4-2_力矩_转动惯量(08用)

1、第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动1 力可以使刚体转动，经验表明其效力可以使刚体转动，经验表明其效果不仅取决于果不仅取决于力力的的大小大小而且还与力的和而且还与力的和作用点作用点的位置有关。的位置有关。FF哪个力容易哪个力容易将门关上将门关上F 力力 在在转转动动平平面面内内：Pz*Or F r F 力力 的的作作用用点点相相对对转转轴轴的的位位矢矢M F 力力 相相对对转转轴轴的的力力矩矩MrF 大小：大小：MrF sin rF 与与 的的夹夹角角dFd d：力力臂臂

2、M 右手螺旋法则右手螺旋法则第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动2对于作定轴转动的刚体，一般规定：对于作定轴转动的刚体，一般规定：如力矩使刚体沿如力矩使刚体沿逆时针逆时针方向转动，力矩为方向转动，力矩为正正；如力矩使刚体沿如力矩使刚体沿顺时针顺时针方向转动，力矩为方向转动，力矩为负负；1. 力矩的力矩的三要素：三要素：（1）力的方向；）力的方向； （2）力的作用点；）力的作用点； （3）转轴位置）转轴位置 .F2. 若若力力 不不在在转转动动平平面面内内：zOk Pr F

3、 F F FFF F ：垂垂直直于于转转轴轴的的分分力力；F ：平平行行于于转转轴轴的的分分力力，力力矩矩为为零零。zMrF 第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动33. 合合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和 若在一个绕定轴转动的刚体上，且这几个外力都在转动若在一个绕定轴转动的刚体上，且这几个外力都在转动平面内，则它们的合外力矩等于这几个外力矩的代数和。平面内，则它们的合外力矩等于这几个外力矩的代数和。MMMM123 4. 刚体内作用力和刚体内作用力和反反作

4、用力作用力的力矩互相的力矩互相抵消抵消Ojr ir ijijF jiF dijjiMM Ormz刚体的内力矩之和为零刚体的内力矩之和为零第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4m1. 单单个个质质点点 与与转转轴轴刚刚性性连连接接Or mzF tF nF 合力合力MrF sin合力矩：合力矩：trF 其中：其中：ttFma mr角加速角加速度度tMrF mr2Mmr2质点质点的的转动惯量转动惯量Jmr2 质点所受合力矩与质点所受合力矩与角加速度的关系角加速度的关系MJ质点转

5、动惯性质点转动惯性大小的量度大小的量度此结论能否推广到刚体？此结论能否推广到刚体？第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动52. 刚体刚体Ozjm ejF ijF jm 所所受受合合力力矩矩：ijjFm ：所所受受合合内内力力jr ejijjjMMm r2 ejjFm ：所所受受合合外外力力; ;外外力矩力矩内内力矩力矩对所有质点求和：对所有质点求和： ejijjjjjjMMm r2 其中：其中： ijjM0 已已证证 ejjjjjMm r2 刚体刚体的的转动惯量：转动惯量：

6、 jjjJm r2 若质量连续分布若质量连续分布 jjjmjJm r20lim rm2d 刚体定轴转动的角刚体定轴转动的角加速度与它所受的加速度与它所受的合外合外力矩力矩成正比成正比 ，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比. .MJ第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动6 飞轮的质量为什么大飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？都分布于外轮缘？ 转动惯量大，不易转动惯量大，不易受阻力影响受阻力影响竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？竿子长，转动惯量大，较易

7、控制竿子长，转动惯量大，较易控制第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动71. 物理物理意义意义 转动惯量与物体的惯性物理意义一致，是转动惯量与物体的惯性物理意义一致，是物体转动惯性大小的量度。物体转动惯性大小的量度。2. 与转动惯量有关的与转动惯量有关的因素因素：（1 1）刚体的总质量；）刚体的总质量；（2 2）质量分布）质量分布； （3 3）转轴的位置）转轴的位置；3. 转动惯量的转动惯量的计算计算：（1）单个质点的转动惯量）单个质点的转动惯量Jmr2 （2）质量离散分布

