2020届四川省眉山市高三第三次诊断性考试数学(文)试题(解析版)

1、3 3.X 1”是（log2x 0”的（）第 1 1 页共 2121 页2020 届四川省眉山市高三第三次诊断性考试数学（文）试题一、单选题11 1 已知集合A x|y,B 2, 1,0,1,2,3，则AI B（）Jx 1A A 2, 1,0,1,2B B.0,1,2,3C C 1,2,3D D.2,3【答案】D D【解析】 先求出集合A，再求交集得出结论 【详解】解：由题意得集合A 1,，所以 A A B B 2,32,3 故选：D.D.【点睛】 本小题主要考查函数定义域，交集运算等基础知识；考查运算求解能力，应用意识，属于基础题. .位于（【答案】由共轭复数的定义得到z，通过三角函数值的正

2、负，以及复数的几何意义即得【详解】所以z在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B B【点睛】本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学 运算的能力，属于基础题. .2 2.若i为虚数单位，则复数z sin乙32 -icos的共轭复数z在复平面内对应的点3A A 第一象限B B.第二象限C C.第三象限D D 第四象限【解由题意得.2sin32icos32因为sin一30cos丄00，32，第2 2页共 2121 页从而得出函数解析式【详解】3图中的点，0应对应正弦曲线中的点（，0）,2，解得-故选：B.B.【点睛】A A .充分不必要条件C C 充要条件【答案

3、】C C【解析】【详解】B B 必要不充分条件D D.既不充分也不必要条件Q log2x 0 x 1T是“og2X 0”的充要条件，选 C.C.4 4 .函数f x As in x（其中A 0,02）的图象如图，则此函A A.f x3sin 2x 43sinC C.f x3sin 2x 43si3si7t【答案】B B【解析】由图象的顶点坐标求出A,由周期求出，通过图象经过点手，解：由图象知A 3,T324，则所以-2故函数表达式为3sin第3 3页共 2121 页本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与第4 4页共 2121 页转化思想，数形结合思想，属于

4、基础题. .5 5已知m,n是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是()A A .若m/，n/，则m/nB B.若m/，n，则m/nC C.若m n,m，则n/D D.若m,n/，则m n【答案】 D D【解析】 利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断【详解】解：选项 A A 中直线m,n还可能相交或异面, 选项 B B 中m,n还可能异面，选项 C C,由条件可得n/或n故选：D.D.【点睛】 本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题B B.2【答案】C C过点C时，z z 取得最大值. .【详解】6 6 .已知实数x、

5、y满足约束条件3x1 030，则z 2x y的最大值为(【解析】作出不等式组表示的平面区域,作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)为顶点的三角形及其内部，如当目标函数经过点C 2,3时，z z 取得最大值，最大值为7.7.第5 5页共 2121 页故选：C.【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识，属于中档题. .7 7 已知a,b,c分别是VABC三个内角A,B,C的对边,acosC一3cs in A be，则A()【答案】C C0 A可求A的值. .【详解】 解：由a cosC ,

6、3csi nA b c及正弦定理得sin AcosC . 3s in Csi nA si nB sinC3s in C si nA cos As inC sinC 1 1由于 sinsin C C 0 0 ,所以 sinsin A A. .6 6 2 2又0 A，故A. .3故选：C.C.【点睛】【解析】原式由正弦定理化简得3sinCsinA cosAsinC sinC，由于 sinCsinC因为BA C，所以sin B sin AcosCcosAsin C代入上式化简得第6 6页共 2121 页本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档

7、题 8 8 周易是我国古代典籍，用卦”描述了天地世间万象变化如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（）第7 7页共 2121 页【答案】B B【解析】基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出【详解】解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦,取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑,乾）共6个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个

8、，31所以，所求的概率P. .6 2故选：B.B.【点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题.9.如图，平面四边形ACBD中，AB BC,AB . 3,BC 2,ABD为等边三角形，现将ABD沿AB翻折，使点D移动至点P，且PB BC，则三棱锥P ABC的外接球的表面积为（A A.8B B.6B B.第8 8页共 2121 页3【答案】A A【解析】 将三棱锥P ABC补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心0应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在RtVOBE中，计算半径0B第9 9页共 2121 页即可 【详解】由AB

