2019届北京市通州区高三第一学期期末考试数学(理)试题(解析版)

1、第1页共 20 页2019 届北京市通州区高三第一学期期末考试数学（理）试题、单选题1设集合A=KIX2_4X+ 30，则 A 口()【答案】D【解析】解不等式求出集合 A, B,结合交集的定义，可得答案.【详解】 集合 A= xX2-4x+3 v 0 =( 1 , 3),B = x|2x- 3 0 =（ , +，3二 AHB =（ , 3）,故选：D.【点睛】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，属于基础题.B-+ -B2设向量一：，K 1,则与垂直的向量的坐标可以是（）AB.：C. F D.-【答案】C【解析】 求出,判断哪个选项的向量与（-3, 2）的数量积是出答案.【详解】可看出（4,

2、 6） ? （- 3, 2）= 0;- -丄严-；-匕；故选：C.【点睛】本题考查向量坐标的加法和数量积运算，以及向量垂直的充要条件.A.0 即可得16第2页共 20 页3 .已知是定义在 R 上的奇函数，且当 时，够尸，则.等于311A.B.C.D.【答案】B【解析】根据题意，由函数的解析式计算可得f (2)的值，又由函数为奇函数，可得 f ( - 2)=- f (2)，即可得答案.【详解】根据题意，当 x 0 时，f (x)= 2x- 1,贝 U f (2)= 22- 1 = 3，又由函数 f (x)为 R 上的奇函数，则 f (- 2)=- f (2)=- 3;故选：B.【点睛】 本题考

3、查函数的奇偶性的性质，关键是灵活运用函数的奇偶性的性质.2 2 V-=1(3 0)4 已知双曲线的右焦点与抛物线.的焦点重合，贝 U a 等于A. 1 B. 2C. 3 D.【答案】B【解析】先求出抛物线的焦点坐标，可得出双曲线的半焦距c 的值，然后根据的关系可求出 a 的值.【详解】抛物线 y2= 12x 的焦点坐标为(3，0)，所以，双曲线的焦点坐标为(土 3，0)，a2+5 = 32= 9， a0，解得 a= 2，故选：B.【点睛】 本题考查双曲线的性质，解决本题的关键在于对抛物线性质的理解，属于基础题.1,+ 3 ,5.已知 x,y 满足不等式组贝的最大值等于()a、 b、c所以,A.

4、B.C.D.16第3页共 20 页【答案】D【解析】画出不等式组表示的平面区域，求出平面区域中各顶点的坐标，将各点坐标代出以下命题:第 4 页共 20 页入目标函数的解析式，分析后求得目标函数z= x+y 的最大值.【详解】表示的平面区域，如图所示的阴影部分;故选：D.【点睛】本题考查了线性规划的应用问题， 常用“角点法”解答，步骤为：由约束条件画出可行域， 求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证求得最 优解.6.设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行

5、判断即可.【详解】 a, b （1, +s）, ab? logabv 1,logabv 1? ab, a b 是 logabv 1 的充分必要条件,故选：C.【点睛】直线 z= x+y 过点 C (3,3）时，z 取得最大值为 6.解：由不等式组将三个代入得 z 的值分别为3，2, 6；C (3, 3);第5页共 20 页本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键.7 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧面面积为（【答案】B【解析】由三视图画出该四棱锥的直观图，结合图形求出此四棱锥的四个侧面中面积最小的侧面面积.【详解】解：由三视图画出该四棱锥

6、的直观图，如图所示;在此四棱锥 P - ABCD 的四个侧面中，面积最小的侧面是Rt PBC,11 _它的面积为 BC?PB .打故选：B.【点睛】本题考查了利用几何体的三视图求面积的应用问题，是基础题.8 设函数.图象上不同两点，处的切线的斜率分别是/ ,规定% %KAHB）=-A. 1B.C. 2D.出以下命题:第 4 页共 20 页AB|严为线段的长度）叫做曲线心在点 A 与点 E 之间的弯曲度”给第7页共 20 页1函数图象上两点与的横坐标分别为 和 ，则;2存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的弯曲度”为常数；3设,是抛物线-上不同的两点，则；4设,是曲线(是自然对数的底数)上不

