二倍角的正弦

1、二倍角的正弦、余弦、正切”教学设计设计理念： 根据皮亚杰的认知发展理论，在个体从出生到成熟的发展过程中，智力发展 可以分为具有不同的质的四个主要阶段： 激活原有认知结构、 构建新的认知结构、 尝试新的 认知结构、 发展新的认知结构。 发展的各个阶段顺序是一致的， 前一阶段总是达到后一阶段 的前提。阶段的发展不是间断性的跳跃， 而是逐渐、持续的变化。 皮亚杰的认知发展阶段论 为发展性辅导中学生智力发展水平的评估和诊断，提供了重要的理论依据。教学内容： 普通高中课程标准实验教科书（数学）必修4（人教 A 版），第三章、第一节、第 145148 页。“二倍角的正弦、余弦、正切”是在研究了两角和与差的

2、三角函数的基础上研究具有 “二倍角” 关系的正弦、 余弦、正切公式， 它既是两角和的正弦、 余弦、正切公式的特殊化， 又为以后求三角函数值、 化简和证明提供了非常有用的理论工具， 通过对二倍角公式的推导 知道： 二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律”，通过推导还让学生了解高中数学中由“一般”到“特殊”的化归数学思想，因此这节课也是培养学 生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。教学目标： 根据新课程标准的要求、本节教材的特点和学生对三角函数的认知特点，我 们把本节课的教学目标确定为：1、能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二

3、倍角的正弦、余弦、正切公式， 理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。2 、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使 用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。3 、通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新 意识和数学情感，提高数学素养。学情分析：我们的学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数的基础上。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。从能力上看，学生主动学习能力、 探究的能力、较弱。教材分析：对公式的引入改变了教材中直接填结果的做法，而是通过提出

4、问题，设置情景对和角公式中的角 二、.的关系特殊情形二 时的简化，让学生探讨发现、推证得出二倍角公式，这样学生会感到自然， 好接受，并可清晰知道和角的三角函数与二倍角公式的 联系，同时让学生学会怎样发现数学规律，并体会到化归（这里是将一般化归到特殊）这一基本数学思想在发现中所起的作用，对教材的例题则有所增减，处理方式也有适当改变。教学重点、难点重点：使学生在掌握了和角、差角公式后如何将和角公式化为二倍角公式，以及公式的两种变形和公式成立的条件；如何学会去发现数学规律，并体会化归、转化等基本数学思想在发现中所起的作用，能正确应用这些公式进行三角化简、求值、证明等。难点：灵活应用二倍角公式变形的态

5、式，熟练解三角综合题。教学过程一、复习启发、设置情景、引出正题1、（复习性提问）：请同学回顾两角和的公式（学生回答，教师板书）sin（ct + sin a cos + c c*s a sin ,5cos（a += coscos/9- sinsin 0y 皿 tan« + tantan （cr -b =二'1 - tan a tan2、（探索性提问）当上述公式中角 匸、具有特殊化关系二时，公式变为什么形 式？请一名学生到黑板上演示简化，其他同学在座位上做。学生板书:皆in（切 + =sin 已ex e + 亡g& n 當in 2a- 2占慌 a c os ac<i

6、s（£T+ cr） = cos acos<r- sin ctsin ex cos2cr = cos cc- sin a、 tan ec 十 tan U小2 tan Gtan（0f+ 民）n tan 2a=1- tan detail cr1- tanJ a3、集体订正后，引导学生观察其结构，并指名回答观察结果（学生回答：左边角均为】二，右边角均为二，具有“二倍”关系）4、引入正题师：肯定学生观察结论准确，并加以说明公式中蕴含着“对称”、“和谐”之美教师板书（放幻灯片）sin 2zf= 2sin二倍角公式简记为cos 2a -匚os cr - sin a2 tan erten 2c

7、e=r；1 - tan Jb.即为我们今天要学习的二倍角公式【设计意图：复习已学公式，对其特殊化。让学生学会从“一般”到“特殊”的化归方 法，从而达到“温故知新”的教学目的】二、引导探究、深化认识1、回忆推导过程，让学生明确二倍角公式是和角公式的特殊情形。知道二者之间的联2、（探索性提问）对：cos 2盘=閔/ a-sm 2心中的平方联想到s山圧+皿岸 心=1 , G口有无其他变式?（学生探索、总结得出两种变式：I. -： - I - $）3、（深化性提问）：有了这组二倍角公式，我们是否可以放心大胆的应用呢?（学生：不能，要注意公式成立的条件）引导学生联想和角公式的条件，禾U用类比的方法，探索

8、出二倍角公式的条件C2sjt . cosZn - cos or - sin 盘（盘 亡尺）:tan =2 tan a z 天& 口凭卞 仝 m h且盘h 十上打，七e7n l-tana:4 22指出：尤其注意 匚-成立的条件【设计意图：引导学生应用联想、类比的教学思想、得出公式成立的条件】4、（探索性提问）在匚中，当左边的7T（7 = -h 匕（上 E Z）时，虽然右边的存在，但左边的 二二二工存在，能否用'一求t二；二？该怎样求?引导学生：改用诱导公式:tan 2a = tan+此打）=1311（加 + 七歼=tan 7T= 0【设计意图：引导学生对特殊情形，另辟蹊径，寻找求

