2019-2020学年选修2-32.6正态分布学案

1、1了解正态密度函数的概念.2理解正态密度函数的特点及曲线所表示的意义.3掌握运用正态分布解决实际问题的方法.炼1.正态密度曲线1(x 11 )2函数 P(x)=-e, x R，其中实数 和b为参数，P(x)的图象为正态寸 2 冗厅密度曲线(如图所示).2. 正态分布正态分布完全由参数 和b确定，因此正态分布记作 N(y,b2).如果随机变量 X 服从 正态分布，记为 XN(仏b2).3. 正态曲线的性质(1)当x卩时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线；(2) 正态曲线关于直线 x= 对称；(3)b越大，正态曲线越扁平；b越小，正态曲线越尖陡；(4) 在正态曲线下方和 x 轴

2、上方范围内的区域面积为1.4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值落在区间(b,口+b上的概率约为 68.3%,落在区间(2b口+ 2b上的概率约为 95.4% ,落在区间(3b口+ 3b上的概率约为 99.7%.、自我尝试1 判断(正确的打“V”，错误的打“X”)函数 p(x)中参数 仏6的意义分别是样本的均值与方差.(2)正态曲线是单峰的，其与x 轴围成的面积是随参数(3)正态曲线可以关于 y 轴对称.(答案：(1)X(2)X(3)V答案：D1C.3答案：D为_，标准差为_答案：0：2n探究案”费餡过探究点 正态分布密度函数与正态曲线若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大

3、值为(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式;求正态总体在(4, 4上的概率.【解】(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y 轴对称,即尸 0.,11e由=，得尸 4.2n.j2n4故该正态分布的概率密度函数的解析式是(2)P(4XW4)=P(04XW0+4)=Pg(X C)，则3.已知随机变量 X 服从正态分布N(3,62),则 P(Xv3)=(1B.41D.24.已知正态分布密度函数为P(x)=1x2e，x2n4n(-m,)，则该正态分布的均值x( m ,要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数值，其中决定曲线的对称轴的位置，(则与曲线的

4、形状和最大值有关.求证：P(x)是偶函数;求 P(x)的最大值;(3)利用指数函数的性质说明P(x)的增减性.1解：证明：对任意 x R，有 P( x)=-e2n为偶函数.x2(2) 令 t = ，当 x= 0 时，t= 0, et= 1.因为 J 是关于 t 的增函数，当 x丰0 时，t0, et1.2x所以当 x= 0,即卩 t = 0 时，e2= et取最小值.1x21所以当 x= 0 时，P(x)= 尸 e取得最大值 .2n2p2n(3) 任取 X10, x20，且 X1x2，x2x2,22xiX2所以 e 2e .所以 P(X1)P(X2)，即当 x0 时，P(x)递减.探究点 2

5、正态分布的计算CE 设 XN(6 , 1)，求 P(4X5).【解】 由已知尸 6,(y= 1,因为 P(5X7) = Pg(X 叶 o)= 0.683,P(4X8) = Pg 2(X 叶 2百=0.954,P(4X5) + P(7X8) = P(4X8) P(5X7) = 0.271.1标准正态分布的概率密度函数是P(x) =2X2(x R)-1(x)22专=P(x),所以 P(x)值，其中决定曲线的对称轴的位置，(则与曲线的形状和最大值有关.如图，由正态密度曲线的对称性知P(4X5) = P(7X8),1所以 P(4X5) = 2【P(4X8) P(5X7)1=2 0.271 = 0.13

6、5 5.(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间的面积为 1 ；正态曲线关于直线 x=卩对称，从而在关于 x=卩对称的区间上概率相等.2已知 旷 N(0,(r2)，且 P(炉2)= 0.2，贝UP(0 二 2)=_解析：因为汁 N(0,o2),所以 P(E2) = 0.2,1P( E2)212X0.2取 设在一次数学考试中，某班学生的分数EN(110, 202)，且知满分 150 分，这个班的学生共 54 人，求这个班在这次数学考试中及格(不小于 90 分)的人数和 130 分以上的人数.【解】 因为N(110, 202),所以尸 110,o= 20.所以 P(110 20W110+

