基于JASMIN框架的辐射流体与粒子输运耦合计算

1、基于JASMIN框架的辐射流体与粒子输运耦合计算      计 算 物 理 第 29 卷ddt( t)dV +( t)( U D) ·nds = 0， ( 1)ddt( t)UdV +( t)U( U D) ·nds = ( t)pdV， ( 2)ddt( t)EdV +( t)E( U D) ·nds = ( t)pU·nds ( t)( T·n) ds +( t)W( g) dV， ( 3)dV = 2rdxdr， e = em+ aT4， p = pm+ ( 1 /3) aT4，E = (

2、 1 /2) u2+ v( )2+ e， em= em( ，T) ，pm= pm( ，T) ， ( 4)其中 t 表示时间，( t) 为计算区域，其边界 ( t) 运动速度为 D ，外法线方向单位向量为 n ，R = ( x，r) 为空间坐标，V 表示单元体积，U = ( u，v) 为流体速度， 为密度 压力 p 为物质压 pm与辐射压 aT4/3 之和，E为单位体积的总能量，e 为物质能 em与辐射能 aT4之和，a 为辐射常数，T 为物质温度， 为辐射热传导系数 物质压 pm与物质能 em由状态方程( 4) 给定 W( g) 为粒子输运反馈给流体力学的能量外源项，是多群粒子通量 g的函数，

3、而粒子通量 g则由粒子输运方程给出二维柱坐标下的多群非定态粒子输运方程4 5为1vggt+rr( rg) + gx1r( g) + trgg= Qg， ( 5)其中，g= g( x，r，t) ， 1 1， 0 ， g = 1，2，G表示在 t 时刻第 g 群粒子在流体运动空间 ( x，r) 处沿速度方向 ( ，) 的通量，G 为粒子的能群总数 ( 5) 式中 vg为第 g 群粒子的速度，trg为已知的输运截面，参数 = 1 槡2cos ， = 1 槡2sin ，右端项函数Qg代表第 g 群粒子通量的源项1. 2 分裂算法控制方程( 1 5) 描述了惯性约束聚变中，流体力学、辐射热传导与粒子输运

4、三个物理过程间的复杂耦合过程 首先，流体力学的物理量( 坐标、速度、密度和温度等) 给辐射热传导与粒子输运( 5) 提供了初始条件与分布信息，例如辐射热传导的温度场分布与热传导系数 ( ，T) ，粒子输运的空间坐标 R = ( x，r) 等 其次，辐射热传导的辐射流 T·n 影响流体力学的能量分布，而且辐射压还影响流体的动量守恒( 2) 与压力做功项 pU·n 最后，在高温高压流场下，粒子输运反馈的能量 W( g) 给流体力学能量守恒( 3) 提供了外源项 虽然辐射热传导与粒子输运之间没有相互的直接影响，但两者通过流体力学的物理量分布产生间接影响，例如，粒子反馈给流体的能量

5、 W( g) 改变了辐射的温度梯度分布，而辐射对于流体运动的改变也影响粒子通量 g的分布多物理耦合问题的数值模拟，通常采用分裂方法将其分解为多个子过程分别求解 在一个时间步内，耦合问题中流体、辐射与粒子输运三个物理过程的分裂计算流程如下:输入初始物理量分布( 坐标、速度、密度、温度、粒子通量) ；    根据流体力学提供的流场物理量( 坐标、速度等) ，求解粒子输运方程( 5) 得到粒子通量 g与反馈的能量 W( g) ；    求解流体力学方程( 1 3) ，其中能量守恒方程不含辐射项，半离散格式如下；  

6、60; E    * EntV = ( t)E( U D) ·nds ( t)pU·nds +( t)W( g) dV; ( 6)由总能 E*减去动能得到能量 e*，再由状态方程( 4) 反解出温度 T*；    不考虑流体运动的影响，求解辐射热传导问题的半离散格式如下；    T    n + 1 T*tV = ( t)( T·n) ds ( 7)由 Tn + 1根据状态方程( 4) 可以得到总能量 En + 1由计算流程图 1 可以看出，流体

