2020届江苏省镇江市九校高三下学期3月模拟考试数学试题(解析版)

1、5第 1 1 页共 3030 页2020 届江苏省镇江市九校高三下学期3 月模拟考试数学试题一、填空题1 1 .已知全集U=2厂1,0,1,2，集合A=-2,-1,1,则euA=_ _【答案】0,2【解析】根据补集的定义求解即可【详解】解：QU=-2-1,0,1,2,A=-2-1,1,euA=0,2.故答案为0,2.【点睛】本题主要考查了补集的运算，属于基础题2 2已知复数z 1-i a i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数【答案】-1【解析】利用复数的乘法求解 z z 再根据纯虚数的定义求解即可【详解】解：复数z=-i a i=a 1a i为纯虚数，a 1=0,1- a 0,解得a -1.故答

2、案为：-1.【点睛】本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题，属于基础题3 3 .数据1,3,5,7,9的标准差为 _ .【答案】22【解析】先计算平均数再求解方差与标准差即可【详解】a的值为_第2 2页共 3030 页1 3 5 7 9解：样本的平均数x5, ,第3 3页共 3030 页12 2 2 2 2这组数据的方差是S21 53 55 57 59 55S2=8,标准差S=2 2, ,故答案为：22【点睛】本题主要考查了标准差的计算 ，属于基础题4 4函数 f f x x 7 7l l 2 2x的定义域是_ .【答案】，0【解析】由1 2x0,得2x1，所以x 0，所以原函数定义域为

3、,0，故答案为，05 5.在一底面半径和高都是2m的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中现从中随机取出的2m3种子，则取出了带麦锈病种子的概率是 _.1【答案】-4【解析】求解2m3占圆柱形容器的的总容积的比例求解即可【详解】 解：由题意可得：取出了带麦锈病种子的概率1故答案为：丄.4【点睛】本题主要考查了体积类的几何概型问题，属于基础题. .6 6如图是一个算法伪代码，则输出的i的值为_ |: :M M; ;111 1Wlhilu: :；1 1*Lnd WhJIc:Ftinrt2_J2224第4 4页共 3030 页【答案】5 5【解【解析】执行循环结构流程图，即得结果第5

4、5页共 3030 页【详解】执行循环结构流程图得S 9 1 2 3 410, ,结束循环，输出 i i 4 4 1 1 5.5.【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析与运算能力，属基础题【点睛】本题主要考查了双曲线的准线方程求解，属于基础题a2a58 8设Sn是等比数列an的前n项的和，S3.S9.S6成等差数列，则的值为_a8【答案】2 2an的公比设为q,再根据S3,S9,S6成等差数列利用基本量法求解a?a5q,再根据等比数列各项间的关系求解- 即可a8【详解】 解：等比数列an的公比设为q,27 7 .在平面直角坐标系xOy中，若双曲线xb21 b 0经过点（3,43,4）,则该

5、双曲线【答案】x=3【解析】 代入3,4求解得b=. 2，再求准线方程即可【详解】2解：Q双曲线X2占1 b 0经过点3,4b2Q2163它1, ,解得b2=2，即b=2.又a=1,c a2b2、3，故该双曲线的准线方程为:x=故答案为:x=【解【解析】设等比数列的准线方程为_第6 6页共 3030 页S3,Sg, S成等差数列第7 7页共 3030 页可得2S9=S3S6,若q=1,则18ai=3ai6ai,“MN”是log?”log2N”成立的充分必要条件;若实数a满足a24,则a 2.【答案】【解析】对, ,根据周期的定义判定即可对，根据偶函数满足的性质判定即可对，举出反例判定即可对，求

6、解不等式a24,再判定即可【详解】解：因为当x= 时，sin xsinx,332显然不成立，故q1,a11q9a11 q3化为32q=1 q ,解得q3=-1a2a5a8a1故答案为:【点本题主要考查了等比数列的基本量求解以及运用, ,属于中档题. .9 9 .给出下列四个命题，其中正确命题的序号是.(写出所有正确命题的序号)因为sinx-sinx,所以不是函数y=si nx的周期;对于定义在R上的函数f(x),若f -2f(2),则函数f x不是偶函数;第8 8页共 3030 页所以由周期函数的定义知23不是函数y=sinx的周期，第9 9页共 3030 页故正确;对于定义在R上的函数f x

