第二章渗流理论

1、第二章 地下水在岩土介质中的渗流 杭州地区粉砂土中基坑降水面的数值模拟第二章 地下水在岩土介质中的渗流水在岩土等孔隙或裂隙介质中的流动就称为渗流，其流动性质取决于作为渗流骨架的岩土性质以及其中流动的水的性质。2.1 地下水渗流模拟技术发展概况19世纪中叶至2O世纪初，地下水流模拟研究刚刚起步，经历了从单层稳定流模型发展到多层越流非稳定流模型，但直到2O世纪5O年代末，对含水层内部结构和不规则边界条件的研究仍无明显进展。60年代以来，数值计算方法在水文地质学中的应用及电子计算机技术的广泛使用，使复杂含水层系统中地下水流动及溶质运移的模拟成为可能，此阶段是地下水流数值模型迅速发展的时期，先后出现了

2、二维流平面(削面)模型、准三维流模型、三维流模型和耦合模型等。国外90年代做的几个模型，例如RBravo(美国)等做的休斯敦模型，ARJvera(法国)等做的墨西哥城模型，GGambolati(意大利)做的拉温纳区域地下水流模型，都属于三维流模型或准三维模型”。我国地下水数值模型研究起步较晚，开始于2O世纪7O年代，但经过数学工作者和水文地质工作者以及科研院所的共同努力，现已取得了长足发展。渗流计算是在已知定解条件下解渗流基本方程，以求得渗流场水头分布和渗流量等渗流要素，是工程设计的重要内容，本论文主要关注的是渗流场内水头的分布，也就是地下水自由水面的分布情况。由于无压渗流有渗流自由面（浸湿线

3、），且非稳定渗流自由面随基坑地下水位的降低而变动，加之一般渗流场有不同程度的非均质性和各向异性，几何形状和边界条件较复杂，解析求解在数学上带来了不少困难，仅能对一些简单的流动情况获得解析解。虽然有人提出了很多近似解，但由于实际情况的特殊性，应用上仍受一定条件的限制，实际工程往往借助模拟试验求解。随着计算机的普及和数值计算方法的发展，特别是有限单元法提出后，推进了渗流数学模型的发展，为渗流计算提供了有效的方法。2.2 渗流基本方程和定解条件2.2.1 渗流运动方程地下水运动方程可由作用到液体上各力的平衡求得，这些力包括有液体表面的水压力、重力、渗流受到的阻力、加速力，这些力可概括为表面力和体积力

4、两个类别。推导过程与一般流体力学中的运动方程相同，可以直接引用一般流体运动方程，只要把水质点运动速度当作多孔介质中孔隙水流运动速度，再按照孔隙水流真实速度与全断面上平均渗流速度的关系（）转换为即可。对于不可压缩流体，纳维-司托克斯方程为：(2-1)(2-2)(2-3)上式可写为向量式：(2-4)上式表明了质量力、流体压力、流动阻力与加速度力的平衡关系，是描述能量守恒的运动方程。当粘滞性等于零时，最后一项消去，变为理想流体运动的欧拉方程。对于多孔介质中的渗流，可把上式中的水质点真实流速改换为全断面平均流速除以孔隙率n得到相应的运动方程：(2-5)由于，将其求导并展开得到：(2-6)渗流速度及其在

5、各座标方向的导数很小，可以略去，则得到：(2-7)上式中的单位质量力f，只有一个沿z方向向下的重力，且因，上式变为：(2-8)式（2-7）中的最后一项在流体力学中相当于牛顿粘滞性液体的内部摩擦力，而在渗流中则应为液体对土颗粒表面的摩擦力，液体质点之间的摩擦力相对很小却可以忽略。因此可以引用达西定律表示该项仅有的阻力，对于单位质量液体来说，渗流阻力应为沿流程S单位长度的能量损失，即：(2-9)代入式（2-8）则可得不可压缩流体在不变形多孔介质中的纳维-司托克斯方程：(2-10)上式一般被称为地下水运动方程。如果是不随时间改变的稳定渗流，上式就简化为重力和阻力控制的达西流动，即：(2-11)运动方

