乘法公式培优辅导讲义全

1、 乘法公式培优训练题型一：a±型1已知x23x+1=0，则=2若a2+=14，则a+5的值为3已知a+=7，则a3+的值是4已知=3，则=5（1）猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；（2）应用：已知x，求x2+的值；（3）拓展：代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值题型二：换元，整体思想1已知a+b=4，则=2已知（2017a）2+（2016a）2=1，则（2017a）（2016a）=3已知（2017A）2（2015A）2=2016，则（2017A）2+（2015A）2 的值为4计算（1）（+）（1）（+）的结果是5计算（a1+

2、a2+an1）（a2+a3+an1+an）（a2+a3+an1）（a1+a2+an）=题型三、添与凑1对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1（1）计算出算式的结果；（2）结果的个位数字是几？2 化简：6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=3计算下列各式：（1）1=；（2）（1）（1）=；（3）（1）（1）（1）=；（4）请你根据上面算式所得的简便方法计算下式：（1）（1）（1）（1）（1）（1）4（1）计算：（a1）（a+1）=；（a1）（a2+a+1）=；（a1）（a3+a2+a+1）=；（2）由上面的规律我们可

3、以猜想，得到：（a1）（a2017+a2016+a2015+a2014+a2+a+1）=；（3）利用上面的结论，求下列各式的值22017+22016+22015+22014+22+2+1 52017+52016+52015+52014+52+5+1题型四、化简求值1已知代数式（x2y）2（xy）（x+y）2y2（1）当x=1，y=3时，求代数式的值；（2）当4x=3y，求代数式的值3 已知a2+2a2=0，求代数式（3a+2）（3a2）2a（4a1）的值3（1）已知a2+b2=3，ab=1，求（2a）（2b）的值（2）设b=ma（a0），是否存在实数m，使得（2ab）2（a2b）（a+2b）+

4、4a（a+b）能化简为12a2？若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由4计算：（1）（48a6b5c）÷（24ab4）（a5b2）；（2）已知xm=3，xn=2，求x2m3n的值；（3）已知6x=5y，求代数式（x3y）2（xy）（x+y）5y2的值题型五、综合运用1如果等式x2+3x+2=（x1）2+B（x1）+C恒成立，其中B，C为常数，B+C=2已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（xy）22x+2y+1=0，求其面积3两个不相等的实数a，b满足a2+b2=5（1）若ab=2，求a+b的值；（2）若a22a=m，b22b=m，求a+b和m的

5、值4 已知|xy+1|与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值5 将4个数a b c d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义=adbc上述记号叫做2阶行列式，若=8求x的值6把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子（1）图1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积，你发现了什么结论？请写出来（2）图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连结BD、BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，试求阴影部分的面积7图1是一个长为2m，宽

6、为2n的长方形纸片（其中mn），先用剪刀沿图中虚线剪开成四块完全一样的小长方形，然后拼成如图2所示的大正方形（1）请用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积：；（2）写出关于（m+n）2，（mn）2，mn的一个等式（3）若m+n=10，mn=20，求图2中阴影部分的面积8从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）Aa22ab+b2=（ab）2Ba2b2=（a+b）（ab）Ca2+ab=a（a+b）（2）若x29y2=12，x+3y=4，求x3y的值；（3）计算：（1）（1）（1）（1）（1）9有一系

7、列等式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）24×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明10（1）已知a+b=3，ab=2，求代数式（ab）2的值

8、（2）已知a、b满足（2a+2b+3）（2a+2b3）=55，求a+b的值11如图，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图，长方形的两边长分别为m+2，m+4（其中m为正整数）（1）图中长方形的面积S1=；图中长方形的面积S2=比较：S1S2（填“”、“=”或“”）（2）现有一正方形，其周长与图中的长方形周长相等，则求正方形的边长（用含m的代数式表示）；试探究：该正方形面积S与图中长方形面积S1的差（即SS1）是一个常数，求出这个常数（3） 在（1）的条件下，若某个图形的面积介于S1、S2之间（不包括S1、S2）并且面积为整数，这样的整数值有且只有10个，求m的值12先阅读下面的容，再解决问

