2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试数学试题(解析版)

1、第1页共 21 页2020 届江苏省南通市高三下学期3 月开学考试数学试题一、填空题1 .已知集合M x 0 x 2 , N xx 1，则MIN _【答案】x|1 x 2【解析】根据交集的定义，即得解【详解】集合M x0 x 2,N xx 1根据交集定义，MIN x|1 x 2【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题2 已知复数z满足2 i z 1 i,i为虚数单位，则复数z _【解析】略3 .某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s,黄灯时间为 3 s,绿灯时间为60s.从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为5【答案】12【解析】 利用

2、几何概型求解【详解】5故答案为：12【点睛】(1)本题主要考查几何概型，意在考查学生对知识的掌握水平.(2)几何概型的解题步骤： 首先是判断事件是一维问题还是二维、 三维问题(事件的结果与一个变量有关就是 一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题)；接着，如果是一维的问题， 先确定试验的全部结果和事件A构成的区域长度(角度、弧长【答1 3i5由几何概型得遇到红灯的概率为45545 3 6012第2页共 21 页构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度等)，最后代公式P(A);如果是二维、三维由于 S10,的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果

3、和事件A分别满足的约束条件, 作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式4 在某频率分布直方图中， 从左往右有 10 个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余19 个小矩形的面积和的 -，且第一组数据的频数为 25,则样本容量为 _ .【答案】150【解析】 设第一个小矩形面积为x，列出方程得 6x 1，由此能求出样本容量.【详解】解：设第一个小矩形面积为x,1由 6x 1，得x -,样本容量为25 6 150.故答案为：150.【点睛】本题考查样本容量的求法，考查频率分布直线方图等基础知识，考查运算求解能力，考 查函数与方程思想，属于基础题.5 如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为_

4、.pFtfQ*5t-lSSxH-*A*1+ 2（结東）【答案】7【解析】 分析：直接利用程序框图的循环结构求出结果解析：在执行循环前：k=1 , S=1.执行第一次循环时：S=1, k=3.执行第二次循环时：S=3, k=5.执行第三次循环时： S=15, k=7.由于 S10,第 2 页共 21 页第5页共 21 页输出 k=7.故答案为：7.点睛：（1 ）条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据是”的分支成立的条件进行判断;（2）对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不 能同时执行两个分支.【答案】423【解析】 在正四棱锥中，顶点 S 在底面上

5、的投影为中心 0,即 SO 底面 ABCD，在底面正方形 ABCD 中，边长为 2,所以 0A=.、2，在直角三角形 SOA 中SO SA 0A . 220）的图象向左平移 一个单位后，可得函数 y= sin63（3X）的图象，再根据所得图象关于直线x=n对称，可得36n7 .将函数f x sin x(6第6页共 21 页con kn kZ3621当 k= 0 时，o取得最小值为，21故答案为丄2【点睛】本题主要考查函数 y= Asin的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题.2x 38已知 f(x)是定义在R上的偶函数.当x 0时，f(x)竺工，则不等式f (l n x)x 1的解

6、集为_.1【答案】4,e4e【解析】根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化进行求解即可.【详解】解：Q f (x)是定义在R上的偶函数,则 | Inx | 4 ,即 4 Inx 4,1 即-x e4, e1即不等式的解集为4, e4e1故答案为：4, e4e【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的单调性，利用函数单调性和奇偶性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中档题.9.已知公差不为零的等差数列a*的前n项和为Sn，且a26,若443, a?成等比数不等式 f(lnx) 1 等价为f (I Inx |)2x 3当x0时，f(x)竺亠 x 1丄2x 3由 f (x)

7、x 11，得x则不等式 f(|lnx|)2(x 1)x 14，即f(4)1 等价为 f 11 nx | f 45，则函数 f(x)为增函数,x 1第7页共 21 页列，则S8的值为_【答案】88分别为 A,B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 _2 2【答案】 1 乞15411【解析】点(1 ,-)在圆外，过点(1 ,孑与圆相切的一条直线为 x = 1，且直线 AB 恰1好经过椭圆的右焦点和上顶点，椭圆的右焦点为(1,0)，即 c= 1,设点 P(1,-)，连21接 OP,贝 V OP 丄 AB , / kop= , kAB= - 2.又直线 AB 过点(1,0)，直线 AB