8、刚体的转动惯量）质量离散分布刚体的转动惯量jjjJm r2 m rm r221 12 2 （3）质量连续分布刚体的转动惯量）质量连续分布刚体的转动惯量Jrm2d 1r3r2r1m2m3m转轴转轴md ：质质量量元元第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动8例例1 一一 质量为质量为 m 、长为、长为 l 的均匀细长棒，求通过棒中心的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量并与棒垂直的轴的转动惯量.O Ol解：解：rdrml 质量线密度质量线密度mrdd 转动惯量：转动

9、惯量：Jrm2d llrr/22/2d llr/23/213 l3112ml2112 例例2 如转轴过端点垂直于棒，试证明转动惯量为如转轴过端点垂直于棒，试证明转动惯量为Jml213 lO Odrr第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动9例例2 一质量为一质量为 m 、半径为、半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘中心的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量.OR解：解：ROrdr质量面密度：质量面密度：mS 2mR 圆环质量：圆环质量：

10、ddmS 2dr r d2dSr r 转动惯量：转动惯量：Jrm2d 302dRrr 412R212mR 第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动10l细杆细杆（转轴过中（转轴过中心与棒垂直）心与棒垂直）2112Jml细杆细杆（转轴过端（转轴过端点与棒垂直）点与棒垂直）l213Jml圆盘、柱圆盘、柱（转轴（转轴沿几何轴）沿几何轴）R212JmR圆筒圆筒（转轴沿几（转轴沿几何轴）何轴）1R2R221212Jm RR第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化

11、 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动11 质量为质量为 m 的刚体，如果对其的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为质心轴的转动惯量为 Jc，则对任，则对任一与该轴平行，相距为一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转轴的转动惯量的转动惯量dCOmOcJJmd2ORPP第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动12MJ刚体所受刚体所受合外力矩合外力矩刚体绕转轴刚体绕转轴的角加速度的角加速度Fma1. 隔离体法画示力图。隔离体法画示

12、力图。2. 对平动物体运用牛顿定律列方程；对平动物体运用牛顿定律列方程； 对转动物体运用转动定律列方程。对转动物体运用转动定律列方程。3. 角加速度与线加速度关系角加速度与线加速度关系ar 第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动13h,M Rmm例例3 如图，定滑轮（可视为圆盘）的质量为如图，定滑轮（可视为圆盘）的质量为 M，半径为，半径为R，物体质量为物体质量为 m。求物体由静止下落高度。求物体由静止下落高度 h 时物体的速度和时物体的速度和滑轮的角速度。滑轮的角速度。解

13、：解：m：maTmgmgTma M：TMgT RJ其中：其中：TT aRJMR212 mgTma TMa12 mgamM22 00 v下落高度下落高度 h 时物体的速度时物体的速度ah2 vmghmM22 滑轮角速度滑轮角速度R v mghRmM22 N第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动14m r00,m1m260 45 例例4 如图，斜面光滑，已知如图，斜面光滑，已知 滑轮可视为均质圆盘。求物体的滑轮可视为均质圆盘。求物体的加速度及绳的张力。加速度及绳的张力。mm12

14、1.0kg1.5kg ，mr000.2kg0.03m. ，解：解：m1：m1T1m g1N160 Tm gm a111sin60 m2：m2m g2T2N245 aam gTm a222sin45 m0：m r00,Nm g0T1T2 T rT rJ20100 其中：其中：TT11, TT22, a r0/, Jm r200 012 Tm gm a111sin60 m gTm a222sin45 TTm a21012第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动15m r00,m1

15、m260 45 例例4 如图，斜面光滑，已知如图，斜面光滑，已知 滑轮可视为均质圆盘。求物体的滑轮可视为均质圆盘。求物体的加速度及绳的张力。加速度及绳的张力。mm121.0kg1.5kg ，mr000.2kg0.03m. ，解：解：m1T1m g1N160 m2m g2T2N245 aam r00,Nm g0T1T2 mmammm210122sin45sin6022 10.73m s Tm am g111sin60 9.22N Tm gm a222sin45 9.30N Tm gm a111sin60 TTm a21012m gTm a222sin45 第七章静电场第七章静电场7 7 1 1

