[西安交通大学]高等传热学chap30课件

1、 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap30Chap. 3 Laminar external boundary layers 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap301.The Governing Eqs & BCs3-1 laminar forced convection over a flat plate研究对象：常物性，不可压缩流体，研究对象：常物性，不可压缩流体，2D2D，忽略黏性耗，忽略黏性耗散，无内热源，无体积力，散，无内热源，无体积力，u u，T Tconstconstxy0lxd du u主流区主流区边界层区边界

2、层区 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap3022tttuvaxyy22)duuuuuvuxydxy（0yvxu7 7个个BCBC：0 :,0 :0,0,() :,wxuuTTyuvTTyuuTTd 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap302.The flow solutionx1 1与与x2 2处，层流速度并不相似，但都从处，层流速度并不相似，但都从0-0-u引入：引入：uuyxd 1RexxLxu xdd xxud1uyxyyxuxd不唯一不唯一 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap30引入流函数引入

3、流函数1uuuy,uvyx uuux相似解若存在，则相似解若存在，则fuu 11uyuxf 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap30ffufuyfyfy112uuyxyxxxx vfuxxx ,ufyxux12uffx12uffuxxx 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap30ufuxxufuyy222uuuuffyyxx22uuuuvxyy代入12ufufxx ufuufyx 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap30102fff:0(0) :0,uBCyfu1002uvfffx() :1yf 黏性力黏性

4、力惯性力惯性力无量纲切向速度无量纲切向速度无穷级数（无穷级数（1908，Blasius）；数值积分解）；数值积分解Blasius Eq. 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap30平板层流边界层的布拉修斯解平板层流边界层的布拉修斯解 uuxyfffvxuu 0 0 0 0.33206 0 4.4 2.69238 0.97587 0.038975.0 3.28329 0.99155 0.015915.4 3.68094 0.99616 0.007938.0 6.27923 1.00000 0.00001 0.860388.4 6.67923 1.00000 0.000

5、00 0.86038. 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap305.0uxdxxRe0 . 5d,0,w xyxuy1,220.664Re2w xfxxcu12,0121.328ReLffxf LLcc dxcL上述值与实验测定值符合，证明了上述值与实验测定值符合，证明了Prandtl边界层理论边界层理论 3322,0,00.332w xyxuuufyxx,uufyux 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap303.The heat transfer solution：引入：引入：wwTTTT uyx:wTTorTT xx uyyx 2

6、2uyyyx 11122uxyxx 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap301Pr02f Pohlhausen Eq.:0 :0 :1BC 1Pr02f 102fff二阶线性常微分方程二阶线性常微分方程三阶非线性常微分方程三阶非线性常微分方程wwTTTTuuPr1 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap30直接积分求解：直接积分求解：1200Prexp()2CfddC 20C1001Prexp()2Cfdd0000Prexp()2Prexp()2fddfdd (, Pr)F 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30ch

7、ap30壁面热流：壁面热流：,0,xw xyxThTTy00,xyxhudydx10dCd1 200ReRe , PrPrexp()2xxxxh xNuffdd 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap30分段拟合：分段拟合：xNu1 21 20.564 R ePr, Pr0.05x1 21 30.332 RePr, Pr0.610 x1 21 30.339 RePr, Pr10 x012LmxLhh dxhL2mLNuNu1 2,xxhxxh0,?xxh 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap301.The Governing Eqs &

8、amp; BCs3-2 laminar forced convection with pressure gradients研究对象：常物性，研究对象：常物性，2D2D，低速层流，低速层流22tttuvaxyy 22)duxuuuuvuxxydxy（0yvxu0 :0,0,() :,0 :,wyuvTTyuuxTTxuuxTTd 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap30存在相似解存在相似解muxcx2m 12mmduxdpmuxcx mcxudxdxx0,00,dpmpvdx 顺 压 梯 度 流 动0,00,dpmpvdx 逆 压 梯 度 流 动0,00,dumdx

9、外 掠 平 板 流 动xy,uT 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap302.Flow solutions( )12uxmyxfuufuyfy udfufuyydy2221212mumc xfy112mmumcxfcxmffxx11221121212mmvcxfxxmmmcxffm 1uy112muyux ( )2112muxdfmuxcxfmdx331( )1122muxmmc xuffx 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap30:0 :0(0),0(0) :1BCfvfuf 由由210ffffFalkner-Skan Eq.Fal

10、kner-Skan Eq.三阶非线性常微分方程三阶非线性常微分方程引入相似变量不同所致引入相似变量不同所致0代入动量方程代入动量方程10?2fff 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap30解的三种特例解的三种特例0,0,muconst外 掠 平 板 流 动15.03.62R exuxxddd1,1,dumuxcxcdx二 维 滞 止 流 动 ，00.1988,0,uy y边 界 层 分 离0.1988, 流 动 边 界 层 从 壁 面 脱 离 并 在 紧 靠 壁 面 处 产 生 回 流 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap30 33,