8、 的方2程为 2x + y 2= 0, 点(0, b)在直线 AB 上， b= 2，又 c= 1, a2= 5，故椭圆方程2 2是X_+y_=1.5411已知函数f(x) mlnx图像与函数g(x) 2、X图像在交点处切线方程相同，则m的值为_【答案】e【解析】设函数 f (x)和g(x)的交点为(xo, y)，求出 f (x)和g(x)在低,y)处切线 方程的斜率，然后建立关于m的方程，再求出m的值.【详解】解：设函数 f(x)和g(x)的交点为, y)，贝 y由 f (x) minx ,得 f (x),xmf (x)在(X。, y)处的切线方程的斜率k1,x0【解析】2 2a3a1a76

9、d6 d 6 5d1所以a 6 2 4,S88 4 8 7 22 210 若椭圆x2当1的焦点在X轴上,a b由题意得6d212dQ d0d 22 88过点(1,1)作圆x2+y2= 1的切线，切点2第8页共 21 页jx同理，函数g(x)在, y。)处的切线方程的斜率k2XQB ,若满足 PB 2PA 贝U线段 EF 的长度为，所以直线上存在点到原点的距离为1，得，2Jk212解得k .,15或k、15【点睛】根据函数性质，数形结合，理解题目问题的几何意义，建立不等关系求解参数的取值范围13 .在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O： 圆 C ： 冥一 4)+ y二，动点P在直线上的两点

10、E , F 之间，过点 P 分別作圆 O, C 的切线，切点为 A,第 6 页共 21 页uuv uuuvuuuPAPC1,即2PBQ f(x)和g(x)在交点处切线方程相同,kik2，即m竺，XoXo又 yof (Xo) minx。，y g(xj 2 x0，由解得，m e.故答案为：e.【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属于基础题.12 .在平面直角坐标系xOy中，已知直线li:y mx与曲线f(x) 2x3x从左至右uuv uuv依次交于A、B、C三点，若直线I2:y kx 2上存在P满足PA PC 1，则实 数k的取值范围是_.【答案】k .15或k ,1

11、5【解析】由曲线f x 2x x及直线l1:y mx的图象都关于原点对称，所以B 为原点，且为AC亠uuir uuu uun,小中点，PA PC 2PB，因为直线l2:y kx 2上存在P满足uuv uuuvPA PC1,所以直线上存在点到原点的距离为1,得丁 L2，解得 k 的取值2 2范围【详因为曲线f2x3x及直线l1:y mx的图象都关于原点对称，所以 B 为原点,且 B 为 AC中占I八、：所以PAuiuuur, cPC 2PB，因为直线l2:y kx 2上存在P满足第10页共 21 页祗冈車，线段 EF：【点睛】 从圆外一定点点引圆的切线，切线段的长利用定点到圆心的距离，半径求解1

12、4 .若ABC中，AB 42, BC 8 ,B45 D为ABC所在平面内一点且满足uuv UULV uuv UULV，亠(AB AD) (AC AD) 4，则AD长度的最小值为【详解】【答【解析】因为动点 P 在直线 卜:”如強丸上，设点.一、：.卜，分别表示，辻|，利用PB 2PA 解出的取值范围，得线段 EF 的长度【详动点 P 在直线丄；-民一 ：;，.：；上,设点丨_ ； I，圆 o ：一.,过点 P 分別作圆 0的切线，切点为 A，所以”A阳，同理可得理=屁 7，因为 PB2PA，得(-2-昴+ b J 4|(2-b) + b|解得【答.2【解建立如图所示的平面直角坐标系，设D(x,

13、y)，则uuvAB (uuv1, 1),AC(7,uuuz1),AD(x,y)，求得（xy)(y 7x)y7x解得mn 4，进而利用二次函数的性质,求得AD取得最小值方.建立如图所示的平面直角坐标系, 由题B( 1, 1),C(7, 1)，uuv设D(x, y)，所以AB(1,LUU/1),AC(7,LUU/1),AD(x, y)，uuv uuiv uuuv所以(AB AD) (ACLUU/AD)x y)(7xy)即(x y)(y 7x)4，令y my，则7x n1一(m81 (7 m8n)，所以mn 4,n)b -，所以第11页共 21 页所以AD x2y22 2m n)(7 m n)第12

