2019-2020学年江苏省连云港市高二上学期期末数学试题(解析版)

1、第1 1页共 1717 页2019-2020 学年江苏省连云港市高二上学期期末数学试题一、单选题1 1.命题“xR R,X2x 10”的否定是2A A .XR R，X X 1 02C C.xR R,x x 1 0【答案】A A【解析】 根据命题的否定规则进行判断【详解】命题“xR R,x2x 10”的否定是x【点睛】此题是容易题，考查基本概念。22 2 双曲线寸1的渐近线方程是（4A A.x 2y 1B B.x 2y 0【答案】B B【解析】 根据双曲线的渐近线的定义求得。【详解】2双曲线y21的渐近线方程是x 2y4【点睛】此题是容易题，考查双曲线的基本定义。3 3. M M v N N”是

2、log2M log2N”的（A A 充要条件C C 必要不充分条件【答案】C C( )2B.B.xR R,xx1 02D D.xR R,xx1 0R R,x2x 1 0。故选：A.A.)C.C.2x y 1D D.2x y 00，故选：B.B.)B B .充分不必要条件D D .既不充分也不必要条件【解析】 利用对数函数的定义域是单调性可判断。【详解】第2 2页共 1717 页若log2M log2N，则M N,M0,N0，故可以推出M N若M N，不能推出log2M log2N，比如M=0,N=1不满足log?M log2N，故选：C.C.【点睛】 此题为容易题，考查充分条件和必要条件的概念

3、和对数函数的定义域和单调性。vvvv4 4.已知向量a（, 6 6, 2 2）,b（- 1 1, 3 3, 1 1），满足ab，则实数的值是（A A . 2 2B B. 6 6C C. - 2 2D D . - 6 6【答案】C C【解析】根据向量平行的性质求解【详解】vv62因为a/b，所以，解得2。故选：C.C.131【点睛】此题考查向量平行的性质，属于基础题2 25 5 已知点 F F1, F F2是椭圆 E E :X y1的左、右焦点，点 P P 为椭圆 E E 上异于左、167顶点的任意一点，贝U PFPF1F F2的周长是（）A A. 1010B B. 1111C C. 1212D

4、 D. 1414【答案】D D【解析】 先算出椭圆的长轴长和焦距，再结合椭圆定义算得周长。【详解】根据椭圆定义，P到斤和F2的距离之和为长轴长PF1PF22 16 8，而F1F22 16 7 6, ,故而三角形PF1F2的周长为PF1PF214。故选：D.D.【点睛】此题考查椭圆的定义，为基础题。6 6 .等差数列an中，已知a79,S 5，则S8的值是（）A A . 2323B B . 3030C C . 3232D D . 3434【答案】C C【解析】 根据已知可以先求出首项 印和公差 d d,再利用等差数列前 n n 项和公式求出【详解】5 4由题an是等差数列，则有37316d 9,

5、S55a1d 5，解得印S80第3 3页共 1717 页2第4 4页共 1717 页87d 2，故S88 ( 3)232. .2故选：c.c.【点睛】 此题考查等差数列的性质，属于基础题。7 7 .如图，在三棱锥 S SABCABC 中，底面 ABCABC 是边长为 3 3 的正三角形，点 P P, Q Q 满足【答案】C C【解析】先过点 Q Q 作 SBSB 的平行线，将异面直线 PQPQ, SBSB 所成角转化为平面角，然后再利用三角知识求得所成角的大小。故选: :C.C.【点睛】uuvAP2PB，SQ2QC,SB,SB= 3,3, PQPQ= 2 2，则异面直线 PQ,PQ, SBSB

6、 所成角的大小是（B B. 4545C C. 6060 D D .作 BCBC 的三等分点 R R,使得 BR=2RCBR=2RC ,连结 QR,PRQR,PR。因为QCSCRC 1丄，所以QR 1且BC 3QR/SB。PQPQ, SBSB 所成角的大小为PQR根据余弦定理PR22 2PB RB 2PB RB cos ABC而又根据余弦定理PR2 2 2PQ RQ 2PQ RQ cos PQR 221 4cos PQR所以322124cos PQR,解得cos PQR-，故 PQPQ, SBSB 所成角的大小为60o. .2A A . 3030 【详第5 5页共 1717 页此题考查空间几何，