11、0,1 02mw xyxumc xfyx 33,2212 022mw xf xmc xfxcuu获得速度分布后获得速度分布后muxcx0,0,(0)0.4696mf 1 21 2,21 Re 00.664 Refxxxcmf 1 221 Re 0 xmf 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap303.Heat transfer solutions( )12uxmyx12mxxx 112mmcxywwTTTT 21212mmcxy 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap30代入边界层能量方程代入边界层能量方程Pr0f :0 :0 :1BC

12、二阶齐次线性常微分方程二阶齐次线性常微分方程Pr0Prddffdd 0Pr1fdc e0Pr120fdcedc 20c01Pr01fdced00Pr0Pr0Pr,fdfdedFed 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap30Pr0f Pr=1 ?Pr=1 ?210ffffPr=1,=0Pr=1,=0 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap30壁面热流：壁面热流：,0,xw xyxThTTy00,( )12xyxhuxdmydx0dd1 200Re1, Re , Pr2exp(Pr)xxxxh xmNufmfdd01Pr01fdcedmux

13、cx12mxhx120,0,xmhx1,1,xmhconst 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap300pNuNu11.60.2Pr 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap30应用边界层概念应注意的问题应用边界层概念应注意的问题: :(1)(1)上述边界层概念及分析是以沿平板的无界外部流上述边界层概念及分析是以沿平板的无界外部流动为例进行介绍的，内部流动的边界层情况不同动为例进行介绍的，内部流动的边界层情况不同(2)(2)在平板前缘很短的一段距离内，边界层理论不适在平板前缘很短的一段距离内，边界层理论不适用用(3)(3)若出现边界层脱体

14、，或发生回流情况，边界层的若出现边界层脱体，或发生回流情况，边界层的特性也将改变特性也将改变 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap30通过引入适当的相似变量，变换边界层动量方程，通过引入适当的相似变量，变换边界层动量方程，能量方程与边界条件，消除其对能量方程与边界条件，消除其对x x的依赖关系，将的依赖关系，将偏微分方程偏微分方程转化为转化为常微分方程常微分方程。但相似解存在条件苛刻。但相似解存在条件苛刻。求解不相似层流边界层问题求解不相似层流边界层问题数值求解，将偏微分方程离散成代数方程数值求解，将偏微分方程离散成代数方程局部相似解和局部不相似解局部相似解和局部

15、不相似解边界层积分方程边界层积分方程对于工程实际情况，复杂壁面，复杂对于工程实际情况，复杂壁面，复杂BCBC，任意变化的位流，任意变化的位流速度，依赖于近似解；但积分方程所包含的动量、热量以速度，依赖于近似解；但积分方程所包含的动量、热量以及质量传递信息比边界层微分方程要少，近年来已被高精及质量传递信息比边界层微分方程要少，近年来已被高精度的数值计算所代替。度的数值计算所代替。 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap303-3 Integral Equation一、边界层积分方程组一、边界层积分方程组1.1.基本思想基本思想边界层微分方程边界层微分方程: :要求对边

16、界要求对边界层内每一个微元体都满足守恒层内每一个微元体都满足守恒定律定律边界层积分方程边界层积分方程: :对包括固体对包括固体边界及边界层外边界在内的有边界及边界层外边界在内的有限大小的控制容积满足动量及限大小的控制容积满足动量及能量守恒定律即可。能量守恒定律即可。 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap30能量平衡能量平衡0Hxpc Tudyxxxxdxdx0HFpdc Tudyxdx0WyTxy xxxWF00()Hydttt udyadxy00)(yytadyuttdxdtd000()()yduduuu udyuu dydxdxydd00)(yyudyuuud

17、xdd0Hxxxpdc Tudyxdx 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap302.Note:(1)(1)由有限控制体方法推导积分方程时，只要求在其研究的区由有限控制体方法推导积分方程时，只要求在其研究的区域内以整体方式满足守恒方程，而不像微分方程要求在域内以整体方式满足守恒方程，而不像微分方程要求在其区域内每一点上满足守恒方程。其区域内每一点上满足守恒方程。(2)(2)从数学上看，对于由微分方程得到的积分方程，满足原微从数学上看，对于由微分方程得到的积分方程，满足原微分方程的解一定满足积分方程，而满足积分方程的解不分方程的解一定满足积分方程，而满足积分方程的解不

18、一定满足原微分方程（弱解）一定满足原微分方程（弱解）(3)(3)积分方程忽略了积分方程忽略了v方向的动量和能量的变化，因此积分方方向的动量和能量的变化，因此积分方程包含的流场和温度场的信息比各自相应的边界层微分程包含的流场和温度场的信息比各自相应的边界层微分方程要少。方程要少。(4)(4)积分方程不能给出求解区域上每一点速度、温度分布的精积分方程不能给出求解区域上每一点速度、温度分布的精确结果。确结果。 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap303.3.用边界层积分方程求解对流换热问题的基本步骤用边界层积分方程求解对流换热问题的基本步骤: :(1)(1)针对包括固体

