2020届江苏省苏州市高三下学期3月调研数学试题(解析版)

1、第1 1页共 2121 页2020 届江苏省苏州市高三下学期3 月调研数学试题一、填空题1 1 已知 A A 1,3,41,3,4，B 3,4,5，则AI B _.【答案】3,43,4【解析】由题意，得AI B 3,4. .2 2 .若复数 z z 满足(1 2i)z 3 4i( (i是虚数单位) )，则|z| _. .【答案】.5.5【解析】化简得到z 1 2i，再计算复数模得到答案 【详解】3 4i 3 4i 1 2i 5 10i l(1 2i)z 3 4i，则z1 2i，故z , 5. .1 2i 1 2i 1 2i5故答案为：. 5 .【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学

2、生的计算能力3 3执行如图所示的算法流程图，输出的S的值是_ . .【答案】7 7【解析】根据程序框图依次计算得到答案 【详解】根据程序框图：S 0,n1；S 1,n2；S 3,n 3；S 7,n4，结束，输出S 7. .故答案为：7.7.【点睛】第2 2页共 2121 页本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力第3 3页共 2121 页4 4 若数据 2,X,2,2 的方差为 0 0，则 x x _.【答案】2【解析】 试题分析：由题意的，数据不变，所以X2 2.【考点】1 1方差的意义；5 5 .在一个袋子中装有分别标注数字1 1 , 2 2, 3 3, 4 4, 5 5 的

3、5 5 个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为3 3 或 6 6 的概率是_ .3【答案】10【解析】由题设可得从 5 个小球中取两个的取法有(12) (13) (14) (15) (23)(24) (25) (34) (35) (45)共 10 种取法，其中和为 3 或 6 的有(12) (24)点睛：解答本题的关键是运用列举法列举出取出 2 个小球的所有可能情 况，即 n 10 ,再列举出符合条件的可能数字，即 m3，然后再运用古3典概型的计算公式算出其概率 P .106 6 .先把一个半径为 5 5，弧长为6的扇形卷成一个体积为最大

4、的空心圆锥，再把一个实心的铁球融化为铁水倒入此圆锥内( (假设圆锥的侧面不渗漏，且不计损耗) )，正好把此空心的圆锥浇铸成了一个体积最大的实心圆锥，则此球的半径为_. .【答案】39【解析】计算圆锥的体积为V 12，根据体积相同计算球半径 【详解】设圆锥底面半径为r，则2 r 6，r 3，h、.、52r24，故V - r2h 123设球的半径为R，则V - R312，解得R39. .3故答案为：39. .【点睛】本题考查了圆锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力2 2(15)共 3 种，故所求事件的概率是 P3应填答案3.第4 4页共 2121 页7 7 若双曲线 也 1 1 的左焦点在抛物线

5、y22px的准线上，则p的值为_. .5 54 4【答案】6 6【点睛】第 3 3 页共 2121 页本题考查了双曲线的焦点和抛物线的准线，意在考查学生的综合应用能力uu uurUUJ UUJ UJU uunnttPA PB8 8.在ABC所在的平面上有一点P，满足PAPBPCAB，贝y uu uuu= =PB PC【答案】12uuuuutuuuuut UJU UJU uuuUUJTUUJ -【解ABPBPA，代入PA PBPC AB即可得到PC2PA,所以三点P，A，C共线，所以可画出图形，根据向量的数量积的定义式并结合图形即可求得uun uurPA PBuur uuu.PB PC【详解】”

6、UJUuuu uuu uju解：PA PB PC AB；uui uuu uur uuuUJJPA PB PC PB PA；uuuuuuPC2PA；P,A,C三点共线，如图所示:uuuuuu|PC|PC | | 门 -utu-utu2 2 :|PA|PA|2双曲线5 5仝 1 1 的左焦点为3,0，即-P=-3，故p = 6. .4 42故答案为：6. .2 2【解析】计算双曲线 -y1的左焦点为5 54 4【详解】【点睛】3,0，再利用准线方程计算得到答案uut uurPA PBuuu utuPB PCuutPAtuu-PBuuuPB cosuttr-PC cosuutPAcosAPBUJUc

7、osAPBAPBCPBuuuPA cos APB-uttt-PC cos APBC故答案为:2第6 6页共 2121 页考查向量的减法运算，共线向量基本定理，向量的数量积，属于中档题.9 9.已知直线y kx 2与曲线y xlnx相切，则实数 k k 的值为_【答案】1 In2【解析】【详解】设切点为m, mlnmy 1 In x, ,yxm1 Inm y mlnm 1 Inm x m即y 1 Inm x m，又y kx 21 Inm k，即k 1 In2m 2故答案为1 In2点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点P（xo,y。）及斜率，其求法为：设P