7、力学、辐射热传导与粒子输运分别各自求解，并没有涉及到每个物理过206第 2 期 任 健等: 基于 JASMIN 框架的辐射流体与粒子输运耦合计算程的具体计算方法，因此可以针对单一物理过程，设计相应的数值方法与计算程序2 辐射流体与粒子输运的耦合计算2. 1 JASMIN 框架的“联邦计算”针对多物理模型的耦合求解问题，JASMIN 框架提出了“联邦计算”8的概念，将多物理过程的所有物理模型视为一个“联邦”( Federation) ，而其中的每个物理模型视为联邦中的一个“邦元”( Federal) 每个邦元具有自己独立的网格几何、网格片层数据结构与时间积分算法，既可以保证邦元程序各自独立开发，

8、又可以通过联邦将求解不同物理模型的所有邦元耦合起来，而且屏蔽邦元之间的并行数据传输细节，实现了多物理模型耦合程序总体模拟的并行计算如图 2 所示，JASMIN 框架下的多物理联邦包括流体力学、辐射热传导与粒子输运三个邦元 其中，每个邦元不仅各自具有独立的网格片层结构，而且计算方法及其并行算法也各不相同，可以最大程度保持邦元计算程序的独立性区域分解并行计算时，邦元独立的网格片( Patch) 划分，有利于邦元程序根据实际计算的负载情况，动态调整网格片的划分及其在处理器上的分配，以期达到负载平衡图 1 辐射流体与粒子输运耦合问题的计算流程图Fig 1 Composition computing p

9、rocess of radiationhydrodynamics and particle transport图 2 JASMIN 框架多物理耦合联邦计算的体系结构示意图Fig 2 Software architecture of multiphysics composition “Federation”based on JASMIN同时，各个独立的物理邦元又遵循框架统一的“联邦规则”，即联邦的网格片层结构与时间积分算法，并且借助框架屏蔽邦元间数据传输的特点，使得框架下的多物理耦合联邦具有良好的扩展性 所以，遵循框架“联邦规则”的各种物理模型，都可以作为一个新的物理邦元无缝连接到联邦中，形成新

10、的多物理耦合集成程序2. 2 辐射流体与粒子输运的联邦耦合RH2D 程序是二维柱几何辐射流体力学程序，其中流体力学采用体平均多流管方法1，辐射热传导采用九点格式9 10 Sn2D 程序是二维柱几何粒子输运程序，其中在几何空间采用间断有限元方法，在角度空间采用离散坐标( Sn) 方法隐式求解多群近似方程，并采用源项迭代方法求解离散所得的线性方程组4 5通过 JASMIN 框架的“联邦计算”，将辐射流体程序 RH2D 与粒子输运程序 Sn2D 作为两个邦元联接起来，形成二维辐射流体力学多物理耦合应用程序 RHSn2D 从耦合算法的角度讲，JASMIN 框架下的 RHSn2D程序依然采用算子分裂方法

11、，通过能量方程将辐射流体与粒子输运两个物理过程进行多物理模型的耦合; 但是从程序联接的角度讲，框架下的 RHSn2D 程序更加注重不同物理建模、计算程序的独立性与扩展性如图 3( a) 所示，JASMIN 框架下 RHSn2D 程序多物理耦合计算流程与图 1 的基本计算流程是相同的，但是增加了启动框架和关闭框架两个步骤( 图 3( a) 中阴影部分表示) 首先，按照框架下应用程序运行的规则8，在 RHSn2D 程序耦合计算前需要启动 JASMIN 框架，完成读取计算数据参数、创建网格片层次结构和207计 算 物 理 第 29 卷图 3 JASMIN 框架下 RHSn2D 程序的多物理耦合计算流