7、同的两点 ，则 其中真命题的个数为()A. 1B. 2C. 3 D. 4【答案】C【解析】由新定义，利用导数求出函数y = sinx、y= x2在点 A 与点 B 之间的弯曲度”判断、正确；举例说明是正确的；求出曲线 y= ex上不同两点 A(xi, yi), B (X2, y2)之间的“弯曲度”，判断 错误.【详解】对于，由 y= sinx, 得 y= cosx,则 kA= cosi, kB= cos (- 1)= cosi，则岭-kB|= 0，即 $ (A, B)= 0,正确；对于，女口 y= 1 时，y= 0，贝 U $ (A, B) = 0,正确；对于，抛物线 y= x2的导数为 y=

8、 2x, yA=XA2,yB= xB2,对于，由 y= ex,得 y= ex, $ (A, B)由不同两点 A ( Xi, yi) , B (X2, y2),可得 $ (A, B)误；综上所述，正确的命题序号是 .故选：C.二 yA- yB=XA2- XB2=( XA- XB)( XA+XB),则 $ (A, B)错出以下命题:第 4 页共 20 页【点睛】本题考查了命题真假的判断与应用问题，也考查了新定义的函数应用问题，解题的关键是对题意的理解.第9页共 20 页先由复数代数形式的除法运算化简复数，再由共轭复数的定义可得答案.【详解】i+ i-111=- =-=-解：Z .：.，:,【点睛】

9、 该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题.S410 设等比数列an的公比：,前 n 项和为，贝 U、填空题9 .复数1的共轭复数是1 1-i【答【解复数 z1的共轭复数是1 1-I2 2故答案为:1-i2第10页共 20 页【答15【解由等比数列的通项公式和求和公式，代入要求的式子化简可得.【详解：i-q1-24故答案是：15.【点本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题.11 .已知角的终边与单位圆： I 的交点为3士 -【答案】二-【解析】由1,有:第11页共 20 页1COS a= ,由二倍角公式有 sin2 a= 2sinocosa= ，得解【详解】解:由三角函

10、数的定义有：sina ，由 sin2a+COS2a= 1 ,1得:COs a= ,C由二1 倍角公式得： sin2a=2sin acos a= ,士 -故答案为：.【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义及二倍角公式，属简单题12 . 的展开式中含/的项的系数是 _【答案】1【解析】 在二项展开式的通项公式中，令 x 的幕指数等于 2,求出 r 的值，即可求得展 开式中x2的系数.【详解】一r解：（X ）6的展开式的通项公式为 Tr+1 ? （- 1 ）r?x62r,令 6- 2r = 2,求得 r = 2,故展开式中 x2的系数为15,故答案为：15.【点睛】 本题主要考查二项式定理的应用，

11、二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数,项式系数的性质，属于中档题.【答案】【解析】化简参数方程为直角坐标方程，然后判断曲线交点个数.13 直线（为参数）与曲线厂为参数）的公共点个数为 _第12页共 20 页【详解】解：直线 ：（t 为参数）的直角坐标方程为:故答案为：1.【点睛】 本题考查直线的参数方程，圆的参数方程的求法，考查计算能力.Xrx 1 .若关于*的方程fw=也-2 有且只有一个实数根，则实数 k 的取值范围是【答案】7d,：（ =贼-2【解析】 作出 f（ x）的函数图象，由直线 y= kx - 2 过（0,- 2）,联立 i y = “ ，得 x2- kx+2 =0,由厶

12、=0,解得 k 值，求出过（1, 1）与（0，- 2）两点的直线的斜率 k, 数形结合即可得到实数k 的取值范围.【详解】作出 y= f （x）与 y = kx - 2 的函数图象如图所示：fy = kx - 2联立，得 x2- kx+2 = 0.X = 2 + C0&6与曲线皿（B 为参数） 的直角坐标方程:(X- 2)2+y2= 1.圆的圆心（2, 0） 到直线 y 弓 x 的距离为：1 + (231；所以直线与圆相切, 有 1 个交点.f(X) -14 .已知函数第13页共 20 页由厶=k2- 8= 0,得 k第14页共 20 页又过（1, 1）与（o,- 2）两点的直线的斜率