8、（xo,y。）是曲线y f（x）上的一点，则以P的切点的切线方程为：y y f（x）（x X。）.若曲线y f （x）在点p（x, f（x。）的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为b21（a b 0），直线y于b与椭圆C交于AB两点，若OA OB，则椭圆离心率的值等于【答案】根据对称性得到B上6b,丄6b，代入椭圆方程化简得到答案3-【详解】故答案为:2x1010 .已知椭圆a【解OA OB，根据对称性不妨取B卡予，代入椭圆方程,b232a得到a222b，故1：第7 7页共 2121 页【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力等差中项，贝y S32

9、的值为_【答案】8 82 2 2【解析】化简得到SnSn 12，故Sn是首项为2，公差为2的等差数列,2Sn2n，得到答案. .【详解】2222当n 2时，S24，满足S2S12，故Sn是首项为2,公差为2的等差数列,故Sn22n，故$32,64&故答案为：8. .【点睛】2Sn是首项为2，公差为2的等差数列是解题的关键1aa 1当a tan，即tan 时等号成立，故 =1，解得a 32 tana2. a1111.已知正项数列an的前n项和2，且当n2时,为Sn和Snan当n 2,SnSn 12anSnSn 1，即Sn2Sm2本题考查了数列求和，确定1212 .设, 为锐角，tanat

10、an (a1），若的最大值为一，则实数a的值4为【答案】32 2tan计算a 1a 1，得到a2 J a【解析】ata ntan2fa1,得到答案 【详解】tantantana 1 tana 1a 11 tantan1 ata n21-ata n2, a，tan第8 8页共 2121 页故答案为：3 .2 .【点睛】第9 9页共 2121 页本题考查了和差公式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力1313 .在平面直角坐标系xOy中,已知A,B为圆C : (xa)22(y 2)4上两个动点，且 ABAB23.若直线l : yx上存在点uurP,使得PAuurrPBOC，则实数a的取

11、值范围为【答案】22.2,2.2【解析】 设AB中点为x,y，设Pt,t，计算得到221,根据uuu uur uuir + , PAPB OC得到2代入计算得到答案. .11【详解】设AB中点为M x, y,设P t, t, ABAB 2 2 3 3 ,r = 2,故MC . r2AB，即x22 1. .uun uur uuju PAPB 2PMt,y tuuurOCa,2,代入方程得到1，即2t222a2解得a 22、2. .故答案为：2 2迈2 2. 2. .【点睛】本题考查了向量运算，圆方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力21414已知函数f(x) ex，若函数g(x) (x 2)

12、 f(x)2a |x2|有 6 6 个零点,则实数a的取值范围为【答案】2e, 12e 1【解析】 函数零点等价与F xx 22e2x2a x2 exa的零点，设第1010页共 2121 页t,求导根据单调性画出图像，Kt2t22at a,t2at a,t有 4 4 个零点且满足e t1t20t3t4，计算得到答案 【详解】g(x)(x 2)2f(x)a2a|x 2| (xf(x)2)2ex2 2a|xe函数零点等价与F xx 22e2x2a x2 exa的零点，设x 2 ext，则txx 1 e，故函数y t在,1上单调递减，在1，上单调递增，且当x 1时，te，画出y t x2 ex的图像

13、，如图所示：2|2O1t2t22at2at则只需解得aa,t 0，原函数有a,t 0有 4 4 个零点且满足tl6 6 个零点,t20 t3t4，故4 a24a24a 04a 00或 a a 1 1 ；且t3 t4t3t42a0，解得0且对称轴满足e t a 0，K0，解得2e2e 10. .第1111页共 2121 页综上所述：2ae, 12e 12故答案为：e, 1. .2e 1【点睛】本题考查了函数零点问题，换元画出函数图像是解题的关键 二、解答题1515.已知VABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c，且sin(A B) sinC 1. .(1) 求sin AcosB的值；(2)

14、 若a 2b，求sin A的值. .【答案】(1 1)1； (2 2)一22 2【解析】(1 1)1 sin(A B) sinC sin(A B) sin(A B)，展开化简得到答案. .1(2 2)根据正弦定理si nA 2si n B,si n2B ,根据角度范围得到B，计算得212到答案 【详解】(1)因为ABC，所以sin(A B) sinC,故sin AcosB 2sin BcosB sin2B且sin A 2sin B, 1，所以sin B,12，又易得 a a b b，从而A B，故B%，即2B0,，所以2B -,即B3612、6 、2此时si nA 2s in2sin 2 si