9、 BC,PB BC，可知 BCBC 丄平面PAB.将三棱锥P ABC补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同.由此易知外接球球心0应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，记 ABP的外心为E，由ABD为等边三角形，BC可得BE 1.又0E1，故在RtVOBE中，0B 2,2此即为外接球半径，从而外接球表面积为8.故选：A A【点睛】 本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学 运算的能力，属于较难题 X21010 .设Fi,F2是双曲线C :a2b21 a 0,b0的左，右焦点，0是坐标原点，过点F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若PFi6 OP，则C的离心

10、率为( )A A . 、2B B. 一3【答案】B B【解析】设过点F2C,0作y2得 x x , y y【详解】解：不妨设过点F2c,0作yC C.2K K-X的垂线，其方程为ya，由PF1x c，联立方J6|OP，列出相应方程，求出离心率KbX的垂线，其方程为yaBC第1010页共 2121 页【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题.1111.函数f xax 2与g xe的图象上存在关于直线y x对称的点，则a的取值范围是()ee2A A .JB B.,C C.,eD D.,e42【答案】C C【解析】由题可知，曲线f xa

11、x2与y Inx有公共点，即方程ax 2 Inx有2In x,2 In x.1 In x八，解，可得a有解，令h x，则h x2，对x分类讨论，xxx得出x1一时，h x取得极大值h1e，也即为最大值，进而得出结论 ee【详解】解：由题可知，曲线f X ax 2与y Inx有公共点，即方程ax 2 Inx有解,11 1则当0 x一时，h x 0；当 x x 一时，h x 0，ee11故x时，h x取得极大值he，也即为最大值，eebyx2由a解得xaacy-x cb由PF1J6|OP|，所以有a2b22c化简得3a2c2，所以离心率e故选： B.B.abab2c aaby y，即P ,c cc

12、c22a4门aa2b2c622，cccc、3.a2 In x亠人，即a有解，令h xx2 Inxx1 In x2，x当x趋近于 0 0 时，h x趋近于，所以a e满足条件.第1111页共 2121 页故选：C.【点睛】第1212页共 2121 页本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题.1212.已知抛物线C : y24x和点D 2,0，直线 x x tyty 2 2 与抛物线C交于不同两点A,B，直线BD与抛物线C交于另一点E给出以下判断：1直线OB与直线OE的斜率乘积为2;2AE /y轴；3以BE为直径的圆与抛物线准

13、线相切 . .其中，所有正确判断的序号是（）A A .B B.C C .D D .【答案】B B【解析】由题意，可设直线DE的方程为x my 2，利用韦达定理判断第一个结论;将 x x tyty 2 2 代入抛物线C的方程可得，yAyi8，从而，yA结论；设F为抛物线C的焦点，以线段BE为直径的圆为M，则圆心M为线段BE的中点.设B,E到准线的距离分别为di,d2,e M的半径为R，点M到准线的距离为d，显然B,E,F三点不共线，进而判断第三个结论【详解】解：由题意，可设直线DE的方程为x my 2,代入抛物线C的方程，有y24my 80.设点B,E的坐标分别为 为， ,x2, y2,则yiy

14、24m,yy 8.y1y2则直线OB与直线OE的斜率乘积为2.所以正确.x1x2将 x x tyty 2 2 代入抛物线C的方程可得，yAy18，从而， *y,根据抛物线的对称性可知，A,E两点关于x轴对称，所以直线AE/y轴.所以正确.如图，设F为抛物线C的焦点，以线段BE为直径的圆为M,y，进而判断第二个所x-ix2myi2 my22m2y1y22m y-iy24 4.第1313页共 2121 页则圆心M为线段BE的中点.设B,E到准线的距离分别为d1,d2, e M的半径为R,第1414页共 2121 页点M到准线的距离为d，显然B,E,F三点不共线，则d口|BF| |EF|竺R所以不正