7、, ,若f 2 f 2，由偶函数的定义知函数f x不是偶函数，故正确；当M 1,N0时不满足log2Mlog2N,则MN”不是 fog?”log?”，”成立的充分不必要条件,故错误；若实数a满足a24,则-2 a 2,所以a 2成立，故正确.正确命题的序号是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，属于基础题1010 .如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为_ .画图直观图可得该几何体为棱锥，再计算高求解体积即可【解第1010页共 3030 页【详解】是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2

8、的正方形解：如图第1111页共 3030 页上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形 此四棱锥S- ABCD中，ABCD是边长为2的正方形,VSAD是边长为2的等边三角形,故CD AD，又CD SD, ,AD SD D故平面SAD平面ABCD, ,VSAD的高SE是四棱锥S- ABCD的高，此四棱锥的体积为：_1VS正方形ABCDSE3故答案为:【点睛】本题主要考查了四棱锥中的长度计算以及垂直的判定和体积计算等 1111.在平面直角坐标系xOy中，若函数f x_Inx- ax在x_1处的切线与圆C:x-2x y2-a_0存在公共点，则实数a的取值范围为 _ .【答案】0,1 U 2

9、,【解析】 利用导数的几何意义可求得函数f x_Inx- ax在x_1处的切线, ,再根据切线与圆存在公共点，利用圆心到直线的距离满足的条件列式求解即可【详解】1解：由条件得到f xa，需要根据题3;第1212页共 3030 页又f 1 a, f 11 a即a x1=02o圆C方程整理可得：x 1y2a即有圆心C 1,0且a0即盲.a22a 2. .解得a 2或0va 1, ,故答案为：0,1 U 2,【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程的问题，同时也考查了根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题 ，属于基础题1212 .已知函数f x=ax bx cx,若关于x的不等式f xv0

10、的解集是b c,-10,2，则仝丄的值为_ .a【答案】-3【解析】根据题意可知ax2bx c=0的两根为1,2, ,再根据解集的区间端点得出参数b c的关系，再求解乞丄即可a【详解】解：因为函数f xax3bx2cx x ax2bx c, ,Q关于x的不等式f x 0的解集是，10,22ax bx c=0的两根为：T 和2;bc所以有：1 2=-且12=；aab= a且c=-2a;所以函数在x=1处的切线为y=1- ax-1 -a=1- a1,所以圆心到直线的距离d2第1313页共 3030 页b c a 2aaa故答案为：-3【点睛】2第1414页共 3030 页本题主要考查了不等式的解集

11、与参数之间的关系，属于基础题 1313在边长为4的菱形ABCD中，A=60 ,点P在菱形ABCD所在的平面内若uuu umrPA=3,PC=. 21，则PB PD_【答案】1【解析】以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，再设P x,y，根据uuu uur PA=3,PC=；21求出P的坐标，进而求得PBPD即可【详解】解：连接AC,BD,设AC, BD交于点O,以点0为原点，则：A 2 .3,0 ,C(2.3,0), B(0,2), D(0,2),设P x, yQ PA 3, PC , 21,2才2,32-得,8-、3x 12,解得x21分别以直线0C, 0D为x, y轴, ,建立如图所示

12、的平面直角坐标系第1515页共 3030 页17【答案】 一一, ,63【解析】 根据分段函数的解析式画出图像 ，再根据存在唯一的整数x使得f x数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可【详解】x2,x 0画出f x的图象如下:uuu显然得出的PBuuu是定值, ,uuu则PBuuu,PDuuuuuu故答案为:【点本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题， 属于中档题. .21414设函数f xk 17x 2 ,x 0,g x=kx-4，其中k 0若存3在唯一的整数x,使得f xg x，则实数k的取值范围是k 17解：Q函数f x2,x0， 且k0,第1616页共 3030 页