15、n coscos sin124646462【点睛】从而1 si n(A B) sinCsin (A B) sin(A B)(sin A cos B cos Asin B)(sin AcosB cos As in B)2sin AcosB,故sin AcosB(2(2)由a 2b及正弦定理得,sin A 2sin B,1第1212页共 2121 页本题考查了正弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力 1616.如图，在直三棱柱ABC ABQ中，ABC 90,AB AAi,M ,N分别为ACAC, BQBQ 的中点. .(1) 求证：MN /平面ABB,A,；(2) 求证：AN

16、AiB. .【答案】(1 1)见解析(2 2)见解析【解析】(1 1 )取AB的中点P，连接PM ,PB!，通过中位线定理求证四边形PMNB!是平行四边形，进而求证；(2 2)连接AB1,设法证明AB AB1,A1B EG，进而证明A1B平面AN,求得A1B AN. .【详解】解：(1 1)如图，取AB的中点P，连接PM , PB1,Q M ,P分别是AC,AB的中点,BC/BQBC/BQ!,BC B1C1,Q N是B1C1的中点，/.PM，且PM /B1N,二四边形PMNB1是平行四边形，MN /PB1,而MN平面ABB1A,PB1平面ABB1A1,PM /BC，且PM -BC，在直三棱柱2

17、ABCA1BtG中,第 ioio 页共 2i2i 页MN /平面ABB*. .（2）如图，连接ABi，由ABC A1B1C1是直三棱柱,B1C1BB1,B1C1A-iB,BB11 B1A B-i,BCi平面AiBiBA,BiCiAB,又AN平面ABiCi,AiB AN本题考查线面平行，线线垂直的证明，属于中档题F（i,0），并且点i,#在椭圆上. .x 2上的任意一点，记QA , QB,QP的斜率分别为ki, k?,ko若kik?2ko,求m的值. .【答案】（i i）ABC 90,AB AA可知,又Q侧面AiBiBA为正方形，AiB ABi,ABiBiCiBi,AiB平面ABiCi,i7i7

18、.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2b-i(a b0）的右焦点为设斜率为k（k为常数）的直线I与椭圆交于A,B两点，交x轴于点P(m,0)P(m,0) ,Q为直线【点(2)第 ioio 页共 2i2i 页【解析】 （i i）占八、 、i，在此椭圆上，根据椭圆定义计算得到答案2第1515页共 2121 页(2)直线1：y k(x m)，设A % , B x2,y2,Q 2, y，联立方程得到X1X24mk212k m22，代入式子整理得到1 2k22x1x2(2m) x1x24m 0，解得答案. .【详解】(1(1)因为椭圆 C C 的焦点为F(1,o)，点1守在此椭圆上. .所以2a(

19、1 1)2(1 1)2j o2.2,c 1，所以c 1,a、2, b21，所以椭圆方程为2(2)由已知直线1: yk(xm)，设A xi, yi，B X2,y2，Q 2,yo，y由x2k(xm),得11,2k2 2 2 2x 4mk x 2k m 2 o. .所以4mk2因为k1X22k2m222k2y1X1yo2,k2y2X2k22ko，y1所以上x12yoy2yoX222 yo2 m，整理得2kkm yo1x-i21x22因为点Q 2,yo不在直线I上,所以2kkm yo1x121x22o，整理得2x1x2(2 m) x1x24m 0，4mk21 2k2，%x22 2m22代入上式解得m

20、1，1 2k2所以m 1. .【点睛】本题考查了椭圆方程,椭圆中斜率的关系求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力 第1616页共 2121 页第1717页共 2121 页1818 .如图，PQPQ 为某公园的一条道路，一半径为 2020 米的圆形观赏鱼塘与 PQPQ 相切，记其 圆心为 0 0,切点为 G G .为参观方便，现新修建两条道路 CACA、CBCB，分别与圆 0 0 相切于 D D、E E 两点，同时与 PQPQ 分别交于 A A、B B 两点，其中 C C、0 0、G G 三点共线且满足 CACA = CBCB，记道路 CACA、CBCB 长之和为L.(1 1)设/ AC0

21、AC0 =，求出L关于 的函数关系式L()；设 ABAB = 2x2x 米，求出L关 于 x x 的函数关系式L(x).(2(2)若新建道路每米造价一定，请选择(1 1)中的一个函数关系式，研究并确定如何设【答案】(1 1)L =2 AC40 40Sin其中sin cos新建道路何时造价也最少20 20【解析】(1)(1)根据直角三角形得CO，即得CG20，再根据直角三sinsin角形得AC20 20sin，最后根据L =2AC得结果. .根据三角形相似得sin cosx400 xCAx2，即得结果，(2)(2)选择(1 1),利用导数求最值，即得结果 x 400【详解】在Rt AGC中AC