19、边界及边界层外边界在内的有限大小的控制针对包括固体边界及边界层外边界在内的有限大小的控制容积，建立边界层积分方程容积，建立边界层积分方程( (对有限大小的控制容积建立对有限大小的控制容积建立动量及热量平衡动量及热量平衡/ /对边界层微分方程作积分对边界层微分方程作积分) )(2)(2)对边界层内的速度和温度分布作出假设，常用的函数形式对边界层内的速度和温度分布作出假设，常用的函数形式为多项式为多项式(3)(3)利用边界条件确定速度和温度分布中的常数，然后将速度利用边界条件确定速度和温度分布中的常数，然后将速度分布和温度分布代入积分方程，解出分布和温度分布代入积分方程，解出d d和和d dt t

20、的计算式的计算式(4)(4)根据求得的速度分布和温度分布计算固体边界上的根据求得的速度分布和温度分布计算固体边界上的00fyyutcNuyy及和 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap3000)(yytadyuttdxdtd能量积分方程：能量积分方程：动量积分方程：动量积分方程：00)(yyudyuuudxdd两个方程，两个方程，4 4个未知量：个未知量：u, t, u, t, d d, , d dt t 。要使方程。要使方程组封闭，还必须补充两个有关这组封闭，还必须补充两个有关这4 4个未知量的方个未知量的方程。这就是关于程。这就是关于u u 和和 t t 的分布

21、方程。的分布方程。231111uab yc yd y232222tab yc yd y 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap304.动量积分方程求解动量积分方程求解00)(yyudyuuudxdd23uyyyabcduddd220:0:0,0:,0yyBCuyuyuyuuydd32123ddyyuu3 2,0,0.323w xyxuuyx1,2220.646Rew xfxxcu4.64Rexxd14013ddxud d 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap305. 能量积分方程求解能量积分方程求解00)(yytadyuttdxdtd0

22、0:,0:,:wtBCtxxyttxxyttd离散的电子发热模块wTT引入00()tydudyadxyd00,0:0,:txxyxxydTwT txd xd,uT 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap3023tttyyyabcdddd2200:0,0:,0tytyyyyydd32123ttWWyyttttdd如何利用已求解的速度分布？如何利用已求解的速度分布？假设流体假设流体Pr1，则，则t，整个温度边界层处于速度边，整个温度边界层处于速度边界层内界层内 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap30assume:,tttyydddd1 ,

23、tuUu 100(1)tttttdaUddxudd将将 的表达式代入上式的表达式代入上式,U 133031313(1)22222tttttdaddxudd2333()202802ttdadxudd 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap30210dadxu dd 变量分离积分变量分离积分23102ddadxdxud d d4.64Rexxd33413314Prdxdx关于关于3的一阶线性常微分方程的一阶线性常微分方程33 41314Prcx0,0 xx3 401314Prcx 1 33 41 31 3013Pr114txxdd 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高

24、等传热学chap30chap30换热换热03322wtyTqydd 1 33 41 31 200.332PrRe1wwxttxqxx1 33 41 31 200.332PrRe1wxxwqxhttxx1 33 41 31 20Nu0.332PrRe1xxxh xxx4.64Rexxd1 33 41 31 3013Pr114xx 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap30Note:1 31 2Nu0.332PrRexxxh x如果如果x0=0，全板长都有换热，全板长都有换热1 31 313Pr14tdd1 31 3134.64Pr14RetxxdPr1,tdd1 2,

25、ttxxdd1 31 2001Nu0.664PrReLLxLNu dxL 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap30If Pr1 ，但对气体（，但对气体（Pr1）仍适用，）仍适用，Pr UWTUHF的壁面温度梯度更大。层流的热边界条件影响的壁面温度梯度更大。层流的热边界条件影响较大。而湍流不明显较大。而湍流不明显 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap307. Flat plate with varying surface temperature1020,0:,:0:wwtxxyttxxyttxtt 22tttuvaxyy方程具有线性齐次

26、特征方程具有线性齐次特征(速度场与温度场不耦合的情况速度场与温度场不耦合的情况)，在一些特定情况下，获得的特解，叠加仍是原方程的解在一些特定情况下，获得的特解，叠加仍是原方程的解superposition principle。叠加方法是传热传质学基本研究叠加方法是传热传质学基本研究方法之一方法之一 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap3012,ttx yx y 引入11110:,0:00:0wyttxyx 21112uvaxyy22222uvaxyy02210220, 00:,:00:0wwxxyttxxyx 各含一个非齐次各含一个非齐次BC120120,0,x yx yxxt x ytx yx yxx 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap30 11 31 201 33 41 31 2012100.332PrRe,00.332PrRe1,wwxwxwwwttqxxxxqttttxxxx12 wwif tt1 wif tt0,0UWT x 0,UWT x 西安交通大学西安交通大学 高等传热学高等传热学chap30chap308. 用积分方程求解时注意的问题用积分方程求解时注意的问题完整的数学描写：椭圆型非线性偏微分方程完整