6、程式（2-10）中包括有两个未知数和h，故仍需另一个方程才能求解，它就是下面要介绍的连续方程式。应用这两个基本方程，结合边界和初始条件，就可以计算流速和水头。2.2.2 连续性方程图 2-1 微单元体各面上进出流量示意图地下水运动的连续性方程，可从质量守恒原理出发来考虑可压缩土体的渗流加以引证，即渗流场中水在某一单元体内的增减速率等于进出该单元体流量速率之差。如图（2-1）的微分单元体体积dxdydz，通过左面流进水体质量的速率为，通过右面流出水体质量的速率为，则左右面流出质量之差，即净有的流入量或积累量为。同样对于前后面和上下面作流进流出的流入量计算，最后累加各净有流入量，则得单元体内总的进

7、行流量为：(2-12)将上式括号内的展开得到：(2-13)式中后一括号项与前一括号项相比较甚小，可以略去，故式（2-12）可以写为：(2-14)上式即为水体质量在单元体内积累的速率，根据质量守恒原理，它应等于单元体内水体质量M随时间的变化速率：(2-15)或者：(2-16)式中n为土体的孔隙率，为水的密度，V为单元体的体积。式（2-16）右边三项代表单元土体骨架颗粒和孔隙体积以及流体密度的改变速率，前两项可表示为颗粒间的有效应力，第三项表示为流体压力。就是说有效应力作用于土体，孔隙水压力p压缩水体，现在把土和水都当作弹性体而考虑压缩性如下：式（2-16）中的第一项表示骨架颗粒本身的压缩变形，引

8、用固相颗粒的压缩性（或称压缩模量）与其体积弹性模量Es之间的倒数关系：(2-17)或：(2-18)如果考虑垂直向的土体变形，而认为侧向受限制，在x、y方向都没有改变时，此时垂直向的总应力为：(2-19)因为任何充水饱和的土，p和是互相消涨的两个分量，组成总应力为一常数，则有：(2-20)故土体的相对变形式（2-18）可写为：或(2-21)式（2-16）中的第二项表示单元土体的孔隙变化，因为土体变形主要是孔隙大小和改变，此时相对于孔隙可认为骨架颗粒本身不可压缩。若设Vs代表骨架颗粒的体积，则有：(2-22)微分后得到：(2-23)(2-24)综合式（2-21）得到：(2-25)式（2-16）中的

9、第三项表示孔隙水的密度变化，同样引用水的压缩性与其弹性模量Ew之间的例数关系：(2-26)或：(2-27)从质量守恒原理，对于体积和压力的不同状态，则要求密度与体积（nV）的乘积不变，即：(2-28)或：(2-29)上式说明水体的相对压缩变形可用其孔隙水的密度相对变化表示，代入式（2-27）可得：或(2-30)将式（2-21）、式（2-25）、式（2-30）的dV、dn、d各表示为时间的导数，代入式（2-16）整理可得：(2-31)因为水头，则有：(2-32)当z认为不随时间改变时，则有：(2-33)代入式（2-31）得：(2-34)由质量守恒原理，式（2-34）应与式（2-14）相等，并因，

10、则得：(2-35)考虑水和土全是不可压缩时，上式变为：(2-36)此式为不可压缩流体在刚体介质中流动的连续性方程，说明在任意点的单位流量或流速的净有改变率等于零，也就是说，单元体中水体质量的净有改变率是零，对于单元体在某一个方向的改变必须与其它方向相反符号的改变相平衡。2.2.3 稳定渗流微分方程式将达西定律：，(2-37)代入式（2-36），则得稳定渗流的微分方程式：(2-38)当各向渗透性为常数时，上式为：(2-39)若为向向同性时，则变为拉普拉斯方程式：(2-40)上式只包括一个未知数，结合边界条件就有定解。计算得到不同点的水头h后，也就得到了潜水的自由面。对于井的渗流问题，常采用柱面坐

