2019届辽宁省沈阳市高三教学质量监测(三)数学(文)试题(解析版)

1、第1页共 18 页2019届辽宁省沈阳市高三教学质量监测(三)数学(文)试一、单选题1 已知i为虚数单位，则i i2f | i2019等于()A iB.1C -iD. -1【答案】D【解析】利用r(n N”)的周期求解.【详解】由于i i2i3i4二i一1 i 1=0,且in( n N )的周期为 4,2019=4 504+3,所以原式=i i2i3=i _1 _i - _1.故选：D【点睛】本题主要考查复数的计算和in( nN )的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力2 已知集合A二(x, y)|x y 2,x, * N，则A中元素的个数为()A 1B. 5C 6D .

2、无数个【答案】C【解析】直接列举求出 A 和 A 中元素的个数得解.【详解】由题得A二(0,0),(0,1),(0,2),(1 ,0),(1,1),(2,0),所以 A 中元素的个数为 6.故选：C【点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理第2页共 18 页能力3.工”是直线I：y二k(x2)与圆x2y1相切”的( ).3A 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先化简直线I：y =k(x 2)与圆x2y1相切，再利用充分必要条件的定义 判断得解.【详解】因为直线I : y =k(x 2)与圆x2y1相切

3、，所以2k|_=l, k二Tkr3所以 k- ”是直线I：y二k(x 2)与圆x2y2=1相切”的充分不必要条件.3故选：A【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系和充分不必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力4若非零向量a,b满足|a |b|,(2a b) b = 0，则l,b的夹角为( )5 二2:A B.C D 6363【答案】D【解析】直接利用数量积的运算法则化简已知即得解【详解】2呻24呻彳2由题得2a b+b =0,2b cos：a,b b 0，1 2二所以cos：a,b, : a,b.23故选：D【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量的夹角的求法，意在考

4、查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力5.已知数列Sn是等差数列，且818482，则tan(a3 85)的值为().第3页共 18 页【答案】C第 3 页共 18 页【答案】A【解析】 试题分析：a-ia4- a7=2 ,所以2兀4兀4兀厂3a4= 2二，a4,a3a5= 2a4, tan（a3a5） = tan3333【考点】1、等差数列；2、三角函数求值.6 .若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4 4 二，侧棱长为（）.A .仝B.23C.22D.辽3333【答案】B【解析】 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为正方体的外接球, 求出正方体

5、的对角线的长，即可求出其侧棱长.【详解】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，因为外接球的表面积是4-,所以球的半径为1,所以正方体的对角线的长为2,设侧棱长为a,则J a? + a? * a? =a = 2 = 3 ”3.所以侧棱长为 故选：B.【点睛】本题主要考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，推理能力，解题的关 键就是将三棱锥扩展成正方体，属于中档题.7 .九章算术中有如下问题：今有勾五步，股一二步，问勾中容圆，径几何？其大意：已知直角三角形两直角边分别为5 步和 12 步，问其内切圆的直径为多少步?现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落

6、在其内切岗外的概率是（）.AB. 一C. - D .15201515则其第5页共 18 页【解析】 求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案.【详解】直角三角形的斜边长为-二-，设内切圆的半径为厂_ 一 _二I，解得；F L.内切圆的面积为,2 7i豆子落在内切圆外部的概率二亠一 二亠l，JX5XK 15本题主要考查了几何概型的概率计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18 .已知函数f (x)二x-2x 1 exx，其中e是自然对数的底数若ef(a -1) f2a2乞2，则实数a的取值范围是().-1,1一2【答案】C1【解析】 令 g(x) =f(x) -

7、1 =x3-2x exx,xR.判断其奇偶性单调性即可得出.e【详解】1令 g(x) =f (x) -1 =x3-2x exx,xR.e则g(-x) -g(x),g(x)在R上为奇函数.1故选:【点第6页共 18 页g (x) =3x2-2 exx0 2 _2 =0 ,e，-函数g(x)在R上单调递增.第7页共 18 页f(a -1) f(2a2), 2，化为：f(a1)1 f(2a2) -1, 0,即g(a -1) g(2a2), 0，化为：g(2a2), g(a _1)=g(1 a),2 “.2a , 1a ,即 2a2a -1, 0 ,1 解得-1 剟 Ja .2.实数a的取值范围是-1