15、确.22 2故选：B.B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、 直线与抛物线的位置关系等基础知识， 考查运 算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于难题.二、填空题【详解】都答案为：. .【点睛】本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能力，属于基础题.1414 .某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5 5 组，绘制如1313 .已知平面向量am,2,1,3，且b a b，则向量a与b的夹角的大小为【答【解，解得m4，进而求出cos(a,b)，即可得出结果 解：因为(ab),所以1,3m 1,

16、1 m 1 3 0，解得m 4，所以cos：4,21,3守，所以向量a与b的夹角的大小为-第1515页共 2121 页图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组的频数是 8080,则成绩在区间80,100的学生人数是 _ .第1616页共 2121 页oxO-OfW50 rtlOWSOIMJMW【答案】3030【解析】根据频率直方图中数据先计算样本容量，再计算成绩在 8080100100 分的频率，继而得解 【详解】80根据直方图知第二组的频率是0.040 10 0.4，则样本容量是又成绩在 8080100100 分的频率是(0.0100.005)

17、100.15,则成绩在区间80,100的学生人数是200 0.1530故答案为：3030【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生综合分析， 数据处理，数形运算的能力,属于基础题. .1515 .已知sin【答案】10【解析】试题分析：因应填2. .10【考点】三角变换及运用.1616.已知 f(x)f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f (x).若x 0时，f (x) 2x,则不等式f(2x) f (x 1) 3x22x 1的解集是_ .1【答案】1-O.MJ 0.4， 则COS第1717页共 2121 页【解析】构造g(x)f (x)x，先利用定义判断g(x)的奇偶性，再利用导

18、数判断其单调性，转化f(2x)f(x1) 3x22x 1为g(2x) g(x1)，结合奇偶性，单调性求解不等式即可【详解】令g(x)f(x)2x,则g(x)是R上的偶函数，g (x) f (x)2x0，则g(x)在(0,)上递减，于是在(,0)上递增.由f(2x) f (x1) 3x22x 1得f(2x)(2x)2f (x 1)(x 1)2,即g(2x) g(x1),于是g(|2x|) g(|x 1|),则|2x| |x 1|,1解得1 x1.31故答案为：13【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题 三、解答题1717 某商

19、场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了200人进行问卷调查.调查后，就顾客 购物体验”的满意度统计如下：满意不满意男4040女80401是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？2若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了6人发放价值100元的购物第1818页共 2121 页券若在获得了100元购物券的6人中随机抽取2人赠其纪念品，求获得纪念品的2人第1919页共 2121 页中仅有1人是女顾客的概率.附表及公式：K2n ad beabed a e b d2P Kk。0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415

20、.0246.6357.87910.828【答案】1有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关;21550I解析】1由题得K2&窗5.。24，根据数据判断出顾客购物体验的满意度与性别有关;2获得了100元购物券的6人中男顾客有2人，记为A，A；女顾客有4人，记为Bi，B2，B3，B4.从中随机抽取2人，所有基本事件有15个，其中仅有 1 1 人是女顾客的基本事件有8个，进而求出获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率 【详解】解析：122200 40 40 80 4050由题得K25.556 5.024120 80 80 1209所以，有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度

21、与性别有关.2获得了100元购物券的6人中男顾客有2人，记为A,A；女顾客有4人，记为Bi,B2,B3,B4.从中随机抽取2人，所有基本事件有Al, A2,A,B1, A,B2,A,B3,A1, B4,A2, B,A2, B2,A2, B3,A2,B4,B1, B2, B1, B3,B1, B4,B2, B3,B2, B4,B3, B4，共15个.其中仅有 1 1 人是女顾客的基本事件有:A,B1,Al，B2, Al，B3,A1，B4, A2，B1,A2, B2,A2, B3,A2, B4,共8个.所以获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率P -.15第2020页共 2121 页第2121页

22、共 2121 页【点睛】本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识，考查概率统计基本思想以及抽象概括等能力和应用意识，属于中档题.1818 .已知等差数列an满足印1,公差d0,等比数列bn满足biai，b2a2，b3a5.1求数列an,bn的通项公式;2若数列满足？biC2C3b2b3cnbnan 1，求Cn的前门项和Sn.【答案】2n 1,bn3n 13n. .【解析】ai1，公差d 0,有1,14d成等比数列，所以4d,解得d 2 进而求出数列anbn的通项公式;1时,C1b1a2，所以C13，当n-2时,C2C3b2 dCnbnan 1,C2b2C3b3G 1bn 1_n 1an