7、并且和解三角形综合起来一起考，是一道综合题。第6 6页共 1717 页2x8 8.已知椭圆 E E:飞a2y21(a(a b b 0)0)，直线 x x -与椭圆 E E 交于 A A ,B,B 两点，且 0A0A 丄 OBOBb22(O O 为坐标原点)，则椭圆 E E 的离心率是()A A 666B B.C C 仝D D 丄333【答案】D D【解析】 将直线 x x=-代入椭圆方程，可以得到 A A, B B 两点的坐标，OA丄 OBOB 并且直线2ax x= 垂直于 X X 轴，可知在三角形VOAB中，斜边的高等于斜边长度的二分之一，再结2合a2b2c2可得离心率 e e。【详解】a

8、a3故选：D.D.【点睛】 本题考查了椭圆离心率的定义，属于容易题。、多选题9 9 .已知等比数列an中，满足a11，公比 q q- 2 2，则()A A .数列2anan 1是等比数列B B .数列an 1an是等比数列C C .数列anan 1是等比数列D D 数列log24是递减数列【答案】BCBC【解析】 利用等比数列通项公式逐个选项去验证即可。【详解】因为an是等比数列，所以an 12an,2anan 10,故 A A 错；n 1z八n 1 & 1/八n &一ana1q ( 1)2,a. 1( 1) 2,于是an 1an( 1)n2n( 1)n 12n 13 2n 1，故何1%是等比

9、数列，故 B B 正确；anan 1( 1)n 12n 1( 1)n2n( 2)2n 1，故 C C 正确；log2,ajlog?1n 1,a代入写2 a2b2b，又因为 OAOA 丄 OBOB 有-b 故离心率第7 7页共 1717 页是递增数列，故 D D 错。故选：BC.BC.【点睛】此题考查了等比数列的通项公式和与等比数列相关数列的性质，属于中档题。uuuvAC= (4(4, 2 2, 0)0)，则()【答案】ACAC出答案。【详解】uuyBC （6,1, 4），各个对应分量的比例不同，故D D 不正确。故选: :ACAC。【点睛】本题考查了向量平行和垂直的性质等，属于基础题。1111

10、.已知 p p, q q 都是 r r 的充分条件，s s 是 r r 的必要条件，q q 是 s s 的必要条件，则（）A A . p p 是 q q 的既不充分也不必要条件B B. p p 是 s s 的充分条件C C . r r 是 q q 的必要不充分条件D D. s s 是 q q 的充要条件【答案】BDBD【解析】逐项列出每个条件，然后根据充分条件和必要条件的概念判断即可。【详解】因为p r,q r,r s,s q，故p s,q s，故选: :BD。【点睛】此题考查充分条件和必要条件的概念，属于基础题。2X21212 .设 P P 是椭圆 C C:y 1上任意一点，F F1, F

11、F2是椭圆 C C 的左、右焦点，则（）2A A . PFPF1+ PFPF2=2 2B B. - 2 2v PFPF1- PFPF2V 2 2uuu/ uuuvC C . 1 1 哥 F F1PFPF2W2D D . 0 0 b b0 0）的焦距为 2 2 准线方程为 x x = 3 3,则该椭圆的标a b准方程是 _;直线y X与该椭圆交于 A A, B B 两点，贝UABAB=_.2 2【答案】 1 乞1 X325【解析】根据椭圆的定义和准线方程可求得第一问，联立椭圆和直线方程再通过韦达定理计算可求得第二问。【详解】22c 2, 3，解得a 3,c 1，再解出b,a2c2、厂 ，所以椭圆

12、的c2 2标准方程是x y1。设 A A 坐标为（X1, yj, B B 坐标为（X2,y2），直线 ABAB 的斜率为32k k。则AB(X1X2)2(y1y2)2.1 k2(X1X2)24x1X22 2联立X y1和y x .2消去y得2X23(X、2)26 0，化简得325x26 2x 0所以x1x2- -,x(X20。故5AB .1 k2(x1x2)24x1x2、26 2 12. .55故答案为： 壬 1 1；(2)(2) 2325【点睛】 本题考查椭圆的基本概念还有直线和圆锥曲线的相交弦，属于中档题。331616.已知数列an的前 n n 项和为Sn,a19,SnSn 1n2n 1（