9、解依据，培养学生细致、灵活 的探索习惯】5、二倍角公式中的倍数关系是相对的，为深化对二倍角公式的理解，出示一组填空题（放幻灯片）（1）填角sin 4T= 2sin coscos3_- sin1_ - 2cos3_-1 三 1 - Ssin 32tan_1 - tan2(2)(填-二 L 号)般情况下:sin 2住_ 2;in a, cos 2揺_ 2 匚加 e,tan 2fl?_ 2tan 分【设计意图：通过填空，让学生灵活理解“二倍角”的含义，根据学生易混点，类比公式，展开训练，达到“跨越障碍、突破难点”之目的】三、巩固公式，学习应用出示四道例题，学生分组训练，每组一题，做完后组内交流，订正

10、答案，最后教师引导学生小结方法、技巧、要点、解题规范等。放幻灯片（第一组学生做）例 1、不查表，求下列函数值 sin 6730 cos 673(2) cos5-sin1-83 2tan 22.5e '1 tar? 22 亍(4)15-cos 15_ l-2sia3 【设计意图：通过直接应用公式、间接应用公式、一题多解，巩固二倍角公式】（第二组学生做）例2、已知：-，求让丄二 V：皿件二丄1的值。讲评：此题目中对角 二有范围限制，做题中应注意什么？仅知道：工二值,欲求二倍角正 弦、余弦、正切，先需要知道什么？ 在求值时，要灵活应用亠三种等价形式 并注意在求解过程中要尽量使用已知的原始数据

11、，减少错误的可能性【设计意图：由浅入深，巩固公式，培养学生规范、科学解题的能力 ，教给学生小结解题 经验，做后反思】1- tan2 61 + sin 4-cos 4& 1+sin 43+ cos4（第三组学生做）例3、证明讲评：证法1等价证:2 tan 日1 + sincos 4 _ 2 tan证法2：等价证：丄一一 id /证法3:巧妙应用“ 1”，即用“-丄代换，后略。【设计意图：让学生学会等价证明、转化证题及一题多证，以培养学生数学思维的灵活性、散发性及创造性思维，加深巩固二倍角公式和综合应用已学过的技巧证题】（第四组学生做）例4、利用三角公式化简讲评：此题技巧是：先将“切化弦”

12、，然后用已学过的知识和二倍角公式化简【设计意图：复习应用所学知识解简单三角综合问题，培养学生综合解题应用能力】四、提炼总结放幻灯片（1）在两角和的三角函数公式 “厂' -'-"中，当*时，就可得到二倍角的三角函数公式'J '丄。说明：后者是前者的特例。（2 ）-'儿中角耳没有条件限制，而“中，只有JT fc?r 口7T -, 3斤 a 否 一+ 且口杏一-ZJ时才成立。a a（3）二倍角公式不仅限于二4是耳的二倍形式，其他如上门是-门的二倍，；是的3a二倍，三二是的二倍等等都适用，要熟悉这些多形式的两个角的倍数关系，才能熟练地 应用好二倍角公式

13、，这是灵活应用公式的关键。匚8 2口有三种形式： cow 2二eq捫 锐一曲血 耳二2匚尿 a- 1二1一 2sin a。要依据条件灵活应用公式，另外逆用此公式时更要注重结构形式。【设计意图：使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识，抓住重点、难点, 关键进行课后复习巩固 】五、作业布置：必做：教科书 P150习题3.1A组14、15【设计意图：培养学生自觉学习的习惯，检查学习效果，及时反馈，插漏补缺】选做：（1 ）用十 二表示口匸匕、：门二二（即推导三倍角公式）C ,求的值4国 cost（2）已知：-。【设计意图：对学有余力的学生留出自我发展的空间，尝试能力，拓展创新】设计思路：1、本节

14、公式比较多，首先要搞清楚各公式之间的内在联系，也就是要很好地理解上面的知识结构图，其次理解如何由和角公式推导倍角公式，然后明确倍角的含义， 熟练地运用倍角公式进行求值、化简等三角运算及恒等变形。2、在三角式的运算及恒等变形过程中，除了倍角公式外，也离不开前面所学的同角三角函数关系、诱导公式以及和角公式等，它们是一个有机整体。在解题过程中要求学生先分 析条件与求解目标之间的差异，选择恰当的公式进行转化沟通，然后明确解题思路， 设计解题步骤，完善解答过程，培养逻辑思维能力。3、我们通过一题多解，使我们学会数学思考与推理，训练发散性思维，培养创造新意 识，提咼数学素养。4、以公式特殊情形-：；化简为切入点以学生探索、推导、应用为主线 以学生发展能力为目的板书设计:1、探索袴殊情形”引岀课题广1L 2aT &