9、题，例题：若m2+2mn+2n26n+9=0，求m和n的值解：m2+2mn+2n26n+9=0m2+2mn+n2+n26n+9=0（m+n）2+（n3）2=0m+n=0，n3=0m=3，n=3问题（1）若x2+2y22xy+4y+4=0，求xy的值（2） 已知a，b，c是ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b41，且c是ABC中最长的边，求c的取值围26已知x、y互为相反数，且（x+3）2（y+3）2=6，求x、y的值2017年12月02乘法公式培优训练参考答案与试题解析一选择题（共11小题）1已知x23x+1=0，则=7解答解：x23x+1=0，x+=3，（x+）2=x2+2=9，x2

10、+=7故答案为：72化简：6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=732解答解：原式=（71）（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=（721）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=（741）（74+1）（78+1）（716+1）+1=（781）（78+1）（716+1）+1=（7161）（716+1）+1=7321+1=732故答案为：7323已知（2017a）2+（2016a）2=1，则（2017a）（2016a）=0解答解：（2017a）2+（2016a）2=1，（2017a）（2016a）2+2（2017a）（20

11、16a）=1，即1+2（2017a）（2016a）=1，2（2017a）（2016a）=0，（2017a）（2016a）=0，故答案为：04若a2+=14，则a+5的值为1或9解答解：a2+=14，a2+2+=14+2，即=16，a+=±4，a+5=1或9，故答案为：1或95已知a+b=4，则=8解答解：=（a2+2ab+b2）=（a+b）2=×42=8故答案是：86已知=3，则=119解答解：，=119，故答案为：1197已知（2017A）2（2015A）2=2016，则（2017A）2+（2015A）2 的值为4+24解答解：设x=2017A，y=2015A，x2y2=

12、2016，xy=±12，xy=2x2+y2=（xy）2+2xy=4±24x2+y20，x2+y2=4+24（2017A）2+（2015A）2=4+24故答案为：4+248已知a+=7，则a3+的值是322解答解：a+=7，（a+）2=49，a2+2=49，a2+=47，a3+=（a+）（a21+）=7×46=322故答案为：3229如果等式x2+3x+2=（x1）2+B（x1）+C恒成立，其中B，C为常数，B+C=11解答解：x2+3x+2=（x1）2+B（x1）+C=x2+（B2）x+1+C恒成立，B2=3，1+C=2，B=5，C=6，故B+C=11故答案为：1

13、110计算（1）（+）（1）（+）的结果是解答解：（1）（+）（1）（+）=（1）×（+）+（1）×（1）×（+）（）×（+）=（1）×+×（+）=（1+）×=故答案为：11计算（a1+a2+an1）（a2+a3+an1+an）（a2+a3+an1）（a1+a2+an）=a1an解答解：设x=a1+a2+an，y=a2+a3+an1，则原式=（xan）（y+an）yx=xy+xananyan2xy=an（xy）an2=an（a1+a2+an）（a2+a3+an1）an2=an（a1+an）an2=a1an，故答案为：a1an

14、二选择题（共16小题）12已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（xy）22x+2y+1=0，求其面积解答解：由题意得：2（x+y）=16，解得：x+y=8；（xy）22x+2y+1=（xy）22（xy）+1=（xy1）2=0，xy=1联立成方程组，解得：，长方形面积S=xy=×=cm2答：长方形的面积为cm213两个不相等的实数a，b满足a2+b2=5（1）若ab=2，求a+b的值；（2）若a22a=m，b22b=m，求a+b和m的值解答解：（1）a2+b2=5，ab=2，（a+b）2=a2+2ab+b2=5+2×2=9，a+b=±3