13、n N）,则22【答案】20202020第1111页共 1717 页【解析】可以通过给出的递推公式做差来求出此数列相邻两项和,形式，【详解】3,3232n 1,故有乳刃1)沙1)1，从而L (3 2 3) (- - 1) 920202 2故答案为：20202020【点睛】此题考查了一般数列的性质，通过递推公式来计算数列的前 n n 项和，另外要注意 n n 的奇偶性，此题给出的是 n n 是偶数，如果是奇数，则容易一些。此题属于偏难题。四、解答题2 21717 .已知 p p:方程 1表示的曲线是焦点在 x x 轴上的双曲线；q q： a2a2.2m m 2(1) 若命题 p p 为真，求实数

14、 m m 的取值范围；(2) 若 p p 是 q q 的必要条件，求实数 a a 的取值范围.【答案】(1 1)(0,)(2 2)(0,)【解析】(1 1) p p 为真命题，那么有2m 0和m+2 0成立，直接解得 m m 的取值范围；(2 2)由充要条件可知q p，故a,a 2包含于(1 1)中所求得的 m m 取值范围内，解 不等式即可得 a a 的取值范围。【详解】2 2解：(1 1 )因为方程 1表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线，2m m 2所以2m 0,解得m 0,所以命题p为真时实数m的取值范围为(0,).最后凑出前 n n 项和的因为5 Sn 1二者相减得Sn2Sn32(n 1

15、)3(n 1) 1(3n22 23n 1) 3n 3，2(S52S50)(S50S48)L(S4S2)(S1S2)S1(3 50 3) (3 48 3)第1212页共 1717 页m+2 0,(2 2)因为p是q的必要条件，所以q p，所以a,a 20,，故a 0.综上，实数a的取值范围为(0,).【点睛】本题考查双曲线的性质以及简单逻辑用语，分析题意认真求解即可。1818 河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面8m8m,拱圈内水面宽 24m24m，一条船在水面以上部分高6.5m6.5m，船顶部宽 6m6m.(1) 试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；(2)

16、近日水位暴涨了 1.54m1.54m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少 ？(精确到 0.1m0.1m)【答案】(1 1)直角坐标系见解析，拱桥所在的抛物线方程是x218y(2 2) 0.6m0.6m【解析】(1 1)根据图形建立直角坐标系，设出拱桥所在的抛物线方程，设拱桥与水面两 交点分别为A,B，由坐标系可知 A,BA,B 两点的坐标，将其中一个代入抛物线方程，即 可得；(2 2)根据船顶宽6m6m，可知船顶距离拱桥最高点的极限高度h h，再由6.5 1.54(8 h)，可知船身应降低高度。【详解】解: (1 1 )设抛物线型拱桥与水面两交点分别为A,B

17、，以AB垂直平分线为y轴，拱圈最高点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，第1313页共 1717 页则A( 12, 8),B(12, 8),设拱桥所在的抛物线方程为x22py(p 0),因点A( 12, 8)在抛物线上，代入解得p 9，第1414页共 1717 页故拱桥所在的抛物线方程是X218y.(2 2)因x218y，故当x 3时，y 0.5,故当水位暴涨 1.54m1.54m 后，船身至少应降低6.5 1.54 (8 0.5)0.54,因精确到 0.1m0.1m，故船身应降低 0.6m0.6m.答：船身应降低 0.6m0.6m，才能安全通过桥洞.【点睛】本题考查抛物线性质，是一道实际应用题

18、，难度不大。1919 .如图，已知点 E E, F F 分别是正方体ABCD ABCP的棱 BCBC 和 CDCD 的中点，求:进而得到夹角；(2 2)根据空间坐标先求出平面B1CD1的法向量，再求法向量与AF所成的角，进而可得直线与平面所成角的正弦值。【详解】uuiv uuiv UULUV解：不妨设正方体的棱长为1 1，以DA,DC,DD1为单位正交基底，建立如图所示【答案】(1 1) (2 2)上339【解析】UUVUUUVUUUV(1)1)建立直角坐标系，以点 D D 为原点，DA方向为 x x 轴，DC方向为 y y 轴，DD1(2)AF与平面B1CD1所成角的正弦值.方向为 z z

