傅里叶变换的基本性质

1、3-5傅里叶变换的基本性质傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。一、 线性傅里叶变换是一种线性运算。若fl(t)Fi(j )f2(t)F2(j )则afi(t) bf2(t)aFi( j ) bF2( j ) (3-55)其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。例3-6 利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数F( j )解因11f(t)U(t)22sgn(t)由式(3-55)得F(j )U(t)I 1 1sg n

2、(t)11 22 ()()J2 222 jj二、对称性若:(t)F(j)F(jt) 2 f( )(3-56)证明 因为f(t) F(j )ejtd 2有2 f(t) F(j )ejtd2 f( t) F(j )e j td将上式中变量 换为x,积分结果不变，即2 f ( t) F(jx)e jxtdx再将t用 代之，上述关系依然成立，即2 f()F(jx)e jxdx最后再将x用t代替，则得2 f()F(jt)e j tdtF(jt)所以F(jt) 2 f ()证毕若f(t)是一个偶函数，即f(t) f(t)，相应有f () f()，则式(3-56)成为F(jt) 2 f( )(3-57)可见

3、，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互 相置换的关系，其幅度之比为常数2 。式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调例如f(t) (t) F(j )1F(jt) 12 f( ) 2()例3-7若信号f (t)的傅里叶变换为2 AF(j)0/2/2试求f (t)。解将F(j)中的换成t，并考虑F(j)为的实函数，有2 At/2F(jt) F(t)0t/2该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为F(t) 2 A Sa()2根据对称性F(t) 2 f()故f () A Sa()2再将f()中的 换成t，则得f(t) ASa()2f(t)为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所

4、示。木F(j )A/20 /2三、折叠性若f(t) F(j )则f( t)F(j )F(j)f (t)为实函数(3-58)F(j)f(t)为虚函数四、尺度变换性若f(t)F(j )则f (at)1-F(j-) (a为大于零的实常数)(3-59)aa证明因a0,由f(at)f (at)e j tdt令xat，则 dx adt，代入前式，可得f(x)f(x)e jx/adX 丄F(j)证毕F(j 一)函数f(at)表示f(t)沿时间轴压缩(或时间尺度扩展)a倍，而 a贝y表示F(j )沿频率轴扩展(或频率尺度压缩)a倍该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比,信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有

5、频带的展宽倍数，反之亦然例3-8已知Et/4f(t) 0t/4,求频谱函数F(j )解前面已讨论了的频谱函数，且t 12t 12Fo(j ) ES咗)根据尺度变换性，信号f(t)比fo(t)的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数F(j ) 2Fo(j-)号 Say)两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。Afo(t)/20 /2/4 0 /4五、时移性若f(t) F(j )则f(t to)F(j )e j to(3-60)此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明它表明若在时域f (t)平移时间to，则f(t)例3-9 求0 tt 0,t的频谱函数F(j )解：根据前面所讨论的矩形

6、脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有F(j ) E Sa( )e 2六、频移性若f(t) F(j )则f(t)e j otF j o (3-61)证明f (t)e j otf (t)e j ote j tdtf(t)e j(o)tdt F j( 。)证毕频移性说明若信号 f(t)乘以e j ot，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以e j ot，这就使频谱中的每条谱线都必须平移0，亦即整个频谱相应地搬移了0位置。频谱搬移技术在通信系统得到了广泛应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频谱搬移实现原理是将信号f(t)乘以所谓载频信号COS ot或sin 0t ，即1f (t

7、) cos 0t2F j(0)F j(0)f (t)sin 0tj2F j(0) F j(0)七、时域微分性若则证明 因为两边对t求导数，得所以同理，可推出例 3-10 求 f (t)解：因为由时域微分性dnf(t)dtnf(t) F(j )(j )nF(j )(3-62)1f(t) 2F(j )ej tddf(t)1j F(j )ejtddt2df(t)dtdnf(t)dtn(j )F(j )(j )nF(j )证毕(n)(t)的频谱函数F(j )(t)1F(j ) (j )例3-11图3-22所示信号f(t)为三角形函数求其频谱函数F(j )。由微分性所以f (2)f（t）微分两次后,得到