13、 k= 3.易知直线经过点（2,0）时恰好与曲线相切.由图可知，若关于 x 的方程 f （x）= kx- 2 有且只有一个实数根，则实数 k 的取值范围为（0, 3）U .故答案为：（0, 3）U;.【点睛】本题考查了方程解的个数与函数图象的关系，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题.三、解答题（I）求 BD 的长；（n）求BCD 的面积.【答案】（I） 3（n） 【解析】（I ）运用正弦定理可解决此问题;决此问题.【详解】1cosADB =-（I）在中，因为,2禺sin-ADB - -所以-.BDAB由正弦定理 m15 .如图，在 ABC 中,nA = -4 AE二4BC =/17,点

14、D 在 AC 边上，且（n ）运用余弦定理和三角形的面积可解第15页共 20 页所以(n)因为z: i 川 -cosCDB = cos(n -ZADB) =- cos-ADB =在 ABCD 中 由余弦定理= BD+_BD - CD - COS-CDB17 :得21= 9 + 8 -2 x3CDx-3解得 -或*（舍）S = -BD CD sinCDB所以：1的面积J【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利

15、用函数思想求最值16 .北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km，共设 13 座车站.目前八通线执行 2014 年 12 月 28 日制订的计价标准，各站间计程票价（单位：元）如下：四惠333344455555四惠东33344455555咼碑店3334444555传媒大学333444455所以所以sinCDB = s in(n - MD0) = sinADB =sinCDB =22ABsinBAD6D =sinADB3SiEtD= -BD - CDsin-CDB第16页共 20 页双桥33344444管庄3333444八里桥333344通州北苑33333果园3333九棵树33

16、3梨园33临河里3土桥四惠四惠东高碑店传媒 大学双桥管庄八里桥通州 北苑果园九棵树梨园临河里土桥（I）在 13 座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5 元的概率；（n）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为X 元，求 X 的分布列；（川）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为元；乙从土桥站上车， 任选另一站下车， 记票价为 元试比较 和 的方差和”：大小（结 论不需要证明）21P（A）二【答案】（I）（n）见解析；（川）:【解析】（I）记两站间票价不足 5 元为事件 A,在 13 座车站中任选两个不同

17、的车站，C2一基本事件总数为个，事件 A 中基本事件数 63.由此能求出两站间票价不足5 元的概率.（n）记甲乙花费金额分别为a 元，b 元.X 的所有可能取值为 6, 7, 8, 9, 10,分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列.第17页共 20 页（川）D D n【详解】第18页共 20 页(I)记两站间票价不足 5 元为事件 A,在 13 座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为78 个，事件 A 中基本事件数为 78-15=63 .21P(A)=所以两站间票价不足 5 元的概率-.(n)记甲乙花费金额分别为元，元.X 的所有可能取值为 6, 7, 8, 9, 10.1=6) =

18、 P(a = 3)=-9P(X=1=7) = P(a = 3tb = 4) + P(a = 4*b = 3)=649=S) = P(a = 3fb = 5) + P(a = 5b = 3)+ P(a =虬 b = 4)=1445P(X = 9) = P(a = 4) + P(a = 4Tb = 5)=-2425P(X= 10)= P(a = 5,b = 5)-144所以 X 的分布列为X678910Ip111491r614424144【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、方差的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.AA1_3, D, E 分另 U 为 AB,

19、 BC 的中点.17 .如图，在三棱柱ABC-A.BX.1 1 1中,底面,7 ABC 是边长为的正三角形,第 I19页共 20 页AA,（i）求证：爲-平面；（n）求二面角的余弦值；（川）在线段 上是否存在一点 M，使：|平面，？说明理由.vio【答案】（i）见证明；（n）:（川）见解析【解析】（I）推导出 AAl丄 CD , CD 丄 AB，由此能证明 CD 丄平面 AAiBiB.（n）取AIBI中点 F，连结 DF，如图空间直角坐标系 D- xyz,利用向量法能求出二面 角 B - AE -B1的余弦值.p入口匚（川）假设线段 BiCi上存在点 M，使 BM 丄平面ABIE.则？入, 1

