移动界面流速的求解.docx

1、第6卷第2期1995年6月Vol.6*No-2Jun.t1995水科学进展ADVANCESINWATERSCIENCE移动界面流速的求解吕贤弼(清华大学水利水电工程系北京/OOOB4)提9提出了基于Shwarzhriscoffel变换求解含水层成淡水移动界面流速的方法,其基本步彝为：(1)将流动平面n的淡水区和成水区分别映射为辅助平面"和的上半部分,(2)利用勺和平面与复势平面和”.的映射关系并引入某些几何参数，建立关于复势多边形边长比方程则问题归结为这些参数的求解'<3)建立关于边界条件的方程,其中包括淡水入流条件和物质面条件I(4)联立求解这些方程并求解界面流速这一

2、方法与一般数值方法的区别主要是直接求解流速，不需要将流动区域离散化，因而误差较小.算例表明这神方法是可行的.美姓调地卜水卷建Schwarz-Christoffel变换分类号P64K2'引言滨海含水层的咸淡水突变界面模型经常应用于研究和模拟海水入侵现象曰,这类模型长期以来一直是一个研究的焦点。近年来,沿移动界面的流速分布开始受到注意，它对于分析界面移动及咸淡水流量动态分布特征很有意义°本文应用Schwarz-Christoffel变换原理及非线性方程组求解方法，首先求解淡水流动区和咸水流动区的物理平面至相应两个辅助平面的映射.在此基础上建立辅助平面与复势平面的映射关系并利用界面

3、为物质面等条件，直接求解界面的流速。这一方法基本上是解析法.因而相对将连续场离散化的数值法有较好的求解精度。图I(Q流动平面zFig-.(a)Flowplanez(b)界面(b)Interface2基本方程讨论如图1所示垂直剖面二维流动情形,AJSDEE为淡水区,BCD为咸水区,8。为成淡水界面处于移动过程中的某一状态。渗流的基本方程是淡水区7初=0,V2/=0(1)咸水区W=o,VV-=o(2)收稿日期：1994617普国家自然科学基金资助论文。2期吕贤，移动界面流速的求解95其中，物=一丁+/>./S，g),侈=一】+力,/(p.g)，为渗流的势函数，pf，为流函数；A，/>.

4、为压强g为重力加速度；下标八s分别表示淡水区和咸水区所属的量。边界条件为沿召Q饱r=0；沿化4吻=s/K沿EF的=(1y/AOgo/K；沿A8啊=】(P./Pr1)(3)沿况归=0,沿CQ饱=。I沿界面BD啊=pJpfyCp,/p/1)(4)寿3V)=0其中如为淡水入流单位宽度流量，K为渗透系数，M为含水层厚度，"为界面纵坐标。3物理平面与辅助平面映射关系的确定作为问题求解的第一步，选择分和心(图2(a)和图3(a)作为辅助平面，首先建立之平面淡水区和成水区分别与。和t.平面的映射关系。(a)n*幻.1D6,(；/GwBE图2淡水区(a)辅助平面"(b)复势平面粉图3咸水区

5、(a>辅助平血LU)复势平面站Fig.2.Freshwaterregion(a)Auxiliaryplane。Fig.3，Saltwaterregion(a)Auxiliaryplanet,(b)Complexpotentialplane妙/(b)Complexpotentialplanea先讨论z平面淡水区至。平面的映射以折线8GG?逼近界面HD，如图1(5),应用Schwarz-Christoffel变换将淡水区ABGGG.DEP映射为tf的上半平面，z=MuKnd/+NI】(6)Jo其中(f0,g,g.).(7)=0(/-d)匕aiUQ_g.)匕W-JIMeNn为待定常数.NB,N

6、D和NG为淡水区(多边形)内角",d和&为B.Q和G,在。平面上的映射点，是待定参数m为G,的数目。据保角变换原理，Z平面多边形边长比A应满足(8)JJJi.i=23次+3其中J*=I4是已知的.=XfGjFA、兀uGlG/FA,式（8）是非线性方程组，应用线性化方法求解，（誓f）时+去（若等）冶叮+哈f券心=。醉+1=gV出I=gfigf，61=必+'-dKJ*=I4是已知的.=XfGjFA、兀uGlG/FA,式（8）是非线性方程组，应用线性化方法求解，（誓f）时+去（若等）冶叮+哈f券心=。醉+1=gV出I=gfigf，61=必+'-dK其中IJFn<

