两角和与差的正弦

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式（对应学生用书（文卜（理）4950页）二 课前署黒呂I競二二:«*«-*«*掌握两角和与差的一角函数公式，能运用两 角和与差的正弦、余弦和正切公式进行简单 的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.了解用向量的数量积推导出两角差的余 弦公式的过程. 能从两角差的余弦公式推 导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两 角和与差的正切公式，体会化归思想的应用.1.(必修4Pio6习题1改编)计算cos42° cos18° cos48° sin 162 °的结果等于 答案：11 解析：原式=sin48

2、76;cos18°-cos48°sin18 °= sin(48 18°)= sin30°= ?.2.（必修4Pi04习题5改编）已知tan3 n27 ,tan 石 + 3 = 5 则 tan( a+ 3 =答案：1n解析：tan( a+ 3= tan ( an6)+ (6+tan3 )=1 ta nta nn(6+32+_7 + 5 =1.1 3 x 21753.（必修4P94习题2（1）改编）若sin a答案：-35,7tn5 n，则 cos a+74解析：由a上sin a=5，得 cos2，2 54a=5，由两角和与差的余弦公式得cosa+

3、5 n5 n=cos acos sin asin -44（cosa-sin a=10-sin 47 sin 17 cOs 30cos 17 °答案：2解析：因为 sin 47 = sin（30 ° 17°） = sin 30 cos 17°+ sin 17 cos 30 °所以原式=sin 30 cos 17 + sin 17 c6s 30 sin 17 cos 30cos 17 °=sin 301 1tan a5.（必修4P110例6改编）已知sin 二一,sin （：门，）= ，贝U的值为2 10tanB3答案：32解析：法-1

4、si n：cos： cos： si nF2 一1 一 sin jcos；： -costsin :1010 ； r 1 ； costs in :5从而tan :tan :sin : cos ：3 厂 35 一 cos _：isin ：10tan 二x =tan :. sin（二 Z） =5 sin（：-）sin（二 ' cos ： cos: sin（：-） cos ： cos:tan :-tan :=5.tan :tan :1. 两角差的余弦公式推导过程设单位圆上两点 P#cos a , sin a ), P2(cos 3 , sin 3 )，则/ POP2= a 3.向量 a= OP1

5、 = (cos a , sin a ), b= OP2= (cos 3 , sin 3 ), 则 a b= |a|b|cos( 3 = cos( 3 )由向量数量积的坐标表示，可知a b= cos a cos 3 + sin a sin 3 ,因而 cos( 3 = cos a cos 3 + sin a sin 3 .2. 公式之间的关系及导出过程一 "P S,利用rm字£r)f以7代0 J仙爲相除* # I初式槽除职-0代1I k-J I利用們和号MIf flI.B. - *3.公式cos( a- 3)= cos a cos+3sin a sin cos( 汁 3) c

6、os a cos-3in a sinasin(sin(tan(tan(3 = sin a co 3os a sin3 = sin a coa 3os a sin tan tan 33 = 1 + tan a tan 3 tan a tan 33 = 1 tan a tan 3333322ib4. asina+ bcosa=pa + b sin( a $ )其中 cos© =i 22)sinf 22)tan© =a寸 a + b'例 1(1)化简：tanotan+求值:2sin 50 ° + sin 10n + 9+ , 3tan(1 + ,3tan 10&

7、#176; ) ：2sin280° .9；(1)原式=tan9 tanintan _69 tan9尸衍.备课札记课中-技巧点拨题很R 牟题型1的终边所在象限由a、b的符号来确定.三角函数式的化简与给角求值°V2si n 80 °(2)原式=cos10 a73sin10 ° 2sin50 ° O5in10 中cos10=2迈sin 50 tos 10 asin 10 cos(60 10°1*5学教轉用辛必聊于迟馆、=2返sin(50 斗 10°= 2y2X23 = 6.变式训练(1)化简：sin(肝 75° )+ c

8、os(肝 45° ) , 3 cos(肝 15° );、旨 si n50 ° ( 1 + >/3ta n10°) cos20°计算：.cos80 1 cos20解：(1)原式=sin(阡45° + 30° + cos(叶 45° 3 cos(仲45° 30°13in(肝 45 ° + qcos(肝 45 °)+ cos(出 45 ° 2cos(肝 45°) .32sin(仲 45 °) = 0.厂cos10 ° V3sin10 &

9、#176;2sin40 ° 因为 sin50°1 + 3tan10°= sin50 cos10 °= sin50。而1，cos80°寸 1 cos20 = sin 10 °2sin210 ° =2sin210° sin50°1 + 羽tan10 ) cos20 ° 1 cos20 °所以-=2= 2cos80 ° 1 cos20v2sin 10题型2给值求值、求角问题例 2 已知 0<a<< 3 <n , tan= 2 cos( a =(1)求sin

10、a的值；求3的值.a 1解：(1) T tan = 2, sin a=sin 2 j = 2s“和忒：a2sin cosa2tan2 a 2 a2 asin ?+ cos 1 + tan?=41 + 广5.n(2) t 0< a<, sina=5,3 cosa =5n又 0< a<< 3< n, - 0< 3a<n.由 cos( a =需，得 sin( 3- a )器.=A(2 X3斗迟X 4 = 25伍=105 十 105 = 50 sin 3=sin( a> a = sin( 3- a cos a+cos( 3- a sin a,n3由