16、电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动16 例例5 有一半径为有一半径为R质量为质量为 m 匀质圆盘匀质圆盘, 以角速度以角速度0 0绕绕通过圆心垂直圆盘平面的轴转动通过圆心垂直圆盘平面的轴转动. .若有一个与圆盘大小相若有一个与圆盘大小相同的粗糙平面同的粗糙平面( (俗称刹车片俗称刹车片) )挤压此转动圆盘挤压此转动圆盘, ,故而有正压故而有正压力力N N 均匀地作用在盘面上均匀地作用在盘面上, , 从而使其转速逐渐变慢从而使其转速逐渐变慢. .设正设正压力压力N N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出和

17、刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出. .试试问经过多长时间圆盘才停止转动问经过多长时间圆盘才停止转动? ? 解解: 在圆盘上取面积微元在圆盘上取面积微元, 面积元所受对转轴的摩擦力矩面积元所受对转轴的摩擦力矩大小大小rlRNrFrfddd20rl drdfFd刹车片刹车片第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动17面积微元所受摩擦力矩面积微元所受摩擦力矩rlRNrFrfddd2圆环所受摩擦力矩圆环所受摩擦力矩22202d2ddddRrNrlRrNrFrMrf圆盘所受摩擦力

18、矩圆盘所受摩擦力矩NRRrNrMMR32d2d022圆盘角加速度圆盘角加速度MRNJM43NmRt0043停止转动需时停止转动需时0rl drdfFdR第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动18 例例6 一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动. 由于此竖由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作

19、用下由静止开始绕铰链动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动转动.试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角角时的角加速度和角速度速度.lm 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得作用，由转动定律得NFJmglsin21ml2loPNF第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动19式中式中231mlJ ddddddddtt得得sin23lg由角加速度的定义由角加速度的定义dsin23dlg代入初

20、始条件积分代入初始条件积分 得得)cos1 (3lgJmglsin21ml2loPNF第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动20 例例7 质量为质量为 的物体的物体 A 静止在光滑水平面上，静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质、质量为量为 的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为，并系在另一质量为 的物的物体体 B 上上. 滑轮与绳索间没有滑动，滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩且滑轮

21、与轴承间的摩擦力可略去不计擦力可略去不计. 问：（问：（1） 两物体的线加速度为多少？两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体）物体 B 从从BmCm 再求线加速度及再求线加速度及绳的张力绳的张力. 静止落下距离静止落下距离 时，时，其速率是多少？（其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为它们间的摩擦力矩为fMyAmABCAmBmCm第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第

22、四章第四章 刚体的转动刚体的转动21ABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmT2FT1FCPCFamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra 解解 计及滑轮质计及滑轮质量，物体量，物体A、B 作平动，作平动，滑轮作转动滑轮作转动.对系统作隔对系统作隔离受力分析，分别列牛离受力分析，分别列牛顿第二定律及转动定律顿第二定律及转动定律方程方程（1）第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动222CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2

23、)2(CBABCAT2mmmgmmmF如令如令 ，可得，可得0CmBABAT2T1mmgmmFF（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率2/22CBABmmmgymaytABCAmBmCmT1FT2F第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动23（3） 考虑滑轮与轴承间的摩考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩擦力矩 ，转动定律，转动定律fM结合（结合（1）中其它方程）中其它方程JMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa JMRF

24、RFfT1T2T2FT1FfMT2FBPBmAPT1FNFAm第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动242/)/(CBAfBAT1mmmRMgmmF2)2(CBAfCABT2mmmRMgmmmF2/CBAfBmmmRMgmaABCAmBmCmT1FT2FJMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa 第七章静电场第七章静电场7 7 1 1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第四章第四章 刚体的转动刚体的转动25解

25、：解：例例8 有一高为有一高为h，宽为，宽为 b ，质量为，质量为 m 的均质平板可绕一条的均质平板可绕一条通过其一端的竖直轴旋转，板上面元所受到的阻力和面元通过其一端的竖直轴旋转，板上面元所受到的阻力和面元的大小与面元的速度平方乘积成正比，比例系数为的大小与面元的速度平方乘积成正比，比例系数为 k 。板。板的初始角速度为的初始角速度为 0。试求其角速度随时间的变化规律。试求其角速度随时间的变化规律。o ohmb0 xdx面积元面积元Sh xdd 阻力阻力fkS2dd v kxh x2d x v阻力矩阻力矩Mx fdd khxx23d MMd bkhxx230d khb2414 转动惯量转动惯量Jxm2dd mbh mSdd Sh xdd mxxb2d JJd