12、程图Fig 3 Multiphysics computing process of code RHSn2D based on JASMIN积分算法类对象，以及初始化网格片层次结构和物理量 然后，RHSn2D 程序分别调用流体( 图 3( b) ) 、辐射( 图 3( c) ) 与输运( 图 3( d) ) 计算模块完成耦合计算的时间步推进 最后，在 RHSn2D 程序耦合计算结束时，需要终止 JASMIN 框架系统，释放计算过程中创建的网格片、积分构件等所有对象JASMIN 框架下 RHSn2D 程序联邦耦合计算，还需要创建邦元独立的网格片层结构与积分构件 以辐射流体邦元 RH2D 为例( 图

13、 3( b) 中阴影部分表示) ，首先由 JASMIN 框架将计算区域划分为多个网格片，建立邦元的网格片层次结构，并定义其上的物理量，创建变量和上下文，注册变量上下文配对到变量数据库，获得数据片索引号 然后，创建 RH2D 邦元计算过程中的积分构件，包括初值构件、数值构件、内存构件、规约构件与复制构件等 辐射热传导计算采用与流体力学完全相同的网格片层结构，所以无需再次创建网格片( 图3( c) ) 但是，粒子输运邦元 Sn2D 则需要创建独立的网格片层结构与积分构件 ( 图 3 ( d) 中阴影部分所示 ) ，其过程与 RH2D 邦元类似不再冗余叙述基于 JASMIN 框架，RHSn2D 程序

14、建立的辐射流体邦元与粒子输运邦元，各自具有独立的网格片层结构，并在其上设计相应的时间积分算法( 构件) ，使得 RHSn2D 程序无论在物理建模方面，还是在程序结构方面，都具有良好的独立性与可扩展性2. 3 多物理耦合程序的并行计算在整个多物理耦合计算过程中，JASMIN 框架负责邦元间( 以及邦元内) 不同网格数据片的动态内存管理与并行数据交换，而 RHSn2D 程序只负责邦元网格片上物理量的串行计算，包括数值格式与边界计算两个部分 如图 3 所示，流程图中的阴影部分为涉及 JASMIN 框架的相关操作，其余部分为 RHSn2D 程序多物理耦合( 图 3( a) ) 与单个物理过程( 图 3

15、( b) ，3( c) ，3( d) ) 的计算流程以流体力学为例，说明 JASMIN 框架下 RH2D 邦元并行计算的基本过程 如图 3( b) 所示，在创建辐射流体邦元 RH2D 的网格片与积分构件后，流体力学的体平均流管方法1计算过程分为三部分，求解黎曼问题的近似解; 计算网格移动的坐标; 计算流体的质量、动量与能量( 不含辐射热传导项) 的守恒方程208基于 JASMIN 框架的辐射流体与粒子输运耦合计算任 健， 魏军侠， 曹小林( 北京应用物理与计算数学研究所，北京 100094)摘 要: 基于 JASMIN 框架的 “联邦计算”，将两个串行程序辐射流体 RH2D 与粒子输运 Sn2

16、D 作为独立 “邦元”耦合连接，形成的集成程序 RHSn2D 可以采用数千处理器并行模拟多物理耦合问题 集成程序 RHSn2D 中的邦元具有各自独立的网格划分与并行算法，同时借助框架技术，可以屏蔽邦元间的并行数据传递 算例表明，对于应用问题规模 ( 90 720 个网格单元，辐射流体 100 个 Patch，粒子输运 2 835 个 Patch，Sn 方向 48，16 群) ，集成程序 RHSn2D 采用 1 024 个处理器可以达到 36% 的并行效率      关键词: 辐射流体; 粒子输运; 多物理耦合; JASMIN 框架; 并行计算  