19、轴，求出空间向量的坐标，再进行计算可得两向量夹角的余弦值,UULWUUI(1(1)A.D与 EFEF 所成角的大小;第1515页共 1717 页【点睛】空间直角坐标系D xyz，则各点坐标为A(1,0,O),C(0,1,O),G(0,1,1),1 1A(1,0,1),Bi(1,1,1),Di(0,0,1),E(2,1,0),F(0,-,0).uuuvuuiv11(1)因为A1D ( 1,0, 1),EF (丄，丄,0)，所以2 2uuuv ,-2-2AD7( 1)0 ( 1)uuuv uuv 1AD EF 02uuuv uuv由cos01,2iuuv uuvAD EFuiuv uuvA1D E

20、Fuuuv uuv2，因AD,EF0,故向量n uiuv. uuv夹角为因此，AQ与EFtAD与EF3所成角的大小为uuu1uuuvuuuuuuuv(2 2)AF(1,?1)，AC1(1,1,1)，D1B(1,1,0)，D1Cuurn uuuiu/uuuv uuuv因为AC1D1Bl1 1+1 1+10=0，AC1DC1 0+11+1所以uurnuuuvuurnuuuvAC1D1B1，AC1D1CuuuvuuuvD1B1C的法向量;uuuvAC1(1)212123，uuuv uuuvAF AC1所以，cos11 ( 1)丄21 ( 1) 1综上,uuuvuuuvuuuvuuuvA1F AC1u

21、uuruuuvA1F与平面D1B1C所成角的正弦值为uuvEF(；)23(0,1, 1),(1)=0,AC1是平面又DQ I DQ D1，所以AC1平面D1B1C，因此uiuv因为A1F329第1616页共 1717 页本题考查利用空间向量求异面直线的夹角，以及直线与平面所成角，是常考题型。(2)第1717页共 1717 页2020 .已知数列an的前 n n 项和为Sn，满足Sn32an( (nN) )；数列bn为等差数大值.可得an,再结合印可确定数列an的通项公式，即可得q和a2的值，进而得到 d 和b?的值，因为数列bn为等差数列，可求出公差 d d,然后得出数列bn通项公式；(2 2

22、)先根据数列an的通项公式求出Sn，再表示出-1，然后用裂项相消法求出Sn 1Sn S 1列.且aibi1,a2b348.(1)求数列an和bn的通项公式;(2(2)若 T Tn为数列1Sn 1_ 3Sn&1的前1023n n 项和，求满足不等式Tn骞的 n n 的最3 2【答案】(1 1) a anbn3n 1(2(2) 9 9【解析】(1 1 )根据等式Sn2an,令n1,可求出a1,再当n汽时，由anSSn 113数列3511SnSn 1的前 n n 项和Tn,最后判断满足不等式Tn10卑的 n n 的最大?10值.【详解：(1 1)因为Sn2an，所以当n1时，S3 2a1，解得anS

23、nSn 1(3 2an)(3 2an1),化简得an2an 1又耳3 0，所以anan0，因此2,an 1(2)第1818页共 1717 页所以an是首项为3公比为 2 2 的a an1,a2b348，即3 b148，所以b12,bs8,因为数列bn为等差数列，所以公差d12(b33，故bn3n由( 1 1)知an是首项为3公比为2 2 的等比数印(1qn、L 33 2n,所以_ 13 3 2n 1(3 3 2n) (3 3 2n 1)3(1 2n 1)3(1 2n) (1 2n1)第1919页共 1717 页【点睛】合题。2121.如图，在三棱锥 P P ABCABC 中，PAPA = 3