13、5185Qg 3= kf 39, ,39存在唯一的整数x 3,使得f x g x2所以g 2 k f 24 k 63g 4=8k f 416k 6. .根据图像可知3综上所述, ,存在唯一的整数x 3,使得f x g故答案为： 口口, ,634 )XkXg为因，且存在唯一的整数X,使得故g X与fx在X 0时无交点k 17， 得k173；g x过定点4,03又由图像可知，若存在唯一的整数x使得f x gx时x -，所以x 23，当 x x 4 4 时，f X g x恒成立. .x， 此时口3第1717页共 3030 页【点睛】4本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题，需要根据题意分别分析定点

14、-,0右边3的整数点中x 3为满足条件的唯一整数，再数形结合列出x 2,4时的不等式求k的范 围属于难题二、解答题1515如图，四棱锥P- ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC, BD交于点O,M为棱PD的中点，MA MC求证：（1 1）PB/平面AMC;（2 2）平面PBD平面AMC【答案】（1 1）详见解析；（2 2）详见解析. .【解析】（1 1）连结OM ,根据中位线的性质证明PB/OM即可. .证明AC BD, , ACAC PDPD 再证明AC平面 PBDPBD 即可【详解】解：1证明：连结OM ,Q O是菱形ABCD对角线AC、BD的交点, ,O为BD的中点，Q M是棱PD

15、的中点，OM /PB,第1818页共 3030 页Q OM平面AMC , PB平面AMC,PB/平面AMC,2解：在菱形ABCD中, ,AC BD,且O为AC的中点，Q MA=MC,AC OM, ,Q OM BD=O, ,AC平面PBD,Q AC平面AMC, ,平面PBD平面AMC【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定，属于基础题1616.在锐角三角形ABC中，角代B,C的对边分别为a,b, c.已知tan A,tanB,tanC成 等差数列，cos代、,cosC,cos B成等比数列.(1) 求A的值；(2) 若VABC的面积为1,求c的值.【答案】(1 1)A= ; ( 2 2)c=3

16、. .4【解析】 根据tanA,tanB,tanC成等差数列与三角形内角和可知tanC tan A B， 再利用两角和的正切公式， 代入2tanB=tanA tanC,化简可得2tan Atan B tan2A 3, ,同理根据三角形内角和与余弦的两角和公式与等比数列的性 质可求得tanAtanB=2, ,联立即可求解求A的值由可知tanB=2,tanC 3, ,再根据同角三角函数的关系与正弦定理可求得b=再结合VABC的面积为1,利用面积公式求解即可. .3【详解】解：1tan代tanB,tanC成等差数列，第1919页共 3030 页而tanCtan A B=tanA tanB, ,即2t

17、anB tanAtan Ata nB 1tan Atan Btan， 展开化简可得2tanB=tanA tanC,第2020页共 3030 页得2ta n Ata n2B 2ta nB tan2Ata nB tan B, ,因为tanB 0, ,故2tan Atan B tan2A 3又cosA,、cosC, cosB成等比数列，可得cosAcosB=cosC=- cos( A B)=sinAsinB - cosAcosB, ,即sinAsinB=2cosAcosB可得tan Ata nB=2,联立解得tanA=1（负的舍去） 可得锐角A=42由1可得tanB=2, tanC=3, ,sin

18、B22由tanB=c=2,sinB cosB=1,B为锐角, ,解得sinB=乙？,5223/103, sin C cos C=1,C为锐角，故可得sinC=, ,102_52 2cc, ,丄310又VABC的面积为1,可得V .A1222&彳可得一bcsinA=c1, ,2232解得c=3-【点睛】本题主要考查了等差等比中项的运用以及正切的和差角公式以及同角三角函数关系等同时也考查了正弦定理与面积公式在解三角形中的运用，属于中档题1717某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖.如图，该弓形所在的因为tang匹cosCcsin B由正弦定理可得b=sin C第2121页共