8、,-.2故选：C.【点睛】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.9.如图，在正四棱柱ABCD AB1C1D1,中，底面边长为 2,直线 CC1与平面ACD1所成角的正弦值为1，则正四棱柱的高为（）.3A. 2B. 3【答案】C【解析】 建立空间坐标系，设棱柱高为a，求出平面ACD1的法向量n,令 I cos ：n ,1CC1| = 3 求出a的值.3【详以D为原点，以DA,DC,DD1为坐标轴建立空间坐标系如图所示,设 DDa ,则A(2, 0,0),C(0, 2,0), DO , 0, a),则 AC =(-2

9、 , 2,0),AD(-2 , 0,a),CC(00,a),I *hI I第8页共 18 页1T直线 CCi与平面ACD!所成角的正弦值为 -，31.一2，解得：a = 4.2a243本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题.10已知函数f(x)=Asin(x)ex(A0/0,0v ：:v二)的图象如图所示，则由f(1)= f(3)= 0可得可取一.2【详解】设平面ACDi的法向量为 A =(x ,2x 2八0，令xj可得n=(i,-2x +az =01，-)，aA CCi故 cos：n ,CCi2|n |CCi|a,4227 .|n |CCi|兀A.2【答案】BB.【解析】根据函数图象的

10、对称性得函数为偶函数,可得，由f 0) 2可得A =2,2y,z)，则故选：C.【点睛】第9页共 18 页7 f (x)的图象关于y轴对称， f (x)为偶函数,JI”:”9=丘兀+kwZ2 7 o八:：:二， 22，.f(x)二Acos恥川,.f(0) =A =2 ,JC.cos . =cos3 . =0，取 =，贝 y A；.-：=二.故选：B .【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力ii.设 rb 也杏丛町， -，二;y：，则 n 的大小关系是（）A .规泌加 B.饭加淀 C .处心矗 D .慌沁【答案】C【解析】

11、先确定，然后将:可希利用对数的运算，求得：F:0）的焦点为F，且F到准线I的距离为 2，直线h: x-my - 5 =0与抛物线C交于P,Q两点（点P在x轴上方），与准线I交于点R,若QF =3，则（）.SRF5369A B.C D 7777【答案】C【解析】设P（Xi, yi）,Q（X2,y2），易知%0, y?= Ia【答案】Ia【解析】由线面平行的性质和判断可得 ；由线面平行的判定定理可得 ；由线面垂直 的性质和线面平行的判断可得【详解】1 / m,m/ /: = I / /:或|二：乂，由I : = I /:；2I q o(,mua ,| /m= I /a ；3I.1m, m .I /

12、kz或I二 x，由 I:=T /.故答案为：I :-.【点睛】本题考查空间线线、线面的位置关系，考查线面平行的判定，考查推理能力，属于基础题.2 215.若双曲线C:笃-占=1(a 0,b 0)的一条渐近线被圆x2(y 2)2= 4所截得a b的弦长为 2,双曲线C的离心率为 _.【答案】-32 2X y【解析】求出双曲线C：r2=1(a0,b 0)的一条渐近线方程，利用被圆截得的弦a b长为 2，列出关系式，然后求解双曲线C的离心率.【详解】2 2双曲线c：笃-書=1(a 0,b 0)的一条渐近线bx ay =0被圆x2(y 2)4所截a b得的弦长为 2,本题正确结果:25Ji4第13页共

13、 18 页故答案为：乙3.3【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查双曲线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查.16 .数列：an的前n项和为Sn，且 Sn=2n-1，则数列g =2-7a. 6的最小值为【答案】-6【解析】由已知求得an= 2n-1，再由配方法求数列bn二a；-7an的最小值.【详解】 由 Sn =2-1，得al=Si二1,当n2时，an二=2n1-2心1 =2n,ai=1适合上式,则 bn二 a：-7 务 6 =(务 -7)2-仝.24725-当an=4时(bn)min= (4)26 .24故答案为：-6.【点睛】本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项

14、公式，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题.三、解答题17 某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了 100 位客户的数据，并将这100 个数据按学时数，客户性别等进行统计，整理得到如表；学时数5, 10)10,15)15, 20)20, 25)25, 30)30, 35)35,40)男性1812996422 a可得 4-(.口)2/，解得 4冷,2.33第14页共 18 页女性24827134(1) 根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位)；(2) 从这 100 位客户中，对购买该课程学时数在 20 以下的女性客户