22、CG cos20 “20sin20 20sin,cossin cos解：(1 1)在Rt CDO中，ACO，所以CO空，所以CG空20sinsin2x3800 x400其中x 20,(2(2 )当$巾 二一1时，L取得最小值,2计使得第1818页共 2121 页设AC y，则在Rt AGC中CGy2x2，由Rt CDO与Rt AGC相似得,CO OD, ,即y2X2 2020，CA AGyxsin cos240 sin3+2sin2140 sin3sin2sin2140 sin 1 sin2sin 12sin cossin cos22sin cos令L=0，得sin5 12令sin一品1当(0

23、,0)时，L0,所以L递减；02当(,)时，L0，所以L递增，所以当45sin =1时，L取得22最小值，新建道路何时造价也最少【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f (x) 0或f (x) 0求单调区间;第二步：解f (x) 0得两个根 x,Xx,X2;第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步： 求极值；第五步：比较极值同端点值的大小.1919.设f(x) aexa,g(x) ax x2( (a为与自变量x无关的正实数).).(1 1)证明：函数 f f (x)(x)与g(x)的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公 切线;所以L=2 AC404伽，其中sin cos

24、x y2x220 x+y，即x y x20 x+y即x 400 x+y，化简得CAy，Lx=2CAx240032x 800 x2x400其中x 20,(2)选择(1 1)中的第一个函数关系式=2 AC4040sin止匚研sin cossin cos40 cos sin cos 1 sin22cossin340 sin +sin cos20 x20y，即sincos2第1919页共 2121 页(2)是否存在实数k，使得f (x)ain xaxk11对任意的x,恒成立，若x2存在，求出k的取值范围，否则说明理由【答案】(1 1)证明见解析 ( 2 2)存在ke吟，理由见解析.【解析】(1 1)计

25、算f(0)ae0a0,g(0)0,再计算 0(0,0)0(0,0)处的切线得到答案 (2(2)假设存在，存在实数k使得k1x In x x对任意的x 恒成立,h(x) exxln x x, x12,，求导得到单调区间，计算最值得到答案【详解】(1)因为f (0)0ae a0,g(0)所以f (x) aexa,g(x)ax x2的图像存在一个公共的定点0(0,0)0(0,0). .因为 f f (x)(x) aeaex，g (x) a2x，所以f (0)a， g g (0)(0) a a ，所以在定点 0(0,0)0(0,0)处有一条公切线，为直线yax(2(2)假设存在实数k，使得f (x)

26、ain x axk对任意的xx恒成立,即存在实数k使得xln xx对任意的恒成立. .令h(x)xln xx, x则h (x)In x2,x12,令m(x)In x2,x，则m(x)xex1xx因为xx0,ex,y12,上单调递增,所以yxex在x12,上单调递增,第2020页共 2121 页11因为12e22e i -2 2所以h (x)在xo处取得最小值12 ，【点睛】 本题考查了公切线问题，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力 2020 .定义：对于一个项数为m m2,m N的数列an，若存在k使得数列an的前k项和与剩下项的和相等( (若仅为 1 1 项，则和为该项本身)

27、)，我们称该数列是 等和数列”例如：因为3 2 1，所以数列 3 3，2 2，1 1 是 等和数列”请解答以下 问题:(1(1)判断数列 2 2,4, 6 6,8是否是 等和数列”，请说明理由;(2(2)已知等差数列an共有r项( (r-3，且r为奇数) ),a1所以存在唯一实数X。，使得x0ex00，即 卩m x。0，且 x xe ex,h x0ex0In x0ex0lneXox0e0 x1e2所以h(x)xln x上单调递增,因为k exxln xx对任意的x恒成立，所以k故存在k使得2f(x)axakln x 1对任意x12恒成0,1 e110，所以h(x)足nSn1(n 1)Snn(n

28、 1)(n, r1). .判断an是不是 等和数列”，并证明你的结(3)bn是公比为qN ,m3的等比数列 0 ,其中q 2 判断 0是不是等和数列”，并证明你的结论1,an的前n项和Sn满第2121页共 2121 页【答案】(J数列2,4, 6 6,8是等和数列”理由见解析(2 2)an不是等和数列”证明见解析 ( 3 3)bn不是 等和数列”证明见解析 【解析】(1 1)直接根据定义得到答案 S S S S2(2) 化简得到-1 1，计算Snn，假设存在k使得数列an的前k项和与剩n n 1 1 n n下项的和相等，2k2r2，根据奇偶性得出矛盾 (3) 设Bn为bn的前n项和，假设bn是