15、；（2）a22a=m，b22b=m，a22a=b22b，a22a+b22b=2m，a2b22（ab）=0，（ab）（a+b2）=0，ab，a+b2=0，a+b=2，a22a+b22b=2m，a2+b22（a+b）=2m，a2+b2=5，52×2=2m，解得：m=，即a+b=2，m=14已知|xy+1|与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值解答解：|xy+1|与x2+8x+16互为相反数，|xy+1|与（x+4）2互为相反数，即|xy+1|+（x+4）2=0，xy+1=0，x+4=0，解得x=4，y=3当x=4，y=3时，原式=（43）2=4915将4个数a b c d

16、排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义=adbc上述记号叫做2阶行列式，若=8求x的值解答解：根据题意化简=8，得：（x+1）2（1x）2=8，整理得：x2+2x+1（12x+x2）8=0，即4x=8，解得：x=216把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子（1）图1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积，你发现了什么结论？请写出来（2）图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连结BD、BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，试求阴影部分的

17、面积解答解：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）a+b=10，ab=20，S阴影=a2+b2（a+b）ba2=a2+b2ab=（a+b）2ab=×102×20=5030=2017图1是一个长为2m，宽为2n的长方形纸片（其中mn），先用剪刀沿图中虚线剪开成四块完全一样的小长方形，然后拼成如图2所示的大正方形（1）请用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积：（mn）2；（m+n）24mn（2）写出关于（m+n）2，（mn）2，mn的一个等式（m+n）2=（mn）2+4mn（3）若m+n=10，mn=20，求图2中阴影部分的面积解答解：（1）图2

18、中阴影部分的面积：（mn）2；（m+n）24mn；故答案为：（mn）2；（m+n）24mn；（2）关于（m+n）2，（mn）2，mn的一个等式：（m+n）2=（mn）2+4mn；故答案为：（m+n）2=（mn）2+4mn；（3）m+n=10，mn=20，图2中阴影部分的面积为：（m+n）24mn=1024×20=2018对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1（1）计算出算式的结果；（2）结果的个位数字是几？解答解：（1）原式=（31）×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）

19、5;（316+1）×（332+1）+1=（321）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1=（341）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1=（3321）×（332+1）+1=364；31=3，32=9，33=27，34=8135=243，36=729，每3个数一循环，64÷3=211，364的个位数字是319计算下列各式：（1）1=；（2）（1）（1）=；（3）（1）（1）（1）=；（4）请你根据上面算式所得的

20、简便方法计算下式：（1）（1）（1）（1）（1）（1）解答解：（1）1=；（2）（1）（1）=；（3）原式=；故答案为；（4）原式=20从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）（1）上述操作能验证的等式是B（请选择正确的一个）Aa22ab+b2=（ab）2Ba2b2=（a+b）（ab）Ca2+ab=a（a+b）（2）若x29y2=12，x+3y=4，求x3y的值；（3）计算：（1）（1）（1）（1）（1）解答解：（1）根据阴影部分面积相等可得：a2b2=（a+b）（ab），上述操作能验证的等式是B，故答案为：B；（2）x29y2=12，x29

21、y2=（x+3y）（x3y）=12，x+3y=4，x3y=3；（3）原式=21有一系列等式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）24×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果892（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）

22、+1是哪一个数的平方，并予以证明解答解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到8×9×10×11+1=（82+3×8+1）2=892；故答案为：892；（2）依此类推：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2，理由如下：等式左边=（n2+3n）（n2+3n+2）+1=n4+6n3+9n2+2n2+6n+1=n4+6n3+11n2+6n+1，等式右边=（n2+3n+1）2=（n2+1）2+23n（n2+1）+9n2=n4+2n2+1+6n3+6n+9n2=n4+6n3+11n2+6n+1，左边=右边22（1）已知a+b=3，ab=2，求代

23、数式（ab）2的值（2）已知a、b满足（2a+2b+3）（2a+2b3）=55，求a+b的值解答解：（1）a+b=3，ab=2，（ab）2=（a+b）24ab=324×（2）=17；（2）（2a+2b+3）（2a+2b3）=55，4（a+b）29=55，（a+b）2=16，a+b=±423如图，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图，长方形的两边长分别为m+2，m+4（其中m为正整数）（1）图中长方形的面积S1=m2+8m+7；图中长方形的面积S2=m2+6m+8比较：S1S2（填“”、“=”或“”）（2）现有一正方形，其周长与图中的长方形周长相等，则求正方形的边长（用含

