一致收敛函数列与课件

1、一致收敛函数列与13.2 一致收敛函数列与一致收敛函数列与 函数项级数级数的性质函数项级数级数的性质一一 一致收敛函数列的性质一致收敛函数列的性质 二二 函数项级数的性质函数项级数的性质一致收敛函数列与一一. 一致收敛函数列的解析性质一致收敛函数列的解析性质 1 函数及限与序列极限交换定理函数及限与序列极限交换定理0l i mnnnxxfxfxfxa 000limlim(lim limlim lim)nnxxnnxxxx nnaf xfxfx存在即000000,()().xUxxxUxUxxxxx 讨论单侧极限是 只要把以上定理中的与分别改为或与或即可一致收敛函数列与2.连续性定理连续性定理

2、一致收敛函数列与| )()(| )()(| )()(| | )()(|0000 xfxfxfxfxfxfxfxfnnnn估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项 一致收敛函数列与註註 定理定理表明: 对于各项都连续且一致收敛 )(limlim)(limlim00 xfxfnxxnnnxx即极限次序可换 . 3. 可积性定理可积性定理 lim( )lim( ).bbnnaannfxdxfx dx一致收敛函数列与一致收敛函数列与12, 0211()22,210,1nnnnnxxnfxnxxnnxn,2,1n一致收敛函数列与 0 ,1sup()()nnxfxfx 1100100,20lim0

3、2nnnnnfx dxfx dxnfx dxn由 于因 此一致收敛函数列与 1,.nnfxf x这样当时,虽然不一致收敛于但可积性定理的结论仍成立 1100,10.2nnnnfxfxfxfx但当时不一致收敛于且也不收敛于一致收敛函数列与4. 可微性定理可微性定理 lim( )lim( ).nnnnddfxfxdxdx一致收敛函数列与（ 对第二项交换极限与积分次序） 一致收敛函数列与亦即求导运算与极限运算次序可换. 一致收敛函数列与二二 函数项级数的性质函数项级数的性质1.逐项求极限定理逐项求极限定理 01, limnnnnxxuxUxnuxa在内一致收敛011limnnxxnnuxa一致收敛函

4、数列与2.连续性定理定理定理13.1213.12证证 设设xx ,0为为 ba,上上任任意意点点由由)()()(),()()(000 xrxsxsxrxsxsnnnn 一致收敛函数列与)()()()(00 xrxrxsxsnnnn (1)()()()()()(000 xrxrxsxsxsxsnnnn 级级数数 1)(nnxu一一致致收收敛敛于于)(xs，对对0 ，必必 自自然然数数)( NN ，使使得得当当Nn 时时,对对 ba,上上的的一一切切x都都有有3)( xrn(2).3)(0 xrn同样有同样有一致收敛函数列与故故)(xsn(Nn )在在点点0 x连连续续，(3)0 当当 0 xx时

5、总有时总有 3)()(0 xsxsnn由由(1)、(2)、(3)可见可见,对对任任给给0 ，必必有有0 ，当当 0 xx时，有时，有.)()(0 xsxs)(xsn是是有有限限项项连连续续函函数数之之和和，所所以以)(xs在在点点0 x处处连连续续，而而0 x在在ba,上上是是任任意意的的，因因此此)(xs在在ba,上上连连续续一致收敛函数列与定理定理13.1313.13 如果级数如果级数 1)(nnxu的各项的各项)(xun在区间在区间 ba, 上都连续上都连续, ,且且 1)(nnxu在区间在区间 ba, 上一上一致收敛于致收敛于)(xs, ,则则)(xs在在 ba, 上可以逐项积分上可以

6、逐项积分, ,即即 xxxxxxdxxudxxudxxs000)()()(21 xxndxxu0)(其其中中bxxa 0, , 并并且且上上 式式右右 端端的的 级级数数 在在 ba, 上上也也一一致致收收敛敛. .(4)3.逐项求积定理逐项求积定理一致收敛函数列与证证 级级数数 1)(nnxu在在ba,一一致致收收敛敛于于)(xs, 由定理由定理 1, )(xs，)(xrn都在都在ba,上连续，上连续，所以积分所以积分 xxdxxs0)(， xxndxxr0)(存在存在,从而有从而有 xxnxxdxxsdxxs00)()( xxndxxr0)(.)(0 xxndxxr又由级 数的一 致收 敛

7、性又由级 数的一 致收 敛性,对任 给正数对任 给正数 必 有必 有)( NN 使得当使得当Nn 时时,对对ba,上的一切上的一切x,都都有有.)(abxrn 一致收敛函数列与 xxnxxdxxsdxxs00)()( xxndxxr0)(0().xxba根据极限定义，有根据极限定义，有 nixxnnxxnnxxdxxudxxsdxxs1000)(lim)(lim)(即即 100)()(ixxixxdxxudxxs由于由于N只依赖于只依赖于 而于而于xx ,0无关，无关，所以级数所以级数 10)(ixxidxxu在在ba,上一致收敛上一致收敛.于于是是，当当Nn 时时有有一致收敛函数列与定理定理

8、13.1413.14 如果级数如果级数 1)(nnxu在区间在区间 ba, 上收敛上收敛于和于和)(xs，它的各项，它的各项)(xun都具有连续导数都具有连续导数)(xun ，并且级数，并且级数 1)(nnxu在在 ba, 上一致收敛，上一致收敛，则级数则级数 1)(nnxu在在 ba, 上也一致收敛，且可逐上也一致收敛，且可逐项求导，即项求导，即 )()()()(21xuxuxuxsn(5)4.逐项求导定理逐项求导定理一致收敛函数列与注意注意: :级数一致收敛并不能保证可以逐项求导级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数例如，级数 22222sin22sin1sinnxnxx在任何区间在任