11、标系，此时的流速分量为： (2-41) 则拉普拉斯方程变为：(2-42)2.3 非饱和渗流与毛细管作用图2-2 岩土中毛细水层示意图2.3.1 毛细管水带及其渗透性岩土孔隙中的水有多种存在形式，其中毛细管水占有相当多的数量，它既受分子力作用，又受重力作用。在渗流自由面或地下水面以上存在的一层几乎完全饱和的毛细水带，称为毛细管水层，更上则为非饱和区或包气带，如图所示。毛细管升高，可由表面张力与升高水柱重量相平衡求得最大值为： (2-43)式中表面张力，随湿度而减；r毛管半径；水面与管壁的接触角；水容重。土的孔隙错综复杂，对于砂土的毛细管水上升高度可参用下面的经验公式计算：(2-44)式中n孔隙率

12、；有效粒径。由式可见土中毛细管水升高，决定于组成孔隙大小的不同土类，可参考表2-1。对于透水性很小的粘土，其毛管水升高数米的时间需要数年之久，实际上也观察不到。在存在裂隙及团粒结构的粘土中，观察到的毛管水上升高度为23m。 各种土的毛细水升高值 表2-1土类毛管水升高/m土类毛管水升高/m砂0.030.1黄土2.05.0细砂0.10.5粘土5.010.0粉砂0.52.0/对于非饱和渗流问题，毛管水带的高度关系着含水量分布与饱和度，随着也就关系到渗透性。如图（2-3）所示为沿毛管水带高度的含水量分布典型曲线，图中的毛管水高度hc是由地下水自由面算起的，影线部分毛管水高度hco为完全饱和带，更向上

13、为非饱和带，其含水量或饱和度递减，达到最高点时，代表含水量不再改变的吸湿结合水量，即天然持水量，也就是在分子力作用下的水所占扭的孔隙体积与总孔隙体积的比值，有时称为最大分子含水量。非饱和渗流中有水和气体两种流体，属于两相流动问题，各有其不同流动性质。此时的渗透性则均以相对值表示，即与完全饱和时的透水性相对比较。因为气体的流动阻力很小，若主要考虑水流阻力时，可仍用层流时的达西定律表示为：(2-45)式中为某一含水量时非饱和土渗透系数，其值与饱和度与原有吸湿结合水所占有的饱和度有关，可根据阿维里扬诺夫的圆管内流动模拟理论分析，表示成与饱和土渗透系数k对比关系时为：(2-46)因为远远小于1，则可近

14、似写为：(2-47)式中指数m，根据一些试验结果可在34间取值，一般取3.5。图2-3 沿高度的含水量分布 图2-4 相对透水性与饱和度关系图2-5 渗流自由面上下的压力分布图（2-4）表示了典型岩土的相对透水性或透气性与饱和度间的关系，从图中曲线可以看出，当时，相对透水性仅为10%；当时，实际上已不透气。因此在粘土地基中，气体在溶解状态下才能移动，在水渗透时气泡仍将留在粘性土的孔隙中，即使在很大压力作用下气泡也难以排出。地下水面以上的饱和毛管水层受吸力作用而为负压，愈高负压越大，仍呈直线的压力递变，在毛管水层上边界的压力水头应为，如图（2-5）所示。由于毛管水上升的吸力能使土粒间互相压紧，将

15、有利于土坝稳定。所以不考虑毛管水层的稳定分析是偏于安全的。又因毛管水层为饱和渗流且压力递变是连续的，故可认为与其下边界（即地下水面）以下的地下水渗流性质相同，即按照水动力学定律流动或渗透。毛管水层上边界的测压管水头为：(2-48)毛管水层的上边界以上的非饱和区，如有入渗补给，由于非饱和区的渗透性远小于饱和区，故可认为是垂直向下渗漏的。2.3.2 非饱和渗流的微分方程式非饱和土中的渗流支配方程，在各向同性均质情况下应为：(2-49)式中渗透系数； 体积含水量； 孔隙率； 饱和度； 单位贮存量。渗流自由面以上的含水量状态受制于非饱和流动，对于基坑开挖降水来说实际上也受到非饱和渗流的影响。纽曼在1973年提出了同时考虑饱和与非饱和进行数值计算的数学模型。在计算中为方便可改用压头p代替水头h，以体积含水量代替饱和度，并定义单位容水量，则上式可写为： (2-50)式中压力水头p是体积含水量的函数