11、 2< 3< n,得 3= 4 n.或求cos3=j2，得 3= 3n变式训练如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角a, 3，它们的终边分别与单位圆相交于 A, B两点，已知A , B的横坐标分别为方f求：105(1) tan(汁3的值;(2) 4x2 3的大小.二亠義层售"9 1如教師用书炮術迟燐）解：由条件得 cos a=112, cos 3 =I12翻 =5 .P 1T a,B为锐角， Sin a 1 COS2 aO2, sin B - '1 cos 35?.sin a因此 tan a 7, tan 3COS asin 3 i一 2 cos

12、 3tan a+tan 3 tan ( + 3一1 tan atan 317 +117X 1一 一3.2tan 3(2) t tan2 3 一2_1 tan 31-广43,tan a+ta n2 3 tan( a+ 2 3):1 tan a tan2 37+ 3一一1.1 7x 33 n3 nI a,3 为锐角， O< a+23<p. +23-匚.题型3 有限制条件的求值、证明及综合应用问题例 3 已知 sin 3 一 msin(2 a+ 3 )(m 1)，求证：tan( a+ 3 ) 1 + mtan a 1 m证明：由 3 ( a+ 3 a, 2 a+ 3= ( a+ 3+ a

13、得 sin( + 3 a msin( + 3 + a即 sin( a+ 3 Cos a _ os( + 3)sin a=msin ( + 3 Cos a+cos( a+ 3 sin a ,即(1 m)sin( a+ 3 CoSa=(1 + m)cos( a+ 3 sin a. 两边同除以(1 m)cos( a+ 3 Cos a,1 + m得tan( a+ 3 一 tan a(m丰1)，即等式成立.1 m备选变式（教师专享）已知a nn,且sin(1)求cos a的值；3fn、若 sin( 3 一一 ?, 3 2, n，求 cos3 的值. 解：(1)因为 sin 2 + cos226,1两边同

14、时平方，得 sin an：最目羞©Fk7lJi GAG KAD /1学教轉用辛必聊于迟馆、n又2< a<n,所以cosa= 1 sin2 a= 23.nn（2）因为 2 V aVn, 2<3<n,nn所以一 2< a 3< .3 /口4又 sin（ a 3 =） 5，得 cos（ 5.cos 3=cos 一 （ 3 库 cos acos（ 一 3 ） sin asin（ 一 3）一区 4 +1 x（- 3 L 4 花 + 32 * 5 十 2 I. 5 厂 10.h新趕推荐11. （2015 江苏）已知 tana = 2, ta n（ + 3>

15、; 7，贝卩 tan 3 的值为 答案：3一 2+ tan 31解析：tan( + 3 )= *,贝V tan 3=3.1 + 2tan 32. (2015无锡期末)将函数y= .3cosx + sinx(x R)的图象向左平移 m(m > 0)个单位长度 后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是 .n答案：6m(m > 0)个单位长度后，所得到的解析：函数y= , 3cosx+ sinx(x R)的图象向左平移函数是y= 2sinn百 +m+ 3其图象关于y轴对称，则n nm + = s + k n, k®，贝U m 的最小32值是6.6(n 53. (2015南京

16、模拟)已知sin 7 x =亦，n0V x<G，cos2x答案:2413解析:因为xn 1n0,匚，所以4一x n因为sin - -x又 cos2x=cos n - 2 仝sin2 d -x131n|n'“=2sin （匚一x）cos x = 2cos 丿'4丿4 x丿M，所以 cos n 一x = n. 吨- x所以原式=沁：一 x = 13.4. （2015 金陵中学联考）在厶 ABC 中，已知 si nA = 13si nBsi nC , cosA = 13cosBcosC，则 tanA + tanB + tanC 的值为.答案：196解析：由题意 cosA, co

17、sB, cosC 均不为 0,由 si nA = 13si nBsi nC , cosA = 13cosBcosC, 两式相除得tanA = tanBtanC,又由 cosA = 13cosBcosC,且 cosA = cos(B + C) = sinAsinB cosAcosB , 所以 sinAsinB = 14cosAcosB,所以 tanBtanC= 14.又 tanB + tanC = tan(B + C)(1 tanBtanC) = tanA(1 tanBtanC), 所以 tanA + tanB + tanC= tanAtanBtanC = 196.精品逸库E壷亨)cos a s

18、in a、1. 已知 a B均为锐角，且 tan伊:，贝V tan(处3 )-cos 处 sin a答案：1cos sin a解析：/ tan 3=,cos 处 sin a1 tan antan 3= tan 4 a .1 + tan a4T a、3均为锐角，3=4 a，即卩 a+ 3= 44,ntan(计 3 = tan= 1.2. 函数 f(x) = sin(x + 2 $ ) 2sin $ cos(x + $ 的最大值为 .答案：1解析：t f(x) = sin(x + 2 $ 2sin $cos(x+ $)=sin(x + $ ) $ 2sin $cos(x + $)=sin(x +

19、$ cos $+cos(x + $sin $2sin $cos(x+ $)=sin(x + $ cos $cos(x + $ sin $=sin(x + $ ) $ sin x, f(x)的最大值为1.3.已知a才,n , sina二扌求 sin n + a 的值；罟2a的值.(1)求cos解:sin a= T，2" 55 .'n ) 上2 巫故 sin + a = sinTcos a+cos；sin a = x 丿 442(2)由(1)知 sin2 a=2sin acosa=2 x fx 5 :35，所以 cos a= 1 sin2 a 525105+ 2 X 5 = 10 .-V =-4,2cos2a=1 2sin a=1 2X2sin5n5 n5n ( J3V所以 cos $ 2a = cos6cos2 a+singsin2 %=专 *(3cos x 4 n , x R.4.已知函数f(x) = sin x+ 4 n十求f(x)的最小正周期和最小值；44已知 cos( 3 a ) = 5， cos