二次根式复习专题讲义补课用)

1、二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1. 二次根式：形如、a (a > 0)的式子叫做二次根式，“厂 称为二次根号。 .式子中，被开方数(式)必须大于等于零。 .,a (a>0)是一个非负数。 .(罷)2= a (a> 0); Va2=a (a >0)2. 二次根式的乘： .一般的，有|ya 品=+阪.(a0, b0) .反过来，有v'ab = Va X Jb ( a 0 , b0 )3. 二次根式的除：.一般地，对二次根式的除法规定:_a二冷（a0, b>0）,A -=-g （a0, b>0）b +E|.反过来，例2.当x是多少时，丄在实数范围

2、内有意义？X+1变式题1 :当X是多少时，,31在实数范围内有意义？变式题2:.当x是多少时，上卫+x ( a2 2a 1 )4在实数范围内有意义?X例3.已知y=、.k+.、口+5，求的值.y. | 小 _2004- 2004 占/士.右a 1 + .b -1 =0,求 a +b 的值.已知x-y 1+ x-3=0,求xy的值.例4.计算.(3、5)5. 计算.(,4x2 -12x 9)变式题：计算1.2.(2 ,3 3、2)(2、-3 - 3、2)例6.在实数范围内分解下列因式：(1) x2-3(2) x4-4(3) 2x 2-3例7.化简(1) .9(2) (-4)2(3)、25(4)(

3、3)2例8.填空：当a>0时，/=；当a<0时，.孑=,?并根据这一性质回答下列问题.(1 )若、a2=a，则a可以是什么数？(2 )若.a2 = -a，贝y a可以是什么数？(3) . a2>a,则a可以是什么数？例 9.当 x>2，化简(X：)2 - , (V2x)2 .例10.先化简再求值：当a=9时，求a+j-2a a2的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式 =a+.,(i匚a)2 =a+ (1-a ) =1；乙的解答为：原式 =a+.、(1-a)2 =a+ (a-1 ) =2a-仁17 .两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是变式题 1.若丨 1995-

4、a | +Ja2000 =a，求 a-19952 的值.(提示：先由a-2000 >0,判断1995-a?的值是正数还是负数， 去掉绝对值)变式题2.若-3 < X < 2 时，试化简丨 X-2 | + J(x + 3)2 + Jx2 - 10x + 25。例11 .计算(1)5 x ,7(2).1 x ,9(3)9 x 方(4). 1x J6分析：直接利用、-a b =、一 ab ( a> 0 , b> 0)计算即可.解：(1)、5 X ,7=. 35(2) 1 X 9=p=3(3) .,9 X . 27 = 927 ：92 3=9 3(4) 2 x.、.6加=

5、3例12 .化简(1) 、9一16(2) .1681(3) . 81 100(4)9x2y2( 5) x 54例13 .判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1 )4)厂9) j匸4-9(2 ) t 41 X , 25 =4 X. H X、25=4 筈 X . 25=4 12 =8、3变式题1:若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm和12cm, ?那么此直角三角形斜边长是().变式题2：化简a a的结果是().变式题 3: >A0i4=. V169X6变式题4: 一个底面为30cmX 30cm长方体玻璃容器中装满 水，?现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁

6、桶装满水时，容器中的水面下降了 20cm,铁桶的底面边长是 多少厘米？变式题5:探究过程：观察下列各式及其验证过程.2 _2 2(23 - 2) 2(2) 3验证：33 332 -13(32 -1) 3 _ 3(32 -1)3同理可得：432 -132 -14 1；4155 2：，通过上述探究你能猜测出:aa2 -1(a>0),并验证你的结论.例14.计算:832(3)(4)書例15.化简:649a264b2(3)9x64y2(4)5x169y2例16.已知9-x ,9-x且X为偶数，求(1+X)x2 - 5x 4x2 -1的值.变式题1.计算、讣变式题4.有一种房梁的截面积是一个矩形，

7、且矩形的长与宽之比为,3 : 1 , ?现用直径为3 ,15 cm的一种圆木做原料加工这种 房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？变式题5.计算 "事（-申）* 压（m>0 n>0）m Y 2mm V mV 2m -3-（ ?曾）乂厚（a>0）V 2a22 a2Ym-n的结果是（）.变式题2.阅读下列运算过程：1 _ V3 732 _ 2屈 _2兵3 3,335 55 5数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化” 那么，化简吕的结果是（）.变式题3.已知x=3, y=4, z=5，那么 “xy的最后结果是例 18.如图，在 Rt ABC中，/ C=90

8、°, AC=2.5cm, BC=6cm求AB的长.例19.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：同理可得：.43 = 4- 3，1 = 1( -.2)乜 /2仁3.2)( , 3 - .2)1 二仆(运1)_ 721 =臣_1 .2 1 ( .2 1)( . 2 -1) 2 -1 " '春=3-、2从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（+ 厂1 厂 + 厂1 厂 + 1） （ J2002 +1 ）的值.、2 1、3、2“4”3. 2002、2001练习：一、选择题1 .如果x （y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）

9、A .丄（y>0） B . xy（ y>0） C .（y>0） D .以 yy上都不对2 .把（a-1 ） , 一 1中根号外的（a-1 ）移入根号内得（）.Y a-1A . a-1 B .1-a C . - ,a-1 D . - ,1-a.在下列各式中，化简正确的是（A.5=3 15 B .2=±Y3V22C. , a4b =a b D .x3-x2=Xx-14 .化简雪的结果是(A . -T B2""3诗 D . -2、填空题.化简.x4 x2 y2 =i(x > 0)2 . a J孚化简二次根式号后的结果是 .三、综合提高题1.已知a

