2020届江苏省沭阳县高三上学期期中调研测试数学试题(解析版)

1、第1 1页共 2525 页2020届江苏省沐阳县高三上学期期中调研测试数学试题一、填空题1 1 已知集合A 0,1,2，B 1,2,3,4，则集合AI B中元素的个数为_【答案】2 2【解析】 先求AI B再求元素的个数即可 【详解】因为AI B 1,2，故其中元素的个数为 2.2.故答案为：2 2【点睛】本题主要考查了交集的运算，属于基础题第2 2页共 2525 页2 2 .函数 f f (x x),x x 11 , 22的值域为【答案】1丄3 2【解析】根据分式函数的单调性进行分析即可【详因为f(x)1,2上单调递减，故f (2)1 1x 11+故f (x)1,2上的值域为故答案为：1丄3

2、 2【点本题主要考查了利用函数单调性解决值域的问题， 属于基础题型3 3 .已知1 i z 3 4i(i为虚数单位)，则复数z的模为_【答案】.邑22【解析】先求解 z z 再计算模即可. .【详解】第3 3页共 2525 页34i，故z3 4i3 4i 1 i71庆1iz1 i1 i 1 i22故z71 . iJ72215运22N222故答案为：丄 2 22【点睛】本题主要考查了复数的除法运算与模的运算，属于基础题【答案】【详解】2 2 2x bx，故x bx x bx恒成立 故b 0. .x2, ,则f故答案为:【点睛】本题主要考查了根据奇偶性求函数解析式与函数求值的问题，属于基础题5 5

3、经过点A1,3 ,B(J3, J3)的直线的倾斜角是 _ . .【答案】120o【解析】根据斜率的公式求解即可 【详解】经过点A 1,3 ,BG，3,.3)的直线的倾斜角是k3313,3.,3.V3 i431所以倾斜角为120. .4 4 .已知函数f XX2bx (b R)为偶函数，则f12的值为【解根据函数bx (b R)为偶函数可求b, ,再计算f即可. .2因为函数bx (bR)为偶函数, ,第4 4页共 2525 页故答案为：120第5 5页共 2525 页【点睛】本题主要考查了两点间斜率的计算，属于基础题6 6 .函数f xsin 2x2的一条对称，贝y的值为4【答【解代入等于正弦

4、函数的对称轴表达式, ,再根据2求解即可 【详由题，当xk , kZ，即2k乙又-故当k 0时, ,0. .故答案为：0 0【点本题主要考查了根据正弦函数对称轴求参数的问题，属于基础题. .7 7 .若命题 “x R,2x23x m0是真命题,则实数m的取值范围是9【答案】，8【解析】根据二次函数的恒成立问题，利用判别式求解即可 【详解】229因为x R，2x 3x m 0，故34 2 m 0 m89所以实数m的取值范围是，89故答案为：，8【点睛】第6 6页共 2525 页【详解】【点睛】本题主要考查了双曲线标准方程的求解，属于基础题. .9 9 用半径为2cm的半圆形纸片卷成一个圆锥，则这

5、个圆锥的高为【答案】,3,3【解析】根据圆锥的底面周长等于半圆形纸片的弧长建立等式径为圆锥的母线长求解即可【详解】 由题得，半圆形纸片弧长为2 cm, ,设圆锥的底面半径为r, ,则2 r 2 r 1cm, ,故圆锥的高为2212、3cm. .故答案为：J【点睛】本题主要考查了圆锥展开图中的运算，重点是根据圆锥底面的周长等于展开后扇形的弧长，属基础题10.函数f xIn1x_- 2的定义域为2【答案】，122X8 8 已知双曲线过点A 3, 2，且与椭圆 92-1有相同的焦点,4则该双曲线的方程是【答2 2x- y. i32【解先求出双曲线的焦点，再设双曲线的标准方程，代入A3, 2求解即可.

6、 .易得椭圆X22 _-i的焦点为、5,o，故设双曲线的方程为42y21 a ,b 0. .b232故ab2122x2，解得a23,b22. .故双曲线的方程 一32y2故答案为:X2cm, ,再根据半圆形纸片的半值是第 5 5 页共 2525 页【解析】根据对数中真数大于 0 0 列出不等式，再根据指数函数单调性求解不等式即可【详解】x由题，1212 0 2x221xx21.故定义域为：21J2故答案为：1，2【点睛】本题主要考查了函数的定义域与指数不等式的求解 属于基础题1111 已知角 一的终边经过点1,、2（始边为x轴的非负半轴），贝ysin6【答案】3、2.-36【解析】根据角的终边