29、等和数列”化简得到2qk1 qm，计算2qk1 qm，得出矛盾 【详解】(1)T2( 4)6( 8)，数列 2 2，4，6 6，8是等和数列”.(2)由nSn 1(n 1)Snn(n1),n N，两边除以n(n1)，得n1，n 1 n即鱼！1 1，所以数列违为等差数列且1，1 n 1 n，n n 1 1 n nn1n2所以Snn，假设存在k使得数列an的前k项和与剩下项的和相等，即SkSrSk，所以2SkSr- 2k?在中，因为r为奇数，所以等式的右边一定是奇数；而等式的左边2k2一定是偶数,所以不可能有解，从而假设错误，an不是 等和数列(3)设Bn为bn的前n项和，假设bn是等和数列则存在

30、k N且k m，使得BkBmBk成立，即2BkBm，因为q2，所以2qk1 2qk, qk 1，又m k，即m k 1，所以qk【qm，所以2qk1 qm，与2qk1 qm产生矛盾所以假设不成立，即bn不是等和数列”【点睛】 本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的对于数列公式方法的综合应用于是2R 1 qkb1 1 q成立，即2qk11 q第2222页共 2121 页12121 .在平面直角坐标系xOy中，直线x y 20在矩阵Ab下得到的直线仍为x y 20，求矩阵A. .【答案】a对应的变换作用2【解设P(x, y)是直线x y 20上任意一点,根据题意变换得到直线x aybx 2y0

31、，对比得到答案 【详设P(x,y)是直线y 20上任意一点,a其在矩阵Ab对应的变换下得到1 a xb 2 yx aybx2y仍在直线上,所以得xay bx2y 20，与x y 20比较得1，解得b 0,1a 1【点本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力和应用能力2222 .如图，在三棱锥D ABC中，DA平面ABC,CAB90，且AC AD 1，AB 2，E为BD的中点.(1)求异面直线AE与BC所成角的余弦值;(2)求二面角A CE B的余弦值.【答(1(1)4(2 2)5【解(1(1)以A为坐标原uuvA xyz. .AE1uuv，1,1，BC1,2,0，第2323页共 2121 页

32、利用向量夹角公式即可得到结果;第2424页共 2121 页(2 2)求出平面ACE与平面BCE的法向量，代入公式即可得到结果 【详解】因为DA平面ABC，CAB 90，所以可以以A为坐标原点，建立如图所示的空所以A 0,0,0，C 1,0,0，B 0,2,0，D 0,0,1，因为点E为线段BD的中点, 所以E 0,1,24所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为一. .5(2)设平面ACE的法向量为n x, y, z,iuuvuuv1因为AC 1,0,0,AE 0,1-,2所以n,0,1, 2是平面ACE的一个法向量.设平面BCE的法向量为 压x, y, z,uuuvuuv1因为BC1,2,0，

33、BE0, quuu/uu/所以rbBC 0，n2BE 0，LUU/(1)AE1uuv,巧，BC 1,2,，所以uuv uuuzcos AE, BCuuv所以n,ACuuv0,n AE 0，即x0，取y1，得x 0,z间直角坐标系A xyz. .uuvuuv45，第2525页共 2121 页1即X 2y 0且y z 0，取y 1，得X 2,z 2,2所以n2,1,2是平面BCE的一个法向量.由图可知二面角为钝角，所以二面角A CE B的余弦值为 丄5. .5【点睛】所以cos n1, rtnir2位置，得到不同的新数列 由此产生的不同新数列的个数记为R （k）. .(1)求巳;(2)4求P4(k

34、)；k 0(3)n证明kPn(k)k 01nPn 1(k)，并求出kPn(k)的值. .0k 0【答案】 （1 1）3 3 ；( 2 2) 2424； （3 3）证明见详解，n!；【解析】（1 1）直接列举求解;(2)P4(4)1,P4(3) 0,2巳(2) C4P2(0)6 116,巳。4巳(0)4 28,巳(0) A4P4(1P4（3）巳（4）9，其实4P4kk 0A4；（3 3） 由关系式Pnkk、CnPnk0，结合kCnknC；，可证得1Pn 1k,0进而通过构造nkPn0k的递推关系式求通项或者直接有第2626页共 2121 页空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1 1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系;（2 2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3 3）