24、3, PBPB = PCPC = . 5 5 , ABAB = ACAC = 2 2, BCBC =空3(1) 求二面角 B B APAP C C 大小的余弦值；(2) 求点 P P 到底面 ABCABC 的距离.19【答案】(1 1)(2 2)-105【解析】(1 1 )两三角形ABP和 ACPACP 三边都相等，则两三角形全等，过B B 向 APAP 边做垂线，过 C C 向 APAP 边做垂线交于点 D D，那么/BDC就是要求的二面角，根据已知边长 和余弦定理可求出二面角大小的余弦值；(2 2)取BC中点E,连结AE,PE,在平面3(11 2n12n) (1 2n 1)1 13(2n1

25、Tn3(11(1再，即歹111024可得 2 2n 11 12 210所以n 9,综上，使得Tn丄哙的最大的3 210n的值为 9 9.本题考查求数列的通项公式，解题关键是anSn，在第二问中先运用了裂项相消法求数列的前 n n 项和，再进行讨论求出满足条件的n n 的最大值，是一道常考的数列综第2020页共 1717 页PAE中作PO AE，垂足为O，根据直线和平面的位置关系，结合各边的值以及余弦定理和正弦函数可得点 P P 到底面 ABCABC 的距离。【详解】1所以，二面角B AP C大小的余弦值为 .10在平面PAE中作PO AE,垂足为O.因为AB AC，所以AE BC同理PE BC

26、.又AE PE E,AE平面PAE,PE平面PAE，所以 BCBC 丄平面PAE. 因为PO平面PAE，所以PO BC.又PO AE,BCI AE E,BC平面ABC,AE平面ABC,所以PO平面ABC,因此，点P到底面ABC的距离即为PO的长；在Rt ABE中，AEAB2BE2AB2(1BC)2 5,Y23在Rt PBE中，PE PB2BE2PB2(1BC)2-4,V 23BD AP，所以CDAPAPAC，垂足为D，2,AP为公共边，所以ABP也 ACPACP，又所以/BDC为二面角B AP C的平面角;又PB2AB2PA2，所以PBA 90,故ABP的面积SABP1-AB PB212PAB

27、D，所以BDABPBPA2.53同理CD,在BCD中，cosBDCBD2CD2BC22BD CD110，（2 2）（法一）取BC中点E,连结AE,PE,解：（1 1 ）在ABP中作BD第2121页共 1717 页在PAE中，cos PAEPA2AE2PE242PA AE 5 第2222页共 1717 页9点P到底面ABC的距离为9.5BD CD D【点睛】本题考查求二面角的余弦值，以及点到平面的距离，运用了余弦定理2 ,2 2cos-等方法，题干中没有给出三边垂直的条件,2ab行解答。2x2222 .如图，点 F F 为椭圆 C Ca2告1(a(a b b 0)0)的左焦点，点b2右顶点和上顶

28、点，点P(P(2， 6 6) )在椭圆 C C 上，且满足 OPOP / ABAB .2(1(1)求椭圆 C C 的方程;(2(2)若过点 F F 的直线 I I 交椭圆 C C 于 D D，E E 两点(点 D D 位于 x x 轴上方)，直线 ADAD 和 AEAE所以AP 面 BCD,则VPABCVPBCD1VA BCD-PASBCD,在BCD中，BDCDcos故SBCD-DB DC sin2BDC则 V Vp ABC-PAPA S SBCD3 3在ABC中，AB ACBCBC宁，则SABC设点P到底面ABC的距离为h，则VPABC1hShSABC3 35 5 后9 9. .空，故3 3

29、hl1所以,在Rtsin PAE 1 cos2PAE35，95，PAO中，PO PA sin PAE综上,(法二)由(1 1 )知BDAP,CDAP，又BD面 BCD,CD 面 BCD,故没有用建系的方法进A A，B B 分别为椭圆 C C 的第2323页共 1717 页的斜率分别为ki和k2，且满足ki-k2=- 2 2,求直线 I I 的方程.2 2【答案】（1 1）乞1（2 2）x 3y 1 043【解析】（1 1）由题意可知3 b，再将点 p p 的坐标代入椭圆方程，可解出 a a，b b，2 2 a a即得椭圆 C C 的方程；（2 2）可设直线|的方程为x ky 1，将它代入椭圆方程消去 x x，得3因OP/AB，所以 k koPk kAB，则2 23(y3(y2yjyj到关于 y y 和 k k 的等式，再用 A A，D D