23、，可得Cn2 3，进而求出前n项和Sn.【详解】解：1由题意知,a11，公差d0，有 1 1,11 4d成等比数列,所以11 4d，解得d所以数列an的通项公式an2n数列bn的公比q3，其通项公式bn3n 11时，由b1a2,当n 2时，由C1b1C2C3b2baCnbnan 1,gbiC2b2Qabacn 1两式相减得Cnbnan 1an,所以cn2 3n第2222页共 2121 页3n,n 2.【点睛】考查运算求解能力，方程思想，分类讨论思想，应用意识,1919 如图，在四棱锥P ABCD中底面ABCD是菱形，BADBAD 6060 ,PAD是边长为2的正三角形，PC 10,E为线段AD

24、的中点.uuruuur32是否存在满足PF FC0的点F，使得VB PAE4VDPFB?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【详解】证明：因为PAD是正三角形，E为线段AD的中点,所以PE AD.故cn3,n 12 3n 1, n 2所以Cn的前n项和Sn八2332 31时，S1a131，也符合上式,故Sn3n. .本题主要考查等差数列和等比数列的概念,通项公式,前n项和公式的应用等基础知识;属于中【答案】1证明见解析；22.2.【解析】1利用面面垂直的判定定理证明即可;uuu2由PFuuuFC，知1 FC PC,所以可得出VD PFBVPBDCVF BDCVF3BCD，因此，VBPAEP

25、FB的充要条件是43-，继而得出4的值 解：1第2323页共 2121 页因为ABCD是菱形，所以AD AB.因为 BADBAD 6060 ,所以ABD是正三角形，所以BE AD，而BE PE E,所以AD平面PBE又AD/BC,所以 BCBC 丄平面PBE因为BC平面PBC,所以平面PBC平面PBEuuuuu丿 LC 2由PFFC，知1 FC PC3因此，VB PAEVD PFB的充要条件是4所以，2uun uuu3即存在满足PF FC 0的点F,使得VB PAE VD PFB，此时24【点睛】本题主要考查平面与平面垂直的判定、三棱锥的体积等基础知识；考查空间想象能力、 运算求解能力、推理论

26、证能力和创新意识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想， 属于难题.2020.已知椭圆C的中心在坐标原点C,其短半轴长为1，一个焦点坐标为1,0，点A在椭圆C上，点B在直线 y y 2 2 上的点，且OA OB2 21证明：直线AB与圆x y 1相切；2求VAOB面积的最小值.【答案】1证明见解析；21.1.2【解析】1由题意可得椭圆C的方程为yy21，由点B在直线 y y 三上，且所以，VB PAEVp ADB2VPBCD21VFBCD,VD PFBVP BDCVF BDCVF BCD第2424页共 2121 页OA OB知OA的斜率必定存在，分类讨论当OA的斜率为0时和斜率不为0时的情况第

27、2525页共 2121 页【详解】2所以椭圆C的方程为-y21.2综上，直线AB与圆x2y21相切.2由1知，VAOB的面积为2_2_2k2_ 1_72d 2k221 2k2上式中，当且仅当k 0等号成立,所以VAOB面积的最小值为 1 1.【点睛】能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化思想，属于难题.取得最小值.列出相应式子，即可得出直线AB与圆x2y21相切;2由1知，VAOB的面积为S12OA OB解：1由题意，椭圆C的焦点在x轴上，且bc 1，所以a、 、由点B在直线 y y 2 2 上，且OAOB知OA的斜率必定存在,当0A的斜率为0时，0A 2,OBAB 2，O到1,直线AB