7、经过点6凑角方法求解sin即可 【详解】本题主要考查了三角函数值的定义求法以及利用凑角求解三角函数值的问题， 属于中档1八2可求得sin,cos66 6，再利用因为角的终边经过点61,2cos一61V3.r2 3故sinsin66sin、33 13 232326故答案为：3236【点睛】，故sin_2_561 23coscos sin 6 6661212 .如图所示，在ABC中，C严I，BC厂uuu uuu ”冃,2, PC 2，则APgBP的取小第8 8页共 2525 页得最小值，为2v5 ,22.一10. .故答案为：2-.10【点睛】本题主要考查了向量的数量积运用，需要根据题意转化基底表

8、示数量积进行化简，属于中档题. .1313在平面直角坐标系xOy中，已知点P 1, 1，过点Q 1,1作直线交圆x2y21于A, B两点，贝U PAB的面积的最大值为 _【答案】1 1【解析】易得因为点P 1, 1, ,点Q 1,1关于原点0对称，利用平面几何性质可得P 1, 1到直线AB的距离等于0到直线AB距离的两倍，故SPAB2SOAB, ,再表达 出SOAB用基本不等式求解即可. .【详解】画图分析可知，因为点P 1, 1，点Q 1,1关于原点0对称，故P 1, 1至煩线ABuunUJU【解析】化简AP BPuuu uuuAC CPJJJ JJJBC CP，展开后根据数量积的基本运算分

9、析最uuu uuuuuriuruuuuuuurUJUuuu uurruur uuu2AP BPAC CPBCCPAC BCCPACBCCPuurr uuuuuruurruuiruur2uuuuurUJUAC BCCPACBCCP0CPACBC2. .uuLir uuu rr设AC BC a易得auur uuuAC BC.5.5.,uuj uur r uuu1故AP BP 2 a CP，因为a厂uuuJ5, ,CP2. .故当且仅当r uura,CP反向时uur uur怖AP BP取【答案】2,10小值即可 【详第9 9页共 2525 页的距离等于0到直线AB距离的 2 2 倍 故SPAB2SO

10、AB设0到直线AB距离为d，易得SPAB2SOAB时等号成立【点睛】不等式求解即可 212d Cd22d,d2. .2根据基本不等式有2d 1 d221 d2d2当且仅当d厂d2, ,即d舟本题主要考查了与圆有关的面积问题， 需要注意到P,Q关于0对称，进而简化面积的表达式并利用基本不等式求解最值 属于中档题. .X21414.已知函数f xxte4txe，x t3有三个零点（e e是自然对数的底数） ，则实数te，xt的取值范围是【答案】 -?23【解析】 由题可知，当x t时函数为二次函数，当x t时为指数类的单调函数. .,2e故yX 4tx 3，x t有两个零点，y tex.x t有一

11、个零点，再由单调性列出2故答案为：1.1.第1010页共 2525 页【详解】第1111页共 2525 页二、解答题1515 如图，在三棱锥P ABC中，AB AC,PB PC,M , N分别为AB, BC的中占I八、根据题意，若f X零点, ,4t此时，f tt216t2且y teX数, ,故只需所以x2Xte4t24e3ymaxtetet4tX-,X3匹X t0, ,解得tt有一个零点 因为t有三个零点则y X24tXlXt有两个3e/eteX亠t为增函-0即可 设h t2tet,则h t2t 1 et0, ,亍在定义域内为增函数 又h 10, ,故0, ,1 综上所述, ,t212 3故

12、答案为:1血2，3【点本题主要考查了根据函数零点的个数求解参数范围的问题，需要分段分析零点情况，根据二次函数的零点分布与求导分析函数零点的方法分析 属于难题. .第1212页共 2525 页求证：（1 1）MN /平面PAC；（2 2）PA BC【答案】（1 1）证明见解析（2 2）证明见解析【解析】证明MN/AC即可 连接PN,AN, ,再证明AN BC, ,PN BC即可证明BC平面PAN，进而证明PA BC即可 【详解】解：1在ABC中，因为M,N分别为AB,BC的中点,所以MN / /AC又因为AC平面PAC, MN平面PAC所以MN /平面PAC. .2连接PN,AN. .在ABC中

