利用导数研究不等式

1、无利用导数研究不等式利用导数研究不等式利用导数证明不等式)()(xgxf在区间上恒成立的基本方法：（1）构造函数)()()(xgxfxh（2）根据函数的单调性，或函数的值域、最值证明0)(xh注意：（1）适用于适用于不等式两边都含有单个变量x时，证明不等式Dxxgxf),()(（2）不适用于不适用于不等式两边分别是两个不相关的变量的情况，如：maxmin2121)()(,),()(xgxfDxxxgxf（如果不存在最值则使用值域的端点值比较）1、教材 99 页 B 组利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：(1), 0(,sinxxx（2）) 1 , 0(, 02xxx（3）

2、0,1xxex（4）0,lnxexxx无2、 设a为实数， 函数axexfx22)(，Rx(1) 求)(xf的单调区间与极值.(2) 求证：当12lna且0 x时，122axxex无附加题：1、 （2011 新课标文） （21） （本小题满分 12 分）已知函数ln( )1axbf xxx，曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为230 xy。（）求a、b的值；（）证明：当0 x ，且1x 时，ln( )1xf xx.无利用导数研究方程解（函数零点）的情况利用导数研究方程解（函数零点）的情况研究函数)(xf的零点问题常常与研究对应方程0)(xf的实根问题相互转化：（1）已知含参函数)

3、(xf存在零点（即至少一个零点） ，求参数范围问题，一般可作为代数问题求. 即对方程0)(xf参变分离，得到)(xga 的形式，则所求a的范围就是)(xg的值域.（2）当研究函数)(xf的零点个数问题，即方程0)(xf的实根个数问题时，也常要进行参变分离，得到)(xga 的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解.无1、已知函数0, 13)(3aaxxxf（1）求)(xf的单调区间；（2）若)(xf在1x处取得极值，直线my 与)(xfy 的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.的取值范围求实数有两个不同的交点，与若曲线的解析式求取得极值函数时，和且当是常数，、已知函数mxmxxgxfyxfx

4、fxxabaRxxbxaxxf)02( ,3)()()2(;)() 1 (.)(21),0,( ,)(223无不等式恒成立与存在性问题不等式恒成立与存在性问题题型一：在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解，方法可采用“分离参数法”或“不分离参数法”直接移项构造函数.（1）若函数)(xf在区间 D 上存在最小值min)(xf和最大值max)(xf，则不等式axf)(在区间 D 上恒成立axfmin)(；不等式axf)(在区间 D 上恒成立axfmin)(；不等式bxf)(在区间 D 上恒成立bxfmax)(；不等式bxf)(在

5、区间 D 上恒成立bxfmax)(；无（2）若函数)(xf在区间 D 上不存在最大（小）值，且值域为),(nm，则不等式axf)(（或axf)(）在区间 D 上恒成立am ；不等式bxf)(（或bxf)(）在区间 D 上恒成立bn ；提醒：提醒：（1） “分离参数法” ，使得构造的函数中不含参数，避免了对参数的分类讨论；（2）对于不等式验证区间端点值成立的情形，一般采用“不分离参数法” ，它比“分离参数法”操作上简单.希望同学们视不同情形，选择不同方法。1、已知函数xxxfln)(（1）求)(xf的最小值；（2）若对于所有1x都有1)( axxf，求实数a的取值范围.无2、已知函数)( ,ln

6、)(Raxaxxf（1）当1a时，求函数)(xf在1x处的切线方程；（2）求函数)(xf的单调区间；（3）若在区间, e上，1)(xf恒成立，求实数a的取值范围.无3、设函数xxeexf)(（1）证明：)(xf的导数2)(/xf；（2）若对所有0 x都有axxf)(，求实数a的取值范围.无4、已知函数)0( ,2121ln)(2aRaxxaxf且（1）求函数)(xf的单调区间；（2）是否存在实数a，使得对任意 , 1x，都有?0)(xf若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.无题型二：不等式有解有解问题（1）若函数)(xf在区间 D 上存在最小值min)(xf和最大值max)(xf，则不

7、等式)(xfa 在区间 D 上有解max)(xfa ；不等式)(xfa 在区间 D 上有解max)(xfa ；不等式)(xfa 在区间 D 上有解min)(xfa ；不等式)(xfa 在区间 D 上有解min)(xfa ；（2）若函数)(xf在区间 D 上不存在最大（小）值，且值域为),(nm，则不等式)(xfa （或)(xfa ）在区间 D 上有解na ；不等式)(xfb （或)(xfb ）在区间 D 上有解mb ；例题：已知函数)(1)(,ln)(Raxaxgxaxxf若在e, 1上存在一点0 x，使得)()(00 xgxf成立，求实数a的取值范围.无题型三：不等式两边分别是两个不相关的变

8、量的情况（1）对bax,1，总存在nmx,2，使得)()(21xgxfmin2min1)()(xgxf（2）对bax,1，nmx,2，使得)()(21xgxfmin2max1)()(xgxf（3）对bax,1，nmx,2，使得)()(21xgxfmax2min1)()(xgxf（4）对bax,1，nmx,2，使得)()(21xgxfmin2max1)()(xgxf例题：已知函数)( ,ln2) 12(21)(2Raxxaaxxf（1）求函数)(xf的单调区间；（2）设xxxg2)(2，若对任意的,2 , 0(1x均存在,2 , 0(2x使得)()(21xgxf，求a的取值范围.无附加题：（2013 福建文）22（本小题满分 14 分）