14、页共 21 页当且仅当5m n 2 5时，AD取得最小值2.本题主要考查了向量的数量积的应用问题，其中建立适当的直角坐标系，利用向量的数量积的运算，得到mn 4，利用表示出AD关于x的二次函数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题、解答题15 如图，在 ABC 中，a, b, C为A, B, C所对的边，CD 丄 AB 于 D，且1BD AD -c.2(1)求证：sin C 2sin( A B)；(2)若cos A3，求tanC的值.5244(2)由(1)得3cosAsinB sin AcosB，得到sin A，所以tan A , tan B53即可

15、求解tanC的值.【详解】(1)证明：因为BD1ADc2，二210mn 248【答案】 (1)见解析(2)48111bcos Ac，由正弦定理，得2【解析】 (1) 由题意可得acosBsin AcosBsin B cos A丄sin C，即可作出证明；【点睛】第13页共 21 页所以acosB1bcosAc,2(2)取AC中点P，连结NP,BP，推导出四边形PNMB是平行四边形，从而1由正弦定理 得sinAcosB sinBcosA sinC2所以sinC 2sin A B.(2)解：由(1)得，sin A B 2sin A B,所以sinAcosB cosAsinB 2 sinAcosB

16、cosAsinB,化简，得3cosAsinB sinAcosB.十3444又cosA，所以sinA，所以tanA,tanB553944tanA tanB 3 948所以tanC tan A BJ；卫1 tanAtanB14 4113 9【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行 边转角”寻求角的关系，利用 角转边”寻求边的关系，利用 余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点， 经常利用三角形内角和定理， 三角形面积公式， 结合正、余弦定理解题16如图，在三棱柱A

17、BC ABQ1中，已知M,N分别为线段BB1，AC的中点，MN与AA1所成角的大小为 90 且MA1MC.求证：(1)平面A,MC平面AACG;(2)MN /平面ABC.【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】(1)推导出MN AC,MN AA1，从而MN平面AACG，由此能证明平面AjMC平面A1ACC1.(2)取AC中点P，连结NP,BP，推导出四边形PNMB是平行四边形，从而第 9 页共 21 页第16页共 21 页MN /BP，由此能证明MN/平面ABC.【详解】证明：(1)因为MN与AAi所成角的大小为 90 所以MN丄AA,因为MA MC，且 N 是 AiC 的中点，所以MN丄A

18、C.又AA1I A1C A,A1C、AA1平面AACCi, 故MN丄平面A1ACC1, 因为MN平面A1MC，所以平面A,MC丄平面AACC1.(2)取 AC 中点 P,连结 NP, BP.1因为 N 为 A1C 中点，P 为 AC 中点，所以 PN/AA1, 且 PN - AA1.2在三棱柱ABC ABC中，BB1/ AA1，且 BB1AA1.1又 M 为 BB1中点，故 BM / AA1,且 BM AA1.2所以 PN / BM，且 PN BM，于是四边形 PNMB 是平行四边形，从而 MN / BP.又MN平面ABC,BP平面ABC,故MN /平面ABC.【点睛】第17页共 21 页F2

19、,离心率为一，点 I,2J 分别是椭圆的右顶点、上顶点， IOJ 的边 IJ 上的中线本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 长为迈.2(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 过点 H(2,0)的直线交椭圆 C 于 A , B 两点，若 AFi丄 BFi,求直线 AB 的方 程.2X2【答案】(1)y 1(2) x 2y+ 2= 0 或 x+ 2y+ 2= 0C丄a 2，【解析】 由直角三角形中线性质得到IJ, 3，再根据条件得到.a2b2：3,求2 2 2a be.解即可；(2)设出直线 AB，联立直线和椭圆得到二次方程，由AFi丄 BFi，得到UULV

20、 UUVAF1BF10，整理得(1 + 2k2) (xi+ x2)+ ( 1 + k2) X1X2+ 1 + 4k2= 0,代入韦达定理即可.【详解】(i)由题意得IOJ为直角三角形，且其斜边上的中线长为一 3，所以IJ2.3,2e ,2C 的标准方程为础知识，考查运算求解能力,属于中档题.17 .已知点 0 为坐标原点,2x椭圆 C :二a2y1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1,b2设椭圆 C 的半焦距为解得ab2,1.2x2y联立2y k x所以椭圆第18页共 21 页2(2)由题知，点Fi 的坐标为(1 , 0),显然直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y= k (x