20、，使得 .求出平面 ABi法向量，利用向量法能求出在线段 BiCi上不存在点 M,使 BM 丄平面 ABiE.【详解】（I）证明：在三棱柱 中，因为，底面,CD?平面 ABC所以.又为等边三角形，为的中点，所以.因为“,所以平面;A （n）取中点，连结，贝 U因为 分别为， 的中点，所以一 .由（I）知-,第20页共 20 页如图建立空间直角坐标系D - xyz第21页共 20 页假设线段上存在点 M 使|平面 则 仏阴，使得 BW 码 q 因为斥广（5 向，所以叮恥向）又 BB (0,3,0)所以 BM = BB1+ B1M = 3屜)巧(40)D0g) )55AE=(-?MAB广（0）2令

21、，则，即平面 BAE 法向量AA2nCOO) 因为AA42A/101+-+3=93?cosAAn =所以AA1ni _ J1DAAi|nl10vio所以它的余弦值为：（川）解：在线段上不存在点P:KA|AB_ EM 使，平面 .理由如下.由 题 意 得:第22页共 20 页由(n)可知，平面EM丄平面 AE,当且仅当 EMlIri即)，使得一 9A = -e 0, i|解得:所以在线段 上不存在点 M 使平面：.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查学生的计算能力，是中档题.xZ

22、V2毎+ = l(a b 0)兰18 .已知椭圆：过点 I ,且椭圆的离心率为：.(I )求椭圆的方程；(n)斜率为 的直线 交椭圆于 , 两点，且.若直线 上存在点 P,使得 - 是以 为顶角的等腰直角三角形，求直线 的方程.2K 2 1一+ = 1【答案】(I )( n ) y=x -1孑+帝2.2N【解析】(I)由椭圆 C:日 b 1 (a b 0)过点 A (0,1),且椭圆的离心率为2, 列方程组求出 a, b,由此能求出椭圆 C 的方程.、(n)设直线 I 的方程为 y= x+m, P ( 3, yp)，由 x + m，得 4x2+6mx+3m2- 3= 0,利用根的判别式、韦达定

23、理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线I 的方程.所以第23页共 20 页【详解】第24页共 20 页所以直线的方程为 y=x-1 .【点睛】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题.解得 2X2+ 二 1所以椭圆的方程为(H)设直线 I 的方程为 y=x+m,一 + =132 2由：_-、- I-得.! -. - rr rx i 打 T2 2令 A = 36m - 48m + 48 0 得332x + x =- -m x x, = -m -1)?21 24因为ld-所以平行于轴.过丁做的垂线

24、，则垂足：为线段 的中点.x2+ 3设点的坐标为，贝 U由方程组3百+ x* =-一m，1 232 们xdx, = -(m -1)，1242+ 3X】=- ，+ 2m + 1-0?2)?b = 1.第25页共 20 页佃已知函数,其中.第26页共 20 页(I) 求 的单调区间；(n)设，若曲线，： 有公共点，且在点 处的切线相同，求 的最大值.【答案】(I)的单调递增区间为：，单调递减区间为 - ； (n)【解析】(I)求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对函数定义域分段，再由导函数在不同区间段内的符号可得原函数的单调性;m = -a2- a2ln-h 代)=-t2-t2ln

25、Ht0)42( (a 0)设 42，利用导数求其最大值得答案【详解】(I) 的定义域为 -.af( (X) )=-；Xa(a - x)Jx (a0)令 f(K)- 0,得臼.II当“丽)时，； 当 X E ( + )时，f( () )vo所以.的单调递增区间为，单调递减区间为；(n)设点的横坐标为：,则一ra2lnx0-ax0= x - m,21-3 = 2X0.由题意得力a由：得 或.(舍).m=-32-a2lr4所以.(n)设点P 的横坐标为Xo(X0 0),由题意得，得到2f (x) =； a因为第27页共 20 页令 h(t) = 0,得 22.1当-时，I ,|单调递增；1当.时，hQi, I 单调递减.1 1所以在：-的最大值为:,1即的最大值为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导