10、为实数，化简：.二3 -.已知.5 2.236，求(.80- ,14 ) - (, 3- +，45 )的值.(结V 5155果精确到0.01 )，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，？请写出正确的解答过程：2.若x、y为实数，且y=庄牛手乙，求j厂yR 的值.例20.计算(1 ) 、8+、18(2) 、16x +、64x总结：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式进行合并.例21 .计算(1 ) 3 . 48 -9 t 1 +3 12(2) (、.48 +、20 ) + ( .12 - ,5 )例 22.已知 4x2+y2-4x-6y+10=0

11、，求(2x、9x+y2 二)-3 v y(x2H )的值.练习：一、选择题1 .以下二次根式：.12 :辽2 ；，| :、27中，与，3是同类二次根式的是().A .和B .和 C .和D .和2 .下列各式： 3,3+3=6.3 : 5=1 :2 + 二=、8=22 ；=2 2，其中错误的有().A . 3个 B . 2个 C . 1个 D . 0个二、填空题1 .在 罷、x/75a、 x/9a、J125、J3a3、3/0.2、-2 .11 中，与33a庙是同类二次根式的有.2 .计算二次根式5-心-3" -7 2 +9 ,b的最后结果是 三、综合提高题 12 .先化简，再求值.（

12、6x 忆+三历3） - （4x E+J丽）,其中 x=2 , y=27.V X y y2例23.如图所示的Rt ABC中，/ B=90° 点P从点B开 始沿BA边以1厘米/?秒的速度向点 A移动；同时，点Q也从点B 开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点 C移动.问：几秒后 PBQ 的面积为35平方厘米？ PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二 次根式表示）例23.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m） ?例24 .若最简根式3aJb4a 3b与根式、2ab2 b3 6b2是同类二次根 式，求a、b的值.（？同类二次根式就是被开方数相同的最简二 次根式）练习：一、选择题

13、1 .已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5,那么斜边的长应为（）.（?结果用最简二次根式）A . 5 2 B . -、50 C . 25 D .以上都不对2 .小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，？为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一 根木条，木条的长应为（）米.（结果同最简二次根式表示）A . 13 '.100 B . 1300 C . 10 帀 D . 5 13二、填空题1 .某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m 3-2 .2= (、，2-1 )求：(1)3 2/2 ；(2) , 4 2.3 ；(3) 你会算 4

14、- 一 12 吗？( "3-1)（4）若；a 一 2. b = '、m _ n，则m、n与a、b的关系是什么?，?鱼塘的宽是m.（结果用最简二次根式）2 .已知等腰直角三角形的直角边的边长为.2 , ?那么这个等腰直角三角形的周长是 .（结果用最简二次根式）三、综合提高题1 .若最简二次根式2（3m2 _2与4m210是同类二次根式，求3m n的值.2 .同学们，我们以前学过完全平方公式a2± 2ab+b2= （a± b）2,你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所 有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3= （. 3 ）5= （ ：

15、5 ） 2,你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：（ 2-1 ） 2= （ -.2 ） 2-2 1 、2+12=2-2 2+1=3-2 2反之，3-2 2=2-2 ,2+1= ( ,2-1 )并说明理由.例25 .计算：(2) (4.6-3 ,2 )+ 2 互(1) ( ,6 + ,.8 ) X ,3例26.计算(1) ( .5+6) ( 3- 5)(2) ( .,10 +、7 ) ( .,10- ,7 )例27.已知 耳=2-x a，其中a、b是实数，且a+bz0, ab化简x+ x_ x，并求值。.x T、x 、x 1 -，x练习：、选择题1. ( , 24-3 ,15+2.2i)>

16、 X ；2的值是（）A.3-3 .30B. Q.3、30 - ” 333C . 2 30 - 2、3D.空用-30332.计算(x +, x-1)(.x- . x -1 )的值是A . 2 B . 3 C . 4 D . 1)二、填空题1.（-】 +鱼）2的计算结果（用最简根式表示）是2 22. （1-2 .3 ） （1+2,3 ） - （2 3-1 ） 2的计算结果（用最简二次 根式表示）是 .3 .若 x=V2-1，贝U x2+2x+1=.4 .已知 a=3+2 逅,b=3-2 <2，贝U a2b-ab2=.三、综合提高题化简亦+J7.1.14.1.21当"右时,求+x十疋

17、的值.X 1,x2 x（结果用最简二次根式表示）课外知识1 .同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，？这些二次根式就称为同类二次根式，就是本 书中所讲的被开方数相同的二次根式.练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A. ,2x 与 2y B .一 8a3b4 与' 9a5b8C. , mn 与n D . m n 与、m n2 .互为有理化因式：？互为有理化因式是指两个二次根式的 乘积可以运用平方差公式（a+b） （a-b ） =a2-b2,同时它们的积是 有理数，不含有二次根式：如x+1- . x2 2x与X+1 + x2，2x就是互为有理化因式；X与也是互为有理化因式.vx练习：近+爲的有理化因式是；x- 百的有理化因式是.-Jx +1 - Jx-1的有理化因式是.3 .分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、？分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的.练习：把下列各式的分母有理化(1)15-1(2)(4)4 .其它材料：如果 n是任意正整数，那么3、，3 4J2=n理由：用匚呼= =n练习：填空屈=；?8=； 4辭.例28.比较32与,2-1的大小。变式题1 :比较'-4-''3与，3-、2的大小。变式题2:试比较市-丘与'、齐-、百的大小。例29.已知6 1的整数部分为a,