7、 20) = 0.683.1所以 炉 130 的概率为 2(1 0.683)= 0.158 5.所以 驴 90 的概率为 0.683 + 0.158 5= 0.841 5.所以及格人数为 54X0.841 545(人)，130 分以上的人数为 54X0.158 5 9(人).答案：0.3冷；弄点正态分布的实际应用2=0.3.正态分布是最常见、应用最广泛的一种分布，人的身高、体重，学生的学习成绩，产品的尺寸等一般都服从正态分布，在解决此类问题时，利用正态曲线的对称性结合三个特殊概 率的值求概率.鱼丑麺田 3若一批白炽灯共有 10 000 只，其光通量E服从正态分布，其概率密度1( x 209)2

8、函数是 P(x) = e-, x R .试求光通量在下列范围内的灯泡的个数.6p2n72(1) 209 6209+ 6;(2) 209 18 209 + 18.解：由于E的概率密度函数为1(x209)2P(x)=eT2-62n所以尸 209,o= 6.所以 卩一0=2096,口+ 0=209+6.口3o=2096X3=20918,叶 3o=209+6X3=209+18.因此光通量E的取值在区间(209 6, 209+ 6, (209 18, 209 + 18内的概率应分别是 0.683和 0.997.(1) 光通量E在 209 6209 + 6 范围内的灯泡个数大约是 10 000X0.683

9、= 6 830.(2) 光通量E在 209 18209 + 18 范围内的灯泡个数大约是 10 000X0.997= 9 970.素养提升正态分布的再认识(1) 参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；0是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计.尸 0,0= 1 的正态分布叫做标准正态分布.(2) 正态分布定义中的式子实际是指随机变量X 的取值区间在(a, b上的概率等于总体密度函数在a, b上的定积分值.从正态曲线可以看出，对于固定的卩而言，随机变量在(厂o口+0上取值的概率随着o的减小而增大.这说明o越小，X 取值落在区间(厂o口+0的概率越大

10、，即 X 集中在周围的概率越大.对于固定的和o随机变量 X 取值区间越大，所对应的概率就越大，即 3o原则.(3)正态总体在某个区间内取值的概率求法:熟记 P (卩一 cXw 3+() , P (3 2(XW 3+2a, P (3 3 cXWa+ 3 的值.P(Xa),P(X 3+a),若 b3,贝UP(Xb)=1P( 3-bXaC.313,a1vaD.3132,a1 a答案：A1易误防范匚随机变量 X 服从正态分布 N(0, 1)，如果 P(Xv1)= 0.841 3，求 P(- 1vXV0).【解】如图所示，因为 P(XV1) = 0.841 3 ,所以P(X 1) = 1所以 P( 1V

11、XV0) = 0.5 0.158 7= 0.341 3.(1)错因：XN(0, 1),则正态曲线关于 y 轴对称，应结合图象找出各区间的对称关系.(2)正态密度曲线的性质可以用来求参数和a具体方法如下:正态曲线是单峰的，它关于直线x=卩对称由此性质结合图象可求卩正态曲线在x=口处达到峰值由此性质，结合图象可求(X1.设两个正态分布N(3,a2)(a 0)和 N(3,a2)(a 0)的密度函数图象如图所示,2设随机变量1XN(20, 32),若 P(X a)= ?,贝 V a=2A. 10B. 9解析：由正态曲线关于 x=u对称可知 a= 20.答案：203._ 已知随机变量 x 服从正态分布(

12、3, 1),且 P(24)=_1 1 解析：P(x4)=尹P(2wx1) = 0.5,则实数 a 的值为()A. 1B. . 3C. 2D. 4解析：选 A.因为随机变量 X 服从正态分布 N(a, 4),所以 P(Xa) = 0.5.由 P(X1) = 0.5,可知 a= 1.4 .某班有50 名学生，一次数学考试的成绩X 服从正态分布 N(105 , 102)，已知2. 设有(x 10)28正态总体，它的概率密度曲线是函数则这个正态总体的均值与标准差分别是A . 10 与 8C. 8 与 10解析：选 B.由正态密度函数的定义可知，总体的均值(单位：毫米)服从正态分布)3. 已知某批零件的