13、, ,因为AB AC，N为BC的中点,所以AN BC. .同理可得：PN BC. .所以BC平面PAN因为PA平面PAN, , 所以PA BC. .又因为AN平面PAN，PN平面, ,PAN, AN PN NB第1313页共 2525 页本题主要考查了线面平行的证明与根据线面垂直证明线线垂直的方法，属于基础题AD 10,AC 14, CD 6. .(2)求sin BAC的值【答案】(1 1)AB 5、6(2 2)5 6112282【解析】(1)(1)在ADC中利用余弦定理求得ADC，再在ADB中用正弦定理求3【点睛】16在ABC中，已知B 4，D是BC边上一点，(1)求AB的长：第1414页共

14、 2525 页解即可. .在ACD中，由余弦定理解得cos ACD11, ,再根据14sin BAC sinACD【详解】解：1在ADC中，由余弦定理AC2AD2CD2B sin ACD B求解即可2 AD CD cos ADC, ,ADC, ,得1421 02622 1 0 6 cos第1515页共 2525 页1解得cosZADC22又因为ADC 0,所以ADC，所以ADB 33ADB中， 由正弦定理ADsin ABDABsin ADB10得.sin4AB. .，解得AB 576sin32在ACD中，由余弦定理AD22 2AC CD 2 AC CD cos ACD,解得cos ACD11s

15、inACDB sin ACD 45 .31125、6 11.214214228【点睛】sin ACD cos cos ACD sin44， 同时也考查了正弦函数和角公式的运1717 .如图所示，某海滨养殖场有一块可用水城, 个部分，其中MON 120,该养殖场用隔离网OP把该水域分为两PON 30 OP 2百米，现计划过P处再修建一条直线型隔离网，其端点分别在OM ,ON上，记为代B得102142622 14 6 cos ACD第1616页共 2525 页(1)若要使得所围区域ABO面积不大于33平方百米，求OA的取值范围:(2)若要在POB区域内养殖鱼类甲，POA区域内养殖鱼类乙，已知鱼类甲

16、的养殖 成本是4万元/ /平方百米，鱼类乙的养殖成本是1万元/ /平方百米 试确定OA的值，使得 养殖成本最小，【答案】(1 1)OA在3百米与2. 3百米之间(2 2)OA为2. 3百米【解析】设OA a百米, ,OB b百米 再根据SAOBSPOBSAOP可得化简得：Fab b 2a所以a23、-3a 60, ,解得-3 a 2-34a3a 20，再代入SAOB3.3即可求解0A的取值范围(2)(2)根据(1)(1)中的a,b计算可得ya 2b, ,又由有3ab b 2a, ,即3丄 2,2,再22 a b利用基本不等式求解即可【详解：1设OA a百米, ,OBb百米，SAOBSPOBSA

17、OP因为SAOBSPOBSAOP所以-absin1202-2bsin3012a2 2所以b4a斫,因为b4a.3a 20, ,所以a2a2”331因为SAOBabsin12023ab3a 4a3、344.3a 2第1717页共 2525 页答：OA在3百米与2 3百米之间 2记总成本为ynt1 1则y 42 bsin30a 2sin 90 a 2b2 2因为仝ab b 2a, ,所以工-22 a b所以rc21222b2a22鲁晋朋y a 2b a 2b第2222页共 2525 页UJUU uuu LULT因为OM mOP nOQ m x0,y0n x0, y0所以M m n x0, m 4n

18、 y0代入椭圆得2m n x042m 4n y12又因为X。4y。21所以m n2 21, m 4n152解得m3，n3【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的弦长求解椭圆标准方程的问题标表达向量，并利用椭圆的方程求解参数的问题 属于难题. .，同时也考查了利用点的2020 .设函数f x x 1 Inx x 1 lna a 0(1) 若 a a 1 1，判断函数由：(2) 若f x 0在1,x是否存在极值，若存在，求出极值：若不存在，说明理上恒成立，求实数a的取值范围:(3)若函数f x存在两个极值点x1,x2x1x2，证明：X1X22【答案】(1 1)不存在极值，详见解析(2 2)0 ae2(

19、3 3)证明见解析【解析】代入 a a 1,1,设h x f x ln xx 11 *,Inx 1, ,再求导分析h x的xx单调性与最值，进而可得f x0即可知函数f x不存在极值. .(2)(2)根据(1)(1)中h2x 0可分当0 a e,h x0时，与2 In a0两种情况，再求导分析函数f的最小值判断是否能够成立即可由题意hx1ln-x1ln a 0, ,hX2ln x21 ln a0, ,再两式相减构造g2l nt1ttt 1证明g2lnt - t0恒成立即x第2323页共 2525 页【详解】第2424页共 2525 页所以函数f x不存在极值1 1x12由1因为h x2厂0,所

