个正整数能够表示成两个正整数平方和的充分必要条件

1、一个正整数能够表示成两个正整数平方和的充分必要条件在上面第1楼的帖子中，证明了这样一个定理:第1楼帖子中定理 正整数 M 能表示成两个整数平方和的充分必要条件是：M 的素因子分解式中，所有形为4n 一1的素因子的幕指数都是偶数。2 2 注意，这个定理中说的是“整数平方和”不是“正整数平方和”所以，像9=30 ,2 2 2 249 =70, 441 =210这样的两整数平方和，都算是符合定理要求的。如果我们希望把上面这种带0的整数平方和的例子排除在外，把定理中的“整数平方和”改为“正整数平方和”那么，定理又会是怎么样的呢？为了证明这样的定理，下面先证明一个引理。, 2 2 2p,q ,引理 若有

2、 x y = z ，其中x, y,z都是正整数，（X,y）=1，则必有正整数2 2(p,q)=1 ,而且 p,q 奇一偶，使得 z = p q 。证 x, y不会都是奇数，否则2 2x y 是形为4n 2的数，不可能等于2z 。又因为（x,y） =1 , x, y也不会都是偶数，所以x, y必定一奇一偶，不妨设x是奇数，y是偶数，这时 z显然也是奇数，而且 z x , （x, z） =1。z + X z X因为乙X都是奇数，z X，所以,显然都是正整数。2 2这时有(hi 2222因为y是偶数，所以 上 是整数。又因为（x, z） =1，所以22中的任何一个素因子，或者全部在z亠X中，或者全部

3、在(宁Z 一 Xz - X）=1，所以2中。由于（）2中2的素因子的幕次都是偶数，所以中的素因子的幕次也都是偶数，可见z + x都是正整数，而且有因为Z X丁都是完全平方数，所以p,qz - x都是完全平方数。2 2-q 二假如（p,q） = d . 1，则（p2,q2） = d2 1 , z = p2 q2 , x = p2 - q2 就有公 因子d21，与（x,z） =1矛盾，所以必有 （p,q）=1 。假如p, q都是奇数或 p,q都是偶数，贝V p2 q2 , x=p2-q2显然都是偶 数，与（x,z） =1矛盾，所以 p,q必定是一奇一偶。定理正整数M能表示成两个正整数平方和的充分必

4、要条件是要满足下列两条：（1） M 的素因子分解式中，所有形为4n-1的素因子的幕指数都是偶数。（2） 如果 M 的素因子分解式中，不含有形为4n 1的素因子，则必有 M = 2z2 , 其中z是正整数。证先证明充分性。2 2 2如果 M 中不含有形为 4n 1的素因子，贝U M =2z z z ,显然这时 M 可以表示成两个正整数的平方和。如果 M 中含有形为 4n 1的素因子，再加上已知 M 中形为4n-1的素因子的 幕指数都是偶数，只要仿照 第1楼帖子中定理 的推导过程，就可证明这时 M 能表示成两 个正整数的平方和。再证明必要性。设已知M能表示成两个正整数的平方和，有M =x2 y2。

5、由第1楼帖子中定理可知，这时 M 中所有形为 4n-1的素因子的幕指数都是偶数。所以只要证明“如果M中不含有形为 4n 1的素因子，贝U必有M = 2z2”就可以了。因为 M 中不含有形为 4n -1的素因子，而所有形为4n -1的素因子的幕指数都是偶数，所以，M 只有两种可能：或者有 M =2z2，或者有 M = z2 。下面用反证法证明：当M 中不含有形为 4n 1的素因子时，不可能有M =x2 y2=z2 。2 2 2假设有 M =x y = z ，其中x,y,z都是正整数。设（x,y） =d，将 x,y,z 都除以 d，则有（x）2（y）（z）2 ,（x, y）才。d d d d d所

6、以，下面只要考虑（x, y） =1的情形就可以了。在满足 x2 y z2 , x, y,z都是正整数,（x,y） =1的解中，总可以找到z最小的一组解。显然Z = 1 ，所以必有 z z2 。2 2 2因为x y =z , x, y,z都是正整数，（x, y） = 1 ，所以根据上面的 引理，可知必有正整数 p, q , (p,q) =1，而且 p,q 一奇一偶，使得 z = p2 q2因为 p,q 一奇一偶，所以p2 q2是奇数，不含有因子 2。因为 M = z2中不含形为 4n 1的素因子，所以z中也不含形为 4n 1的素因 子。又因为 z可以表示为两个正整数的平方和，由第1楼帖子中定理 可知，这时，z中形为4n1的素因子的幕指数都是偶数。由此可见，z是一个完全平方数，所以必有正整数z1，使得z2p2 q2 。2 2 2 2 2由于 乙=