ax 1(x当a 0时,此时当0时,0).0，得0上单调递减，在上单调递增x 0，得此时上单调递减,当2时，f当2时，令f此时(2)1-上单调递增.a此时f x在0,上单调递减，在上单调递减;令f X 0，得1上单调递增2(1)可知：当a0时,极小值In2.易证Inx x 1，所以f2axInxax1 x 1.6a219a2 0.所以f x恰有两个不同的零点，只需In24I n2.当2 a 0时，f -aIn20，不符合题意当a 2时，f x在0,上单调递减，不符合题意第20页共 17 页当a112时，由于f x在0,-,a2上单调递减，在1 1丄，丄上单调递a 214a1111 1增，且fIn2 0，又f1In，由于024aaaa 2In 10,a所以f111 . 1 In0，函数fX最多只有 1 个零点，与题意不符aaa综上可知，a44ln2，即a的取值范围为4 4ln2,【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，函数零点问题，考查推理求解能力及分类讨论思想，是难题22 .已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与X轴正半轴重合，直线l的参数x 2 t cos方程为：(t为参数，0,),曲线C的极坐标方程为：4siny tsi n(1)写出曲线C的直角坐标方程;直线I的斜