19、 3030 页圆是以AB为直径的圆，且AB 300米，景观湖边界CD与AB平行且它们间的距离 为50；2米开发商计划从A点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面第2222页共 3030 页和水面均平行)，桥面在湖面上的部分记作PQ设AOP 2(1)用 表示线段PQ,并确定sin 2的范围;最大值.函数的单调性与最值即可【详解】解：1过点Q作QH AB于点H ,则QH=50、2, ,在VAOP中, ,Q OA=OP=150, AOP=2OAP=-(2(2)为了使小区居民可以充分地欣赏湖景,所以要将PQ的长度设计到最长，求PQ的【答C1)PQ=300sin50迈cos辽sin231; (2

20、 2)50：6米. .【解(1)(1)过点Q作QHAB于点H,再在VAOP中利用正弦定理求解AP再根据QHAQ=sin2求解AQ，进而求得PQ. .再根据PQ 0确定sin2的范围即可根据(1)(1)有PQ 50.2 3.2sin再设fcos3 2sin1, ,求导分析第2323页共 3030 页2第2424页共 3030 页OPAP由正弦定理得：sin 2, ,sin -2AP=300sinAQ=QHsin 2502cosPQ=AP AQ=300s incosQ PQ=300sin0, ,因为cos 0, ,cos化简得sin 2132 Q PQ=300sin50.2150 2 3、2sin

21、,coscos令f32sin1三sin21,且2 (0,),cos3f 3、2 cossincos 3、2tan22coscos2- sin2costancos322coscos3、2 tan21 tancos3、2 tan3tan因为(0,)，故cos2令f()=0,即tan3tan 3、20,(tan、-2)(ta n2,2tan3)0,记tan0=、2,0第2525页共 3030 页当0 v0时, ,f 0, f单调递增;当0 时, ,f 0两种情况，结合函数的单调性分析f 2f X2的范围即可. .(2)(2)求导分析g12x=ax2In x的单调性，再结合f x单调性，设禺禺X2,去

22、绝对值化简可得f X-!g XifX2g X20，再构造函数-g X, ,X0,寸a,根据函数的单调性与恒成立问题可知再换元表达a求解最大值即可【详解】解:2.ax i小小 厂厂x 0, ,2bx0可得0可得故函数的单调递增区间i i、,，单调递减区间、a aQX1X20,X20, ,Xi0或Xiv0, ,若Xi0, ,因为Xi, ,故xi 丄丄, ,x2 丄丄, ,-aa由知f(x)在上单调递增，f石2f x23fJ_、a 、aI f x f X2| |g Xig X2|,求b a的最大值.【答案】(1 1)单调递增区间L ,单调递减区间-1二-L； a a / ai详见解析；(2 2).

23、.i6【解析】(i)(i)求导可得f x2.ax i2, x2bx20, ,再分别求解f x 0与x 0的解第3131页共 3030 页若x1l可得XiiaXi,因为为x20,x20, ,所以X2-Xi由f(x)在i.a,上单调递增，f xi2 fx2fxi2 fXi=fxi综上fXi2 f x220 xaxax2i0, ,g(x)在0,i上单调递减, ,a不妨设Xi0, , ,xaa , ,可得Mfx)单调递减, ,所以MXaxax2i i2bx22bx0,i上恒成立, ,、a即-2bx 0在0,i上恒成立，即一一所以ba, ,b_a2i6i6i所以-a的最大值.i6【点睛】第3232页共

24、3030 页本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题，同时也考查了利用导数求解函数不等式以及构造函数分析函数的最值解决恒成立的问题需要根据题意结合定义域与单调性分析函数的取值范围与最值等属于难题2020.已知an,bn, Cn都是各项不为零的数列，且满足a2b2anbnCnSn.n N*,其中Sn n 是数列 i ian的前n项和，Cn是公差为d d0的等差数列.(1 1) 若数列an是常数列，d 2,C23，求数列bn的通项公式；(2 2) 若ann(是不为零的常数)，求证：数列bh是等差数列；(3 3) 若a1C1d k(k为常数，k k N*N*),bn=Cnkn 2,n N*.求证：