15、按照分层抽样的方 式随机抽取 7 人，再从这 7 人中随机抽取 2 人，求这 2 人购买的学时数都不低于 15 的 概率.(3)将购买该课程达到 25 学时及以上者视为 十分爱好该课程者”，25 学时以下者视， 为非十分爱好该课程者”请根据已知条件完成以下2 2列联表，并判断是否有 99. 9% 的把握认为 十分爱好该课程者”与性别有关？非十分爱好该课程者十分爱好该课程者合计男性女性合计10022n(ad -be).附：K,n = a bed(a +b)(c+d)(a +c)(b+d)P(K2比)0.1000.0500.0250.0100.001ko2.7063.8415.0246.63510

16、.8282【答案】(1)平均值为16.92. (2)(3)见解析7【解析】1根据平均数的公式进行计算即可；2利用分层抽样的方法，利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可；3完成2 2列联表，计算K2的值，利用独立性检验的性质进行判断即可.【详解】1由题意知，在 100 位购买该课程的客户中，男性客户购买该课程学时数的平均值为第15页共 18 页1x 7.5 18 12.5 12 17.5 9 22.5 9 27.5 6 32.5 4 37.5 2 : 16.92;所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为16.92.2设 所抽取的 2 人购买的学时数都不低于15 为事件 A，依题意按照分层

17、抽样的方式分別在学时数为15,10，110,15，115,20的女性客户中抽取 1 人（设为a），2 人（设为 A,B）4 人，（设为G，C2，C3，C4），从 7 人中随机抽取 2 人所包含的基木事件为:aA，aB，a，ac?，aQ，ac4，AB，Aq，Ac?，AC3，AC4，Bq，Be?，BC3，其中事件 A 所包含的基本事件为：C1C2，C1C3，GC4，C2C3，C2C4，C3C4，共 6 个,则事件 A 发生的概率p =.2173依题意得2 2列联表如下非十分爱好该课程者十分爱好该课程者合计男性481260女性162440合计6436100n(ad -be)2100(48 24 -1

18、6 12)2=-&16.667 a 10.828.a b C d a C b d 64 36 60 40故有99.9%6的把握认为十分爱好该课程者”与性別有关.【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键.考查学生的计算能力对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可18 .如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，侧面PAB底BC4，C1C2，C1C3，C1C4，C2C3，C2C4，C3C4，共 21 种,第16页共 18 页面ABCD,E为PC上的点，且BE_

19、平面APCD（1） 求证：平面PAD_平面PBC;（2）求三棱锥P-ABC体积的最大值；2【答案】（1）见证明；（2）3【解析】（1）由BE_平面APC可得AP _ BE，由BC_平面APB可得AP _ BC，故而AP_平面PBC，于是平面PAD _平面PBC；（2）代入体积公式可知1VPABC二 Vc公PB =3PA|_PB，根据基本不等式求出PAPB的最大值即可.3【详解】证明：侧面PAB_底面ABCD，侧面PABp|底面ABCD二AB,四边形ABCD为正方形， BC _ AB,BC面ABCD, BC_ 面PAB,又AP面PAB,AP _ BC,BE_ 平面APC,AP面PAC,-AP _

20、 BE,BC BE二B,BC,BE平面PBC,-AP_ 面PBC,AP面PAD,-平面PAD_平面PBC1 11（2）VP/BC二VC*BW 1 PA PB BC=1 PA PB,3 23求三棱锥P-ABC体积的最大值，只需求PA PB的最大值.第17页共 18 页令PA =x, PB = y，由（1）知，PA_ PB,x y 4,334第18页共 18 页丿丿22小11 xy2xy 0)极坐标方程化为直角坐标方程y2=2ax(a0);利用加：sin幻-2acos(a 0),过点P(-2, -4)的直线l的参数方程为x2t2|运y = -4 tI. 2(tIn x +1又因为 时，h(x)0恒

21、成立，于是函数h(x)的图像如图所示要使g(x)有两个不同的极值点，则需0二：“.1,即a的取值范围为0,1.第22页共 18 页x - -2亠利用直线参数方程几何意义，将直线 I 的参数方程代入 C 的直角坐标方程所得关于参数t的方程，其中 |PM|= |ti|,|PN|= |t2|, |MN| = |ti-12|.再根据PM , MN , PN成等比数列列等量关系解得 a= 1.试题解析：(I)曲线 C 的直角坐标方程为 y2= 2ax (a 0)；直线 I 的普通方程为 x- y - 2 = 0.4 分(n)将直线 I 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立，得 t2- 2 (4+ a)2t + 8 (4+ a)=0() = 8a (4 + a) 0.设点 M , N 分别对应参数 ti, t2，恰为上述方程的根贝U|PM| = |t