21、+ 2) ( k0,点 A (xi, yi), B (X2, y2).1消去 y，得(1 + 2k2) x2+ 8k2x + 8k2 2= 0,2,所以=( 8k2)2 4 (1 + 2k2) (8k2 2)= 8 (1 2k2) 0,所以0 k21()2第19页共 21 页ULLV LUIV因为 AFi丄 BF1，所以AF1BF10,则(一 1 X1, y1)- ( 1 X2, y2)= 0,1 + X1+ X2+ X1X2+ y1y2= 0,1 + X1+ X2+ X1X2+ k (X1+ 2) k (X2+ 2) = 0, 整理，得(1 + 2k2) (X1+ x2)+ ( 1 + k2

22、) X1X2+1 + 4k2= 0.1化简得 4k2 1= 0,解得k1.211因为k都满足()式，所以直线AB 的方程为y x 2或y22即直线 AB 的方程为X2y + 2= 0 或 X + 2y + 2= 0.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题， 最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法 之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别 式的作用.2冗18.某校有一块圆心0,半径为 200 米，圆心角为

23、 的扇形绿地OPQ，半径OP,OQ3的中点分别为M ,N，A为弧PQ上的一点，设AOQ，如下图所示，拟准备两 套方案对该绿地再利用(1)方案一：将四边形绿地OMAN建成观赏鱼池，其面积记为S1，试将S1表示为关于 的函数关系式，并求为何值时，S1取得最大?(2)方案二：将弧AQ和线段AN,NQ围成区域建成活动场地，其面积记为S2，试将S2表示为关于的函数关系式；并求为何值时，S2取得最大?且x1x28k21 2k2X!X28k221 2k2即1 2k28k21 2k21 k28k221 2k21 4k20.第20页共 21 页【答案】（i）sQ10000、3sinSmax=10000 3(平方

24、米)；(2 )S210000 2sinS1 max=10000（平方米）【解析】试题分析:首先表示四边形 ANOM 的面积，禾U用AON与AOM面积相加,借助AOQAOM气来表示，再根据三角函数求出最值，然后利用扇形OAQ的面积减去OAN的面积表示 ANQ 的面积S2，并借助导数求出最值.试题解析:（1） 由已知,AOQ0,3,S13SVONASvOMA；2100200 sin100 200 sin(整理得S,10000、3si n( 610000. 3(平方米)(S)max(2)由已知,-S2即S2S2(- S2(当（平方米） ，5S扇形AOQSONA，2001100 2002sin,100

25、00(2 sin)；)10000(2 cos)，故S2()）在（02n上为增函数,32n4丁 时，Uh10000 (-亠）（平方米）2答：（1 ）当n时，（SJmax10000. 3（平方米）；3第21页共 21 页第22页共 21 页2n(2)S2关于 的函数表达式S210000(2sin),(0,3当22时，(S2)max10000(4-)(平方米)332【点睛】解决实际应用问题要注意实际问题的要求，表示图形面积注意使用割、补方法,借助几个图形面积的和或差表示图形面积，结合所学数学知识求最值，如利用三角函数、二次函数、基本不等式、函数的单调性、导数工具等219 已知正项数列an，其前n项和

26、为Sn，满足2Snanan,n N*.(1)求数列an的通项公式an；(2)如果对任意正整数n，不等式.an 2,an都成立，求证：实数C的最大值为 1.【答案】(1)ann；( 2)见解析S，n 1进行代入计算，化简整理可发现数列Sn 1, rr2首项为 1,公差为 1 的等差数列，即可得到数列an的通项公式;(2)从两个方面分别计算出Cmax* T 及Cmax,1 .从而可得Cmax1.【详解】2(1)当n 1时，2$a1a1，解得a11，或a10(舍)由2Snanan得，2Sn 12an 1an 1,2Sn 12Sn2 2(an 1an 1) (anan),22即2an 1(an 1an

27、) (an1an),22也就是(an 1an) (an 1an)0,(an1an)(an 1an1) 0,由于数列an各项均为正数，所以an 1an10, 即an 1an1所以数列an是首项为1,公差为 1 的等差数列,所以数列an的通项公式为ann.【解析】(1)利用公式ana*是第23页共 21 页(2)由(1)得an 2第24页共 21 页所以所以因为不等式VaT7州 -=对任意的正整数n恒成立,2c -即11厂对任意的正整数n恒成立,n 2又当c 1，则c的最大值为 1；【点睛】 本题主要考查数列求通项公式，以及数列不等式的证明问题考查了转化思想，分类讨论，放缩法的应用，逻辑推理能力和