25、对任意n2,nN*,直虹1的恒成立.anan 1【答案】(1)bn=4n3； (2 2)详见解析；(3 3)详见解析. .【解【解析】(1)(1)根据d 2, ,c23可求得cn, ,再根据an是常数列代入aibi a?b2a.m CnSn,n N*,根据通项与前n项和的关系求解 0 即可. .取n 1，并结合通项与前n项和的关系可求得Snc-Sn%i=and,再根据n n 1anSnSn 1化简可得S.idnCn=ng, ,代入Sn 1化简即可知233bnbn 1d n 3再证明 d dd也成立即可. .22由当n 2时，Sn-1(CnCn-1) a“Cn=a“bn，代入所给的条件化简可得【

26、详解】1解：Q d=2,C2=3,Cn=2n-1.Q an是各项不为零的常数列Sn=kan,Sn=Srr1an=k 1 an, ,进而证明可得ank 1an 1, ,即数列an是等比k数列. .继而求得ann 2, ,再根据作商法证明bnanbn 1an 1即可. .第3333页共 3030 页ai=a2=an,则Sn=nai, ,则由cnSn=a1b1a2b2anbn, ,及Cn=2n-1,得n 2n-1=b b?bn, ,当n 2时，1 23=bi bb-1, ,两式作差，可得bn=4n-3.当n=1时，D D=1满足上式，则bn=4n-3；2证明：Q ab a2b2两式相减得：SnCnS

27、rr1Cn-1anbn,anCn=anbn即Sdn Cn=n bn.又Sn 1n n 1 d ncnn bn, ,2即d Cnbn.2当n 3时, ,n- dCn 1bn 1, ,23两式相减得：bnbn 1d n 3.23数列bn从第二项起是公差为d的等差数列.2又当n=1时, ,由S1Ci= a1bi,得C1=bi, ,anbn=CnSn, ,当n2时, ,a1b1a2b2即Sn-1anCnSrr1Cn1ani，Sn1CnCn-1第3434页共 3030 页当n=2时, ,由b2C2C1b13d, ,得b223故数列bn是公差为2 d的等差数列;23证明：由2，当n 2时, ,第3535页

28、共 3030 页bn=Cnkd, ,即卩即卩bn-Cn=kd, ,Sn-id=an?kd,即S-1=ka*2bn= Cik=cnkd=cn 1 k k又C2=2k, b=k, b2=ka2=1, ,bn 1anan 1bn【点睛】列的递推公式继而求解通项公式或证明等差数列等同时也考查了数列中的不等式证明等，需要根据题意分析数列为等比数列并求出通项，再利用作商法证明属于难题丨的一个特征向量为 tltl, ,属于特征值怯的一个特征向量为求矩阵Sn-1Cn_ Cn-1寺寺4= Rbn，即Sv= %C.Si=Sn1an=k 1 an, ,k 1 an_1=kan,即a.an故从第二项起数列an是等比数

29、列, ,当n 2时, ,a.n 2k 1a2k-另外，由已知条件可得aiaia2C2=a1 bia2b2, ,bn令dnan故对任n 2, nN*,直an乩恒成立.an 1本题主要考查了等差等比数列的综合运用，需要熟练运用通项与前n项和的关系分析数,刊br2121已知二阶矩阵負弋jJjJ, ,矩阵亠属于特征值卜 1 1第3636页共 3030 页【答案】【解析】 运用矩阵定义列出方程组求解矩阵【详解】由特征值、特征向量定义可知，4 旳-Z，毗仙一川得此舌同理可得慨;雷十解得，h h * *，f f i|i|因此矩阵A議 可【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即

