线代试题与答案

1、天津工业大学（20112012 学年第2学期） 线性代数模拟试卷(2012.6理学院)一、 填空1、 设为3阶方阵，为其伴随矩阵，且，则 解：2、 设为3阶方阵， ，则解： 3、 设矩阵则， 则 解：， 4、 设矩阵则， 则 解：， 5、 已知3维向量, 且行列式=,则行列式= ;向量组, 的秩= ;答案：6、 已知3维向量, 且行列式=,则行列式= ;向量组, 的秩= ;答案：7、 阶矩阵有特征值，则的特征值为 ， .解： ，8、 阶矩阵的特征值为，则的特征值为 ， 答案：，9、 若阶矩阵有特征值，则的特征值为 ,矩阵的行列式 答案：，10、 设矩阵为正交矩阵，则 ， .答案：11、 当 时

2、， 答案： 12、 设是的基础解系，为的一个解向量，则 ，向量组 必线性 ；答案：，无关13、 设是的基础解系，为的个列向量，若，则方程组的通解为 答案：，其中为任意常数14、设阶矩阵的各行元素之和均为零，且则的通解为 答案： ， （）15、设为四阶方阵, 且秩(A) = 2, 则齐次线性方程组A*x = 0(A*是A的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为_.解. 因为矩阵A的秩, 所以, A*x = 0的基础解系所含解向量的个数为40 = 4.16、设a1, a2, as是非齐次线性方程组的解, 若C1a1 + C2a2 + + Csas也是的一个解, 则C1 + C2 + + Cs

3、= _.解. 因为(C1a1 + C2a2 + + Csas), 所以, . 二、 计算行列式1、 解：2、计算解答：3、 提示：含零元素较多的两条线行列式，可按行（列）展开.解：按第一列展开得 三、抽象矩阵求逆1、 证明：可逆，并求答案： ，2、已知矩阵满足，证明：（1）可逆，并求（2）可逆，并求（3）可逆，并求（2）可逆，并求解答：易有，所以，所以，所以，所以，所以四、解矩阵方程1、,且，求.解： 存在 等式两边同时右乘，则原式变形为 即 2、且，求.解： 存在 等式两边同时右乘，左乘则原式变形为 即 注：不易求，但却容易求。3、已知矩阵的伴随矩阵，且，求.解：等式两边同时右乘，左乘则原式

4、变形为 即 五、求向量组，的秩及其最大无关组，将其余向量用该最大无关组线性表示.解：对以为列构成的矩阵进行行初等变换，得 所以，为该向量组的极大无关组，且六、求线性方程组的通解取何值时，线性方程组 无解？有唯一解？有无穷解？并写出通解.解：当即且时，方程组有唯一解当时，或，方程组无解，方程组有无穷解通解为：七、设有二次型（1）写出二次型的矩阵表达式。（2）求一个正交变换，使二次型在正交变换下化成的标准形，并写出标准形解：（1）二次型的矩阵形式为（2）所以的特征值为，可求得对应的特征向量分别为：对应的特征向量为，对应的特征向量为将正交化并规范化得则正交变换阵为，化原二次型为.八、特征值与特征向量

5、1、设为三阶实对称矩阵，且满足， 已知向量, ,是对应特征值的特征向量，求，其中为自然数。t解： 由得，故有特征值又对应特征值的特征向量有两个，故特征值为 对应，可求得特征向量，所以 2、设矩阵，求的特征值与特征向量，其中为的伴随矩阵，为3阶单位矩阵.分析 ：可先求出，进而确定及，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出的特征值与特征向量，再相应地确定的特征值与特征向量，最终根据与相似求出其特征值与特征向量.解法一：经计算可得 ， 从而 ，故的特征值为当时，解，得线性无关的特征向量为，所以属于特征值的所有特征向量为，其中是不全为零的任意常数.当时，解，得线性无关的特征向量为，所以属于特征值

6、的所有特征向量为，其中为任意常数.方法二：设的特征值为，对应特征向量为，即 . 由于，所以 又因 ，故有 .于是有 ，因此，为的特征值，对应的特征向量为.由于，故的特征值为当时，对应的线性无关特征向量可取为， 当时，对应的一个特征向量为由 ，得，.因此，的三个特征值分别为9，9，3.对应于特征值9的全部特征向量为，其中是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为，其中是不为零的任意常数.注： 设，若是的特征值，对应特征向量为，则与有相同的特征值，但对应特征向量不同，对应特征值的特征向量为.3、（2011研）A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且求（1）A的特征值与特征向量 （2） 矩阵A答

7、案：（1）A的特征值为，所对应的特征向量为，因为A的秩为2，所以A 的另外一个特征值为，又因为A为3阶实对称矩阵，其特征向量两两正交，所以特征值为对应的特征向量为（2）4、设三阶对称矩阵的特征向量值，是的属于的一个特征向量，记，其中为3阶单位矩阵. （I）验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量；（II）求矩阵. 【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质. 【详解】（I）， 则是矩阵的属于2的特征向量. 同理可得 ，. 所以的全部特征值为2，1，1 设的属于1的特征向量为，显然为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得. 即 ，解方程组可得的属于1的特征向量

8、 ，其中为不全为零的任意常数. 由前可知的属于2的特征向量为 ，其中不为零.（II）令，由（）可得，则 .【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为的形式. 请记住以下结论：（1）设是方阵的特征值，则分别有特征值 可逆），且对应的特征向量是相同的. （2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的5、设矩阵，求B+2E的特征值与特征向量，其中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.【分析】 可先求出，进而确定及B+2E，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值与特征向量，最终根据

9、B+2E与A*+2E相似求出其特征值与特征向量.【详解】 方法一：经计算可得 ， ， =.从而 ，故B+2E的特征值为当时，解，得线性无关的特征向量为 所以属于特征值的所有特征向量为 ，其中是不全为零的任意常数.当时，解，得线性无关的特征向量为 ，所以属于特征值的所有特征向量为，其中为任意常数.方法二：设A的特征值为，对应特征向量为，即 . 由于，所以 又因 ，故有 于是有 ， 因此，为B+2E的特征值，对应的特征向量为由于 ，故A的特征值为当时，对应的线性无关特征向量可取为， 当时，对应的一个特征向量为 由 ，得，.因此，B+2E的三个特征值分别为9，9，3.对应于特征值9的全部特征向量为 ，其中是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为 ，其中是不为零的任意常数.【评注】 设，若是A的特征值，对应特征向量为，则B与A有相同的特征值，但对应特征向量不同，B对应特征值的特征向量为九、设是非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明： 线性无关 线性无关.证明： 方法一：用线性无关的定义证明 设有，使得 将此式左乘得： 即： 由于： 可知： 带入式得： 由于是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故有 所以可知：线性无关