两条直线的位置关系与对称问题

1、1.已知直线 ax 2y- 1= 0和直线x y+ 2= 0互 相垂直，则a的值为 ()1A. 1B. 3C 2D 23【解析】由题设可得X1=1,因此a=2,故选D.第63讲两条直线的位置关系与对称问题【学习目标】1. 掌握两直线平行、垂直、相交的条件，能灵活运用点到直线的距离公式及两直线平行、垂直的条件 解决有关问题.2. 掌握中心对称、轴对称等问题的几何特征和求解的基本方法.并能利用图形的对称性解决有关问题.【知识要点】1.两直线的位置关系的判定方法一：设直线 11： A1x + B1y+ C1= 0, 12： A2x+By+C2= 0(A仆B1不同为0; A2、B2不同为0).(1)1

2、1 与 12 相交? 2%(眷 |1),特况：h 丄I?2.实数 a= 0是直线 x 2ay+ 1= 0和2x 2ay+ 1 = 0 平行的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【解析】直线2ayM =0和2x-2ayM =0平行，贝 1>(-2a)-(-2a)>2=0, 得1=0.而a=时，直线+1=0与2x+1=0平行，故选? A1A2 + B1B2= 0.(2)l1 与 l2平行? A1b2= AQAC2A2Ci(或B1C23.已知直线 l: x y 1 = 0 , l1 : 2x y 2= 0，若 直线J和l1关于直线l对称，则

3、l2的方程是()A . x 2y+ 1 = 0B . x 2y 1 = 0C . x+ y 1 = 0D . x+ 2y 1 = 0【解析】设A(x, y),几(冷,y"分别是直线b、h 上关于l对称的点.S-yx1x则X + Xt2y+y12，求得1=0X1=y+11 = x1又点A1(X1, y"在直线l1上，则2x1y12=0将代入得 2(y+1) (x 1)2=0,即卩 x2y 1 = 0，故选B4.直线l1： x+ y= 0, l2： 3x y 6= 0和x轴围成的三A1B 2 = A 2B1且A1B1C1A1C2 = A2C1(或 B1C2 = B2C1HA2

4、= B? = C2)(3)l1与l2重合?方法二：若直线和l在斜截式方程i: y=k1x+b1,l2： y=kx+a，贝u(1) 直线h l2的充要条件 .(2) 直线h丄b的充要条件 .若l1和l2的斜率都不存在，则与-若l1和l2中有一条直线斜率不存在而另一条直线斜率为 则 .2 点到直线的距离，两条平行线的距离设点 P(x0, yo),直线 l: Ax +By+ C = 0,则 P 到 l |Axo + By°+ C|22的距离：d = 丫A + B ；(2)两条平行直线 l1: Ax+ By+ C1 = 0, l2： Ax + ByC1 C2|+ C2= 0之间的距离：d=A

5、2+ B2 .( l1和l2的方程必角形的面积等于须满足一次项对应系数相同).【解析】由 x+ y= 03x y 6= 0，又直线l1与x轴相交于点 0(0,0)，直线l2与x轴相交于点(2,0)，从而围成的三角形的面积S=2> I l=3=2"3 .中心对称(1)设平面上的点y')，若满足：X±2X_ 们称P、 P'两点关于点 中心.点与点对称的坐标关系:M(a, b)、P(x, y)、 y+ y' b2 = b，a,M对称，点 MP' (x',那么，我叫做对称设点P(x,y)关于M(X0,y0)的对称点 P '的坐标

6、是(x, y'),贝U ：x' = 2X0 xy' = 2y0 y4 .轴对称【已知两点题设2吧电到直线7,即3賈的皐离相等，则实数m的值务1 m + 1|m 7|,求得m =-或m = 6.2一、对称问题例1 已知直线l: 2x 3y+ 1 = 0,点A( 1， 2).求:(1)点A关于直线I的对称点A'的坐标；(2)直线m： 3x 2y6= 0关于直线I的对称直线m'的方 程.【解析】(1)设A' (xo, yo)和A( 1 , 2)关于直 线I对称.2 2X0+ 1 312x02 1 3yo 2y 2 + 1= 0(334(，”)33134

7、y0= U13 ' 131 = 0 0 即直线I与m的交点x = 4 y=3 ,B(4,3)在直线 m ' 上.解得*又在直线 m : 3x 2y 6 = 0上取一点 P(2,0),设P(2,0)关于2x 3y+ 1 = 0的对称点为P ' (xy1),(1) 设平面上有直线I: Ax, By, C= 0,和两点P(x, y)、P' (x' , y'),若满足下列两个条件：PP'丄直线I ； PP'的中点在直线I上 , 则点P、P '关于直线I对称(2) 对称轴是特殊直线的对称问题对称轴是特殊直线时的对称问题可直接通过代换