30、可求出结果,较为简单2222 .选修 4-44-4:坐标系与参数方程X 2 cos在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知曲线 C C 的参数方程为（a 为参数）以直y sin角坐标系原点 0 0 为极点，x x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I I 的极坐标方程为cos（ -） 2.2，点 P P 为曲线 C C 上的动点，求点 P P 到直线 I I 距离的最大值.42【答案】（1）乡y21,x y4（2 2）dmax2、2-1042cos（2）2 2化简为PCT SZ，即为X+y=4.再利用点到直线距离公式得：设点 P P 的坐标为（2cos2cos a sinsin a,得 P P

31、 到直线 I I 的距离2cos sin 4（1010 分）【解析】试题分析：利用cos X, siny将极坐标方程化为直角坐标方程:试题解析：解:cos（一）22化简为 p cos4cos40 p sinsin=94 4,4则直线 I I 的直角坐标方程为 x x + y y= 4 4. （4 4 分）设点 P P 的坐标为（2cos2cos asinsin a ,得 P P 到直线 I I 的距离d dmax=2cos sin 4第3737页共 3030 页【考点】极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线距离公式第3838页共 3030 页【答案】1【解【解析】试题分析：由柯西不等式得1 _3

32、；_“二3#(3a 2)(3b 2)(3c 2) 9，所以- (3a 2)(3b 2)(3c 2)1 1 1 ,13a 2 3b 2 3c 2试题解析：因为a, b, c均为正数，且a b c 1，所以(3a 2)(3b 2)(3c 2)9.当且仅当a b c3时，上式等号成立., 111从而1.3a 23b 23c2故一1一111的最小值为1.此时a b c -3a 2 3b 2 3c 23【考点】柯西不等式2424.如图， 在正四棱锥P- ABCD中， 底面正方形的对角线AC, BD交于点0且0P=1AB.2(2)求锐二面角B PD C的大小.2323.若正数a,b,c满足a b c1，求

33、3a 21 13b 2 3c 2的最小值. .13a 21 13b 2 3c 2(3a 2) (3b 2)(3c 2)于是由均值不等式可知1_ _J_13a 2 3b 2 3c 2(3a 2) (3b 2) (3c 2)33：(3a 2)(3b 2)(3c 2)【答(1)601(3a 2)(3b 2)(3c 2)(1)求直线BP与平面PCD所成角的正弦值;第3939页共 3030 页【解析】(1)(1)以OE,OF,OP分别为x轴, ,y轴,z,z 轴, ,建立空间直角坐标系，设底面正方形 边长为2,再求解BP与平面PCD的法向量，继而求得直线BP与平面PCD所成角的正 弦值即可. .(2)(

34、2)分别求解平面BPD与平面PDC的法向量，再求二面角的余弦值判断二面角大小即可【详解】解：1在正四棱锥P- ABCD中, ,底面正方形的对角线AC,BD交于点0,所以0P平面ABCD ,取AB的中点E, BC的中点F,所以0P,0E,0F两两垂直，故以点0为坐标原点，以0E,0F ,0P分别为x轴, ,y轴，z z 轴，建立空间直角坐标系.设底面正方形边长为2,1因为0P= AB,2所以0P=1,所以B 1,1,0 ,C -1,1,0 ,D -1-1,0 ,P 0,0,1UJU所以B=-1,1, ,r设平面PCD的法向量是n x, y, z, ,UJUurn因为CD 0, 2,0, ,CP1

35、厂1,1, ,uuu ruuu r所以CD n2 y=0, ,CP n= y z=0, ,取x=1,则y=0, z=-1, ,r所以n 1,0, 1第4040页共 3030 页所以直线BP与平面PCD所成角的正弦值为 二6.32设平面BPD的法向量是n x,y,zUJCmu因为BP-h1,1，BD -2,-2,1, ,uuu ruuu r所以BP n= y z=0, BD n=-2x-2y=0, , 取x=1,则y=-1,z=0,所以n i, 1,0, ,r由1知平面PCD的法向量是n 1,0, 1, ,ur ru rm n 1所以cos=LT. r=-nilN2所以=60, ,所以锐二面角B- PD- C的大小为60【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解线面夹角以及