8、图f (t)-(t3-22(c)所示函数，其表达式为(t) 2 f (t) (j )f(t)-(ej2 cos 11)厂si n2(/2)(/2)2S七)(a)木 f(t)1/(1/ )f-1/(b)图 3 - 22,f (t)(-2/ )(c)八、频域微分性若则f(t) F(j )tf(t)j dF(j例 3-12 求 f (t)tnf(t) (j)ndnF(j )tU (t)的频谱函数(3-63)F(j解：因为U(t)根据频域微分性tU (t).djd九、时域积分性f(t)F(jf (t)dtF(jjF(0)(3-64)例3-13根据(t)1和积分性求f(t)U (t)的频谱函数。解：因为

9、(t)U(t)(x)dx根据时域积分性U(t)例3-14求图3-23所示信号f(t)的频谱函数F(j )解：f（t）对t求两次微分后，得1(t) (t/2)(t /2)由时域积分性f (t)ejt/2/2j?%)f (t)f (x)dx2 sin诂)f(t)f (x)dxSa(0)t(a)术 f（t）1/Af(t)/2 0(b)图 3 - 23十、频域积分性f(t)F(j例 3-15(1/ )/20(c)(-1/ )f(0)1(t) - f(t)F( jx)dx(3-65)已知f（t）sin(t)丁，求 F(j解：因为sin(t)1 (eJt e Jt)2j根据频域积分性2J (i)(i) J

10、(i)(i)sin(t)1.tJJ(x i)(xi) dxU(i) U(i)十、时域卷积疋理若fi(t)Fi(J)f2(t)F2(j )则fi(t)f2(t)Fi(j)F2(J)(3-66)证明F fi(t) f2(t)fi()f2(t)d eJ tdtfi()f2(t)eJ tdt dfi( )F2(j )e J tdF2(j )fi()e JtdF2(j)Fi(j )证毕例3-i6图3-24(a)所示的三角形函数f(t)i丄0tt可看做为两个如图3-24(b)所示门函数G卷积。试利用时域卷积定理求其频谱函数F(j)。(a)图 3 - 2411Ag/2 0 12 t(b)解：因G (t)si

11、n才1f(t) G (t) G (t) 所以F(j ) Sa2(y)例3-17 一个信号f（t）的希伯特变换丄f（t）是f （t）和t的卷积，即1 1f(t) f(t)-f()(t )解：因为sgn(t)则对称性2彳 2 sgn( ) 2 sgn()jsgn()由时域卷积定理1f(t) f(t)jsgn( )F(j )即F(j ) jsgn( )F(j )十二、频域卷积定理若fl(t)Fj )f2(t)F2(j )则1fi(t)f2(t)Fj ) F2(j )(3-67)2或fi(t)f2(t)R(j2 f)F2(j2 f)例3-18利用频域卷积定理求f(t)山化)的傅里叶变换F(j )解：因

12、为由对称性(t) j有jt2 ( ) 21()t j2 ()1U(t)()j所以根据频域卷积定理F(jF(j十三、帕塞瓦尔定理fi(t)fi(t) f 2(t)dt可推广2fi (t) dtfi(t)为实函数，则fi(t) , f2(t)为实函数，则f(t) tu(t)Fi(jfi(t) f 2(t)dtj2Fi(jf2(t)Fi(jFi2(jF2(j)F2(j2d)d)d()(丄)(3-68)(3-69)(3-70)iFi(j )F2(j )d (3-7i)例 3-i9 求Sa2( )d解：因Sa2( )d24122Sa( )2 Sa( )d又2Sa()G2(t)由帕塞瓦尔定理可得Sa2()

13、dG2(t)G2(t)dt十四、奇偶性f (t) F(jF( )eR(jX(),(1)当f (t)为实函数时,F()(F(j)F()R()X()R(X()(3-72)f(t)为实偶函数，即f(t)f(t)F(j)F(X()R( 实偶函数(3-73)f(t)为实奇函数，即F(j )R(当f (t)为虚函数，即f(t)f( t)，则jX(0f(t)虚奇函数)jx(t)时，则(3-74)R( ) R(X( ) X(3-75)F( ) F() (傅里叶变换的基本性质归纳如表3-3所示。表3-3傅里叶变换的基本性质性质名称时域频域1.线性af/t)bf2(t)aF1(j ) bF2(j )2.对称性F(jt)2 f()3.折叠性f( t)F( j )4.尺度变换性f (at)-F(j-)aa5.时移性f (tto)F(j )ejt06.频移性e j 0t f(t)F j(