13、长度误差其长度误差落在区间(3, 6)内的概率为(附：若随机变量E服从正态分布 N(u,V卩+ 2 & 95.4%.)A. 4.56%C. 27.18%解析：选 B.由正态分布的概率公式知1f(x)的图象，且 f(x)=枷，。(x)=-e /8 n( )B. 10 与 2D . 2 与 10卩=10,方差(? = 4，即 卩=2.N(0, 32)，从中随机取一件，/),贝VP(卩V V叶 & 68.3% , P(卩2 VEB. 13.55%D. 31.74%P( 3V V3)& 0.683, P( 6V V6)& 0.954,故P(3V EV6)=P(6VV6)

14、P(3V V3)20.954 =0.135 5 = 13.55%，故选 B.C. 8D. 7P(95wxw105) = 0.32，估计该班学生数学成绩在115 分以上的人数为()解析：选 B.因为考试的成绩 X 服从正态分布 N(105, 102)，所以正态曲线关于x= 1051对称.因为 P(95WXW105) = 0.32,所以 P(X 115) = qX(1 - 0.32X2) = 0.18.所以该班学生数学成绩在 115 分以上的人数为 0.18X50= 9.15设随机变量E服从正态分布 Ng,d2)，且二次方程 x2+ 4x+ = 0 无实根的概率为-,贝 y =_.解析：因为方程

15、X2+ 4x+E=0 无实根，所以= 16-4 氏 0,所以&4,1即 P(&4) = 2 = 1 P(葺 4).皿 1故 P(葺 4) = 2.所以尸 4.答案：46.在某项测量中，测量结果E服从正态分布 N(1 ,d2)( Q0).若E在(0, 1)内取值的概率为 0.4,则E在(2,+ )上取值的概率为 _ .1 1解析：由正态分布的特征易得P( &2) = 2X1 2P(0氏 1) = 2X(1 0.8) = 0.1.答案：0.17.为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000 名年龄在 17.5 岁至19 岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他

16、们的体重X(kg)服从正态分布 N(卩，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg 小于等于 62.5 kg 属于正常情况，则这 1 000名男生中属于正常情况的人数约为 _ .解析：依题意可知，口= 60.5, 尸 2,故 P(58.5vXW62.5) = PgoX 计d= 0.683 , 从而属于正常情况的人数为1 000X0.683= 683.C. 8D. 7答案：683& 一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布 N(10 000, 4002)，求这批灯泡中“使用时间超过 10 800 小时”的概率.所以成绩在(70 , 90内的同学约占全班同学的95.

17、4%.解：依题意尸 104,(r= 400,所以 P(104 800XW104+ 800)=P( j 2 oXW叶 2 c)=0.954.由正态分布性质知P(X104+ 800),故 2P(X10 800) + P(104 800X10 800)=1 =0.023.解：由图易知，该正态密度曲线关于尸 72.(X 72)2、1200 厂 /P(x)=. e,x( ,10 寸 2n总体随机变量的期望是尸 72,方差是 /= 100.B 能力提升1.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件 元件 3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命1 或元件 2 正常工作，且(单位：小时)

18、均服从正态分布 N(1 000, 502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000 小时的概率为_.x = 72 对称，最大值为所以正态密度函数的解析式是解析：由三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1 000, 502)得：三个电子元件的1使用寿命超过 1 000 小时的概率为 p= 2，超过 1 000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率33p1= 1 (1 p)2= 4,那么该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为 p2= p1xp= 8.3答案：312工厂制造的某机械零件尺寸X 服从正态分布 N 4,-，则在一次正常的试验中，取1 000 个

19、零件时，不属于区间(3 , 5)这个尺寸范围的零件大约有 _ 个.1 1解析：因为 XN 4, 9，所以尸 4,尸所以不属于区间(3, 5)的概率为P(XW3)+P(X5)=1P(3vXv5)=1P(41VXV4+1)=1 P (卩3(VXV3 c)=1 0.997= 0.003.1 000X0.003 = 3(个).即不属于(3, 5)这个尺寸范围的零件大约有 3 个.答案：33在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80, 52)，现已知该班同学中成绩在 8085 分(包括 85 分，但不包括 80 分)的有 17 人，试计算该班成绩在90 分以上的同学有多少人？解：因为成绩服从正态分布N(80, 52),所以 尸 80,c= 5,口一 =