28、数学运算能力属于中档题.上 /、 ax b20 .已知函数f (x)x(其中a,b R)e(1)当a 1 时，若函数y f (x)在0,上单调递减，求b的取值范围；(2) 当b 1,a 0时，求函数yf (x)的极值；设函数yf (x)图象上任意一点处的切线为I，求1在x轴上的截距的取值范围【答案】(1)b1; (2)见解析，1 / 1，一4 -,aa【解析】(1) 当 a 1 时，求出导数，分离参数b，求出即可；(2)b 1时，对a进行讨论，根据 f (x)的导数判断呐喊声的单调性和极值得出结论;at 1设切点为T(t,t)，则曲线在点T处的切线I方程为eat 1 at 1 aa 1ytt(

29、x t)，当t时，切线没有截距，否则表示出截距，结eea因为所以1,2n 2.n 2 . n 2, n . n 2. n211第25页共 21 页合基本不等式求出截距的范围.【详解】(1)a 1 时，f(x)x b的导函数ex 1 bf (x)xe-由题意知对任意x0,有f (x)x1 b小x0，即x 1 b 0ebX1min，即b1.(2)b 1时，f(x)ax 1X的导函数f(x)拟J *,xxeea 1a 1(i)当a 0时，有x (,),f (x)0；x (,),f (x)0,aaa 1a 1函数y f(x)在x (,)单调递增，x (,)单调递减，aa1a 1函数y f (x)在x取

30、得极大值a e，没有极小值(ii)当 a 0 时，有x ( lx)0；x()，f(x)0，函数y-函数y综上可知f (x)在xf (x)在xa 1)单调递减，x (,)单调递增,aaa 1取得极小值aa 1a e，没有极大值.当a 0时,函数ya 1f(x)在xT取得极大值aa 1e，没有极小值;当 a 0 时，函数yf (x)在xa 1取得极小值aa 1a eV，没有极大值设切点为at 1teT(t,atT)，则曲线在点T处的切线I方程为eat 1 a,、t(x t),ea 1时,a切线I的方程为yat 1tea 1ea，其在x轴上的截距不存在令y0，得切线I在x轴上的截距为at 1at 1

31、 a(at 1 a) aat 1 aaat 1 a2第26页共 21 页本题考查了矩阵变换、特征值与特征向量、逆矩阵,考查了推理能力与计算能力，属于0时,11当切线|在x轴上的截距范围是，丄4 -,aa【点睛】等式的应用等，综合性较强.【点睛】基础题.本题考查导数法判断函数的单调性和极值, 含参问题的讨论，函数的切线问题，基本不21 .已知矩阵A的逆矩阵求矩阵A的特征值和相应的特征向量【答见解析【解，得1，由特征多项式121)求得，即可得出.【详13431313，得A由特征多项式所以特征值3对应的特征向量特征值21对应的特征向量a21)2a1得13,21,第27页共 21 页22 在极坐标系中

32、，已知圆C的圆心极坐标为(2,)，且圆C经过极点，求圆C的极4坐标方程【解析】直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进-步求出结果.【详解】解：因为 C 2,-的直角坐标为(、2,、2)，半径 r . ( 20)2( 20)22，所以圆C的直角坐标方程为(x、.2)2(y、2)24，即x2y22 2x 2、2y 0，故圆C的极坐标方程为24 cos( ) 0，4即4cos()4【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.1 ii23 .已知a，b，c为正实数，333abc【答案】18【解析】 根据题意，由基本不等式的性质求出 答案.【详解】解：根据题意，a,b,c为正实数，【答4cos( )27abc的最小值为m.AAA 27abc的最小值，即可得a b c第28页共 21 页nrt1 1 1 1 1则327abc 厖 333g3g327abc a b ca b c当且仅当a b c31时，取“”1 1 1故3327abc的最小值为 18；a b c所以m 18.【点睛】 本题考查基本不等式的性质以及应用，注意不等式成立的条件，属于基础题.第29页共 21 页2