28、与圆x2y21相切.当OA的斜率不为0时，设OA的方程为 y y2kxkx，与222 2y 1联立得1 2k x 2,所以xA忌，yA备，从而OA222 2k22k2而OB OA，故OB的方程为xky，2上，故x 2 k，从而0B2 2 2k2，于是云土此时，O到AB的距离为1，直线OBAB与圆x21相切.1S2OA OB本题主要考查直线与椭圆的位置关直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解2121 .已知函数f(x) exxlnx ax,f (x)为 f(x)f(x)的导数，函数f(X)在x Xo处第2626页共 2121 页(1)求证：In x0 x00;第2727页共 2121 页(2

29、)若xx时，f(x)T恒成立，求a的取值范围.【答案】(1 1)见解析；(2 2)1 e,). .exln x a 1，求导研究单调性，分析可得存10，即et0厂0，即得证;t0f (x)有两个不同的零点X1,x2，分析可得 f f (X)(X)的最小值为f冷，分a 1 e,a 1 e讨论即得解 【详解】(1 1)由题意f (x)exIn xa1,令g(x) e:xInxa 1，则c J (x)Xe11，知g (x)为(o,)的增函数,X因为g (1)e 1o, g -e2o,2所以，存在1to1使得g too,即eto1oeo.2to【解析】(1 1)对 f(x)f(x)求导，令g(x)1在

30、to1使得gto1(2)分X。aXo1-0 , -xoX。10两种情况讨论,1当X。X。a 1-0时,转化f ( X)minXoxo2xoa利用均值不等式即得证;Xo当Xoa 1 o,Xo当Xto,时g (x) g too,g(x)为增函数,故当X to时，g(x)取得最小值，也就是xo1八Xo故Xoto，于是有eo，即Xo所以有In xoxoo,证毕.f (x)取得最小值.1Xo(2 2) 由(1)知，f (x) exIn x a当丄Xoa11o，即a1XoXo1的最小值为丄X。aXo时，f(x)f(x)为Xo,的增函数,第2828页共 2121 页所以，当Xo,to时g (x) gtoo,

31、g(x)为减函数，第2929页共 2121 页所以f(x)minfXoXoeXoIn Xo12XoaXoXoa,Xo1211-XoXo1xoXo1,XoXoXo由(1 1) 中1Xo彳11，得一Xo11，即f(x) 1.2Xo故a 11Xo满足题意.Xo当1Xoa1 o，即a11 . ,.一，Xo时，f (x)有两个不同的零点X1,X2,XoXo且x(XoX2，即f X2eX2In x2a 1 O a lnx2e右XXo,X2时f (x) fX20, f f (x)(x)为减函数，()若XX2,时f (x) fX2o,f f (x)(x)为增函数，所以 f f (X)(X)的最小值为f x2.

32、注意到f(1)e a 1时，a 1e, 且此时f (1) e a 1 O(i )当a 1e时，f (1)e a1-O f X2,所以oX2,1,即1 X2O,又f x2eX2x21 n x2ax2eX2x2In x2In x2eX21 x21x2e2x21X2eX21 1,而eX21O, 所以1X2e2111，即f X21.由于在1Xo1下，恒有 一Xoe，所以1 e 11Xo.2XoXo(ii)当a 1e时，f (1)e a1 O fX2,所以X21Xo,所以由()知X1,x2时，f f (x)(x)为减函数，所以f (x) f (1) e a 1，不满足XX。时，f(x)1恒成立，故舍去.

33、第3030页共 2121 页1故1 e, a 1Xo满足条件.x。综上所述：a的取值范围是1 e,).【点睛】本题考查了函数与导数综合， 考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题,考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题 2222 .在直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为C3:-(0)上，且VAOB为正三角形.6(1) 求点A,B的极坐标；(2)若点P为曲线C1上的动点，M为线段AP的中点，求| BM |的最大值.1I答案】(1)A2,-,B 2,-;(2)?5【解析】(1 1)禾U用极坐标和直角坐标的互化公式，即得解;(2(2)设点M的直角坐标为(x,y)(x,y)，则点P的直角坐标为(2x. 3,2 y 1).将此代入1最大值为| BQ|，即得解. .2【详解】所以点A在曲线-(。)上. 又因为点A在曲线C2: sin 1上,所以点A的极坐标是2,6从而，点