20、以h x在1,上单调递增x x x所以当x1,hminxh 1 ,h xmin2 In a若2 In a0, ,即0 ae2,h x0, ,所以f X0在1,上恒成立，所以f x在1,上单调递增，所以f xf 10若2 In a0，即2a e,a 1，则h aa0又因为h 12 In a0, ,且h x在1,上是单调递增不间断的函数所以存在唯一的x01,a使得h x0. .在区间1,a上, ,h x 0, ,所以f x0在1, a上恒成立，所以f x在1,a上单调递减所以f xf 10, ,与题设矛盾，所以不成立 f xx 1x1In xxIn a In xx设h xfx inxx 1In x

21、 1 1xx则h x11x 12xxx因为x0,1时, ,h x 0,h x单调递减，x 1,时, ,h x 0,h x单调递增解：1因为 a a 1,1,所以所以x1时, ,h x取得极小值也是最小值，此时hXmin所以h x0, ,即f x0在0,上恒成立In x1x11 In a 0, ,第2525页共 2525 页综上可知：0 a2e. .第2626页共 2525 页& , 102 a2a2 a1022a解：1因为AB, ,BA020 1020 10202h x2In x21 In a 0X2由- -得：In x1In x20, ,即X2XX|X2InX1X2要证X1X22,

22、,只要证X2X1X1X22In -X2X2即证一X1空2In竺X2X2.X1设 t t X2，因为 X X1X X2, ,所以0 t11即证-t t2In t令g t12lnt - t 0 tt 1则g t2丄12t tt 120t2所以g t单调递减，所以g tg 10, ,原命题得证 【点睛】本题主要考查了根据利用导数分析函数的极值问题，根据恒成立求解参数范围的问题以及极值点不等式的证明等 需要根据题意求导分析函数的单调性，并且分析导函数的性质进行原函数的最值分析 同时也考查了构造函数证明极值点不等式的问题. .属于难题 1 021已知矩阵A 02，B01，且ABBA(2)(2)易得阵B的

23、特征多项式为f【详解】1，再令f入0求解即可. .X2第2727页共 2525 页且AB BA, ,所以a 02 02因为B，矩阵B的特征多项式为f210 1令f入0, ,解得2,1【点睛】本题主要考查了矩阵的基本运算与特征值的计算，属于基础题 2222 .在极坐标系中，已知曲线Ci的极坐标方程为2cos，曲线C2的极坐标方程为cos2，判断曲线Ci与C2的位置关系. .3【答案】曲线C1与C2相离【解析】化简G成直角坐标可知G为圆, ,再化简C2为直角坐标可知C2为直线，再根据圆 心到直线的距离与半径的关系判断即可. .【详解】解：以极点为坐标原点，极轴为平面直角坐标系的x轴的非负半轴建立平

24、面直角坐标系. .2 2 2 2曲线G的直角坐标方程为xy 2x 0, ,即卩x 1y21曲线C2的直角坐标方程为1x y2, ,即x .3y42 2因为丄二4312 2所以曲线C1与C2相离【点睛】本题主要考查了极坐标和参数方程与直角坐标的互化，同时也考查了直线与圆的位置关系. .属于基础题. .2323如图，在棱长为2的正方体ABCD AB1GD1中，P为棱C1D1的中点，Q在棱BB1上. .第2828页共 2525 页(1)若Q为棱BBi的中点，求二面角B AQ P的正弦值;uuu(2)若直线AA与平面APQ所成角为45，求PQ【解析】(1)(1)建立空间直角坐标系A xyz, ,再分别

25、计算面BAQ和AQP的法向量求解即可. .uuruuiruuur(2)(2)设BQBB, ,再根据线AAi与平面APQ所成角为45求出入进而求出PQ【详解】uir nr uuu解：以AB, AD, AA为单位正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz. .ir1平面ABQ的一个法向量为m 0,1,0ur设平面APQ的法向量为n2x, y,z, ,uuunr因为AP1,2,2, ,AQ2,0,1【答案】(1 1)L1L14545( 2 2)29第2929页共 2525 页uu uuuu uur则n2AP0,n2AQ 0即x 2y2z 0, ,2x z0. .第3030页共 2525 页ir in因为cos口，比32_乞29；292-设平面APQ的法向量为n2x, y,zuuuuuur则n2gAP 0,n2gAQ 0即x 2y 2z 0, ,2x 2 z 0. .令x 2, ,则x 2 ,y 2所以，比2 ,2, 2是平面APQ的一个法向量因为直线AAi与平面APQ所成角为45, , ujir所以cos( n,AAurn所以PQ2设BQ BR，则AQ 2,0,2