7、;it|，1+a=G.DjFA。J=1点，E(10)(11)上标K为迭代次数。1,2,(10)1以给定待求参数如d.g.,1=1,2,>m的初始（K=0）试探值求解式所求结果为下一次迭代的试探值，如此迭代循环直至求得满足某一收敛要求的结果。参数Ad,g,确定后，根据之平面与打平面已知点的映射关系，利用式（6）可求得和Nn°应用类似方法将z平面的咸水区BCD映射为办平面的上半部分.映射关系式为：(12)(13)zAfzljFmdf+N2l其中b=也1(，幻，g.)=+l)f"Sy-1)5T立(t一g,W”】«1待定常数AG.Ng】及gi=L2,m,同理可求4辅

8、助平面。和。与复势平面映射关系的确定淡水区和咸水区映射在复势平面"=啊+却7和3,=站冲,上的图形假定如图2（b）和图3（b）所示,其中BC仍以折线近似，形状待定。为了便于确定折线的形状和位置，引入如下几何参数：3=1，2,，m+3一纺平面上A至。各线段长度；%、i2,m+3Z,与横轴夹角；玷=1，2,，血+1平面上5至。各线段长度；S1=1+2，帆+15与横轴夹角.其中，/】可以由代及物（已知边界条件）求得j+3=0。所以待定的参数总计为4m+6个。据SchwarzChristoffel变换，应有叫平面与tf平面映射关系：%=M”Flzdt+N12（14）=产一1)一。5%-】愆b

9、)一Qd)-j，,n(t-g/)T气x-vm)/(is)M*,Mz为待定常数木b,d,备为据式(10)求得的参数。>皿平面与&平面映射关系：其中=%0用，耕=+Ng，Bn*，S?，十)(16)=(，+1)一小匹0，7危一1)一es+牛气口Q-幻)肱”N”为待定常数，£,平面上的岛是已求得鬲参数°只有当式(14),(16)中所含的待定参数分和s求得后，"和击与"和皿平面间的映射关系才能完全确定。4.14平面边长比关系式如式(8),可建立(17)其中J=U-!F2dr|*3=IJjrffdtIJ?=+3J；=I“dfI(18)/=2.3,<

10、;/£+3=IJ尸12山|FA=S-44,2据淡水入流边界条件建立的关系式淡水入流单宽流量如已知，据式(3),应有E+2SAsina.=q°/Krl(19)43g平面边长比关系式如4-1节中，同理可建立</；(20)ro其中44界面上的压强相等关系式据式(4),咸水区和淡水区在界面同一点上的压强相等，因而有、/COSE=工云£COsRr1P/rLk=2.m%<COS=令豆色亍女无切印篇Pf其中yck*，。为z平面上G#,A=l2.45关于界面是物质面的关系式据式(5)所表示的界面是物质面的性质.可知咸水区和淡水区在界面同一点上./和D点的纵坐标.为已知

11、量。(21)沿界面浅线方向的分速应相等,因而有i=1+1(22)（wsin+区cosQ）/龙.=（sin。+其中。，为Z平面上相应线段与横轴的夹角,如图10力吟为"的分速,上标，和S表示淡水区和成水区J上为界面处有效孔隙率."可进一步表示为(23)(23)4=3!«=I.X女，=RE,Y=以复变量表示的合成流速/和"'则按下式导出（/过为无量纲形式，即表示为渗透速度与渗透系数的比）(24)<25)(24)<25)df/dz=33f/d，）i（dz/d，）（,MU/Mn）_dJdz=一其中尸“/Mi和七/M.可以式（7）,（13）,（1

12、5）、（17）代入具有较简单的形式Flt/En=n/w'（r&）*厂</）一，厂£6/】n(/(26)H（/-因此，式（22最终可&表示为以待定参数为变量的关系式.关系式（18）（22）共含有（4质+6）个方程，因此可求解同样数目的待定参数£和“这样，辅助平面与复势平面的映射关系式（14）,（16）也就完全确定.从而界面的流速可由式（24）.（25）求得。对于式（18）至（22）表示的非线性方程组,本文采用可变多面体法求解,待求参数的初始试探值应用移动界面的简化一维解析解四给出。设有类似于图1流动图形。淡水入流单位宽度流量（无量纲形式表示）为q