24、m的代数式表示）；试探究：该正方形面积S与图中长方形面积S1的差（即SS1）是一个常数，求出这个常数（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于S1、S2之间（不包括S1、S2）并且面积为整数，这样的整数值有且只有10个，求m的值解答解：（1）图中长方形的面积S1=（m+7）（m+1）=m2+8m+7，图中长方形的面积S2=（m+4）（m+2）=m2+6m+8，比较：S1S2=2m1，m为正整数，m最小为1，2m110，S1S2；（2）2（m+7+m+1）÷4=m+4；SS1=（m+4）2（m2+8m+7）=9定值；（3）由（1）得，S1S2=2m1，当102m111时，m6，m为正

25、整数，2m1=11， m=6故答案为：m2+8m+7，m2+6m+8，24（1）计算：（a1）（a+1）=a21；（a1）（a2+a+1）=a31；（a1）（a3+a2+a+1）=a41；（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（a1）（a2017+a2016+a2015+a2014+a2+a+1）=a20181；（3）利用上面的结论，求下列各式的值22017+22016+22015+22014+22+2+152017+52016+52015+52014+52+5+1解答解：（1）（a1）（a+1）=a21；（a1）（a2+a+1）=a31；（a1）（a3+a2+a+1）=a41；故答案为：a2

26、1；a31；a41；（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（a1）（a2017+a2016+a2015+a2014+a2+a+1）=a20181；故答案为：a20181；（3）理利用上面的结论，求下列各式的值22017+22016+22015+22014+22+2+1=（21）×（22017+22016+22015+22014+22+2+1）=220181；52017+52016+52015+52014+52+5+1=（51）×（52017+52016+52015+52014+52+5+1）=×（520181）25先阅读下面的容，再解决问题，例题：若m2+2mn+

27、2n26n+9=0，求m和n的值解：m2+2mn+2n26n+9=0m2+2mn+n2+n26n+9=0（m+n）2+（n3）2=0m+n=0，n3=0m=3，n=3问题（1）若x2+2y22xy+4y+4=0，求xy的值（2）已知a，b，c是ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b41，且c是ABC中最长的边，求c的取值围解答解：（1）x2+2y22xy+4y+4=x22xy+y2+y2+4y+4=（xy）2+（y+2）2=0，xy=0，y+2=0，解得x=2，y=2，xy=（2）2=；（2）a2+b2=10a+8b41，a210a+25+b28b+16=0，即（a5）2+（b4）2=0

28、，a5=0，b4=0，解得a=5，b=4，c是ABC中最长的边，5c926已知x、y互为相反数，且（x+3）2（y+3）2=6，求x、y的值解答解：x、y互为相反数，y=x，（x+3）2（y+3）2，=（x+3）2（x+3）2，=x2+6x+9x2+6x9，=6，即12x=6，解得x=，y=x=故答案为：x、y的值分别是，27（1）猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；（2）应用：已知x，求x2+的值；（3）拓展：代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值解答解：（1）猜想a2+b22ab，理由为：a2+b22ab=（ab）20，a2+b22ab；（2）把x=5两边平方得：（x）2=x2+2=25，则x2+=27； （3）x2+2，即最小值为2三解答题（共4小题）28已知代数式（x2y）2（xy）（x+y）2y2（1）当x=1，y=3时，求代数式的值；（2）当4x=3y，求代数式的值解答解：原式=x24xy+y2（x2y2）2y2=4xy+3y2（1）当x=1，y=3时，原式=12+3×9=12+27=15（2）当4x=3y时，原式=y（4x3y）=029已知a2+2a2=0，求代数式（3a+2）（3a2）2a（4a1）的值解答解：（3a+2）（3a