8、法 得解： 关于x轴对称(以y代y )； 关于y轴对称(以x代x )； 关于y = x对称(x - y 互换)； 关于x + y= 0对称(以x代 y，以y 代 x )； 关于x = a对称(以2a x代 x )； 关于y= b对称(以2b y代 y ).(3) 对称轴为一般直线的对称问题可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系：设点 P(X1, %) , Q(X2, y关于直线 I : Ax + By + C =0(AB和)对称，则也一現三 B恐航一 A5-直議系1,y1 2= 1X1 231则.,2X1, 2 y1,2 3 ；+ 1 = 0,解得$2,630P (13,

9、13).由对称性可知p '(洛,30)6x1= 13“ 即30y1=石在直线m'上.从而直线 m'的方程为3 30-313y 3 =6 (x 4),4 413即 9x 46y+ 102 = 0.三、距离公式和直线系及应用例3已知直线I经过直线2x+ y 5 = 0与x 2y= 0的交 占八、(1) 若点A(5,0)到I的距离为3,求I的方程;(2) 求点A(5,0)到I的距离的最大值.0)与血+砰+0=0平行的直线方程(包括原直端；Ax4咼4=0“为待定系数、(2)过41 兀+i?j?+G = QW41r+Ea)j+GI=0 的交点的直 线方程为；0+5+)+ 4 02

10、k+B + Cz)=O( 4 色不包含直绕4去+血叶口=衢二、两直线位置关系及应用例2已知两条直线 l1: ax by, 4= 0和 l2： (a 1)x + y + b= 0,求满足下列条件的a, b的值.(1) h丄 l2，且 h过点(3, 1)；(2) h/l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.【解析】(1)由已知可得的斜率必存在，12=1a.若kg=0,贝11a=0, a=1.Vl1±l2,直线!的斜率!必不存在，即=0.又.山过点(一3, 1),-3a+b+4=0, 即b=3a4= 10(不合题意，.此种情况不存在，附片0.【解析】 依题设可设I方程为(2x+ y 5)

11、+心2y)= 0,即(2 + 片x+ (1 2 讪一5= 0,则点 A(5,0)到 I 的距离 d= , |10；5" 5|»2 = 3, (2+ 入2+( 1- 2 入2，即2关一5入+ 2= 0,求得入=2或；,故I的方程为x= 2或4x 3y 5= 0.右k20,即卩冷、k2都存在，k2= 1 a, k1 =a，h丄I2,2x+ y 5= 0(2)由F “，x 2y= 0解得交点P(2,1).过点P任作一直线I,设d为A点到I的距离，则 dw |PA|,当I丄PA时，等号成立.4nax= lPAl=5 2 + 0 1 = /10-a二 k1 k2 = 1,即b(1 a

12、)= 1 又I1 过点(3, 1),.°. 3a+ b+4= 0. 由联立，解得a=2, b= 2.(2)V I2的斜率存在，屮I2,.直线I1的斜率 存在，k1= k2,即 b= 1 a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，且h I2,四、直线位置关系的综合应用 h、I2在y轴上的截距互为相反数，即b=b例4已知 n条直线：I1: x y+ c, = 0, c1=, I2: x y+ c = 0, I3： x y+ c3= 0,，In： x y + cn= 0(其 中c1< c2< C3Vv cn),这n条平行直线中，每相邻两 条直线之间的距离顺次为2、3、4、n.则联立

13、解得a= 2 b= 2s.或 a=3,b= 2(1)求 Cn；求x y + g= 0与x轴、y轴围成的图形的面积;(3)求x y+ Cn 1 = 0与x y+ q = 0及x轴、y轴围成图 形的面积.【解析】(1)原点O到I1的距离为1，原点O至U 的距离为1+ 2,，原点O到In的距离为dn= 1 + n(n+ 1 2+ + n =2,I22 a, b的值为2和一2或2和3备选题例5若直线I1: y= kx+ k+ 2与I2： + 4的交点在第一象限，求 k的取值范围.【解析】 解法一：.先求I1与I2的交点P(f(k),然后解不等式组fk尸0，求k的取值范围，gk)> 0法很自然，但

14、运算量较大，解略.然后解不等式组2.y=2xg(k),此想因为 Cn= 2dn，所以 Cn =+ 1 .(2)设直线In： x y+ Cn = 0交x轴于M，交y轴于N , 则 OMN 的面积S OMNn2(n + 1 24,十.n (n +12*所以 Sn=4 (n N ).1 12|OM | |ON| = 2c2 =由(2)Sn =呼(3)所围成的图形是等腰梯形，S= (n-12Sn -1 =4 ,-n2 (n+1 f (n 1 f n23所以 Sn Sn-1= n .44故所求面积为n3(n>2, n N*).解法二：注意到I2与x轴、y轴分别交于A(2,0)、B(0,4),由I1与I2的交点P在第一象限，知P在线段 AB内(即不含二端点)，即P内分AB.若设P(x。，y。)分AB所成的比为 入即AP= ?PB.” 2X°=1+ 入由(X0 2,