13、。/（KM）=0.90j流动区包括界面各边界点的坐标（表示为含水层厚度M的倍数）如表1.其中界面BD为在移动过程中某一时刻的位置，以9个线段的折线近似，加=8。求沿界面曲的流速分布.首先应用式（10）求解z平面至辅助平面的映射关系。应用式（18）式（22）求解。和，平面至,/和他的映射关系，共有4皿+6=38个方程联解。表2表示的是沿BD界面由8至D每一线段中点的淡水区分速和咸水区分速心，u；（，=1,2.9）.同时也表示了各相应线段的法向分速，将淡水区和成水区的计算值同时列出.两者相差不大以上流速均为无量纲值,表示为渗透系数K的倍数.由表2可以看出，虽然水平分速吼相对于垂向分速您>心占

14、优势,但是后者不再是可以忽略的了£/$可达到5.8的比值.2期吕贤弼：移动界面流速的求解99TableL表1Z平面多边形顶点的坐标Coordinatesofpolygonvertexintheplanez顶点ABCDEFGiGzdGiG5GeG72221001.891-781-671-561.441-331-221-11y00.211100.330.470.580.670-750.820.880.94表2界面流速求解结果Table2,SolutionofJhevelocityintheinterface编号123456789O.9S70.8300-890D.8盼0.8820-8980

15、.8750.8790.8786.47X10-3-0.1410.11&0.1530-1110.1200.0530.0478.52H1QT0.8810-8640.8620一8S90.8640.8450-8740.8490、861Tw0.089-0.1170-1300.126o.m一0.0920.062-0.0237.54X1"0.401e.3900.490。.瑚0.5000.4370.7000.5970-7400.4010.3380.4&60.3790.6060.4400.637。5990.734Cl）本文所提出方法的基本依据是Schwarz-Christoffel变换。

16、基本步骤是：建立z平面淡水区和咸水区与辅助平面捉和tr的映射关系；建立tf和t.平面与复势平面3/和a的映射关系.这是一个已知上半平面与未知多边形形状映射关系确定的问题。（2）为了确定复势平面上与成淡水界面相应的折线形状,引入线段水平倾角和线段长度作为待定参数。因此，问题归结为这些待定参数的求解。联解方程通过边长比关系.边界入流条件，界面的压强相等条件和物质面条件而建立。（3）本文所提出的方法与渗流的一般数值方法的区别主要是：对求解域不必作离散化处理，不需要通过水头的差商就可直接求解流速。参考文献1吕贤弼.咸淡水界面动态变化的研究.水科学进腰.1991,2?32-41LueXianbietaL

17、SimulationofseawaterintrusioninDaXiaoLingRiverFan.theXXV1AHRCongressProcedangs-Tokyo.Sept.1993：32。3272 JRChanHongetal-theinterfacebetweenfreshandsaltgroundwatersanumericalstudy。TheGroundwaterNumericalSimulationSymposium.Beijing,19883 JBear.Dynamicsoffluidsinporousmedia.AmericanElsevierPublCo1972：563

18、569SolutionofVelocityatMovingInterfacesbetweenFresh-andSalt-WaterinAquifersLueXianbi.DepartmentofHydraulicEngineeringsTainghuaUniversityBeijing100084)Abstract；AmethodbasedontheSchwarz-Christoffcltrans-formationisdevelopedforthesolutionofvelocityatmovinginterfacesbetweenfresh-andsalt-waterinaquifers.

19、Itinvolvesthefollowingprimarysteps:(1)Mapthegivenfresh-andsaltwaterregionsofthe(lowplaneZontotheupperhalvesofauxiliaryplanes/andrespectively.<2)Useamappingbetweentheplanes/and匚andthecomplexpotentialplanes3/andatosetupequationsfortheside-lengthrationsofcomplexpotentialpolygonscontainingsomegeometricparameters,sothattheproblembecomesoneofsolutionfortheparameters-(3)Setupequationsforboundaryconditionsincludingthoseoffresh-waterinfluxandmaterialinterface-(4)SolvethecoupledequationsforthevelocityatinterfacesAmaindistinctionbetweenthemethod