17、;   中图分类号: O246 文献标识码: A    投稿日期: 2011 05 18; 修回日期: 2011 10 19基金项目: 国家自然科学基金( 61033009，11001027) ，国防基础科研计划( B1520110011) 和重点实验室基金( 9140C690201110C6904) 资助项目作者简介: 任健( 1978 ) ，男，山西太原，副研究员，硕士，从事辐射流体计算方法与数值模拟研究，北京市海淀区丰豪东路 2 号，100094，E-mail: ren_jian iapcm ac cn0 引言在应用研究领域中，许多复杂物

18、理问题通常由多个不同种类的物理过程耦合构成 数值模拟此类复杂物理问题时，通常将其分解为多种不同类型的物理过程，然后分别针对单个物理过程提出数学模型方程，并设计相应的数值计算方法与并行程序，最后将这些独立开发的应用程序耦合起来共同完成 例如，在惯性约束聚变( ICF) 复杂物理问题的数值模拟中，需要耦合求解多个物理过程，主要包括流体力学运动、辐射传输( 扩散近似或者输运描述) 、核反应动力学、粒子输运和激光传输等1 5在以往的多物理耦合集成程序研究过程中，采用上述的研究方式遇到了诸多困难 首先，不同时期、不同人员开发的应用程序集成难度大、周期长; 其次，集成程序的耦合模式扩展性较差，不利于程序中

19、物理建模与数学方法的改进; 最后，“串行程序并行化”6的研究模式，使得集成程序的并行化研究滞后 如何将求解不同类型物理过程的数值模拟程序耦合在一起，既保证程序各自的独立开发，又保证集成程序总体模拟的高效运行，并且实现集成程序的并行计算，成为多物理耦合集成程序研究的重要课题 文献6提出一种科学计算应用程序的层次化研究模式，采用 JASMIN 框架7的相关支撑技术，可以帮助集成程序克服以上困难，提高集成程序的数值模拟研究能力JASMIN 框架( J Adaptive Structured Mesh applications INfrastructure) 的全称为并行自适应结构网格应用支撑软件框架

20、，其中 J 代表研制单位北京应用物理与计算数学研究所 JASMIN 框架围绕科学与工程计算中普遍采用的结构网格或非结构拼接的结构网格，提供丰富的数据结构、算法构件与解法器，屏蔽高性能并行计算( 数据通信、负载平衡) 和网格自适应( 细化、粗化) 的实现，支撑多物理模型的耦合计算方法研究与高效并行应用程序研制8本文以惯性约束聚变( ICF) 中辐射流体与粒子输运的多物理耦合过程为例，基于 JASMIN 框架的“联邦计算”，联接两个不同应用背景的串行程序，实现辐射流体与粒子输运集成程序的多物理耦合并行数值模拟 实际应用问题的数值算例表明，JASMIN 框架下集成程序总体模拟具有较高的并行效率1 多

21、物理耦合问题1. 1 控制方程在二维柱坐标下，考虑积分形式的质量、动量、能量守恒方程1 3:第 2 期 任 健等: 基于 JASMIN 框架的辐射流体与粒子输运耦合计算RH2D 邦元流体计算的每个步骤对应一个数值积分构件，并由此构件调用邦元的串行代码 ( 通常为 Fortran语言) 完成网格片上的数值计算 当流体力学并行计算时，在每个计算步骤( 积分构件) 之间，需要通过JASMIN 框架完成不同处理器( 或同一处理器上 ) 不同网格片之间影像网格的消息传递，而消息传递的具体内容则在积分构件初始化的时候提前声明 JASMIN 框架下 RHSn2D 程序辐射热传导、粒子输运并行计算的基本过程也

22、采用与流体力学相同的模式，但是也有部分数值计算步骤，可以直接调用框架的数值构件完成，例如( 图 3( c) 中) 代数解法器与( 图 3( d) 中) 网格扫描排序在 RH2D 邦元的辐射热传导计算中，采用隐式时间离散需要形成整个计算区域的系数矩阵与右端项 首先，在网格片上，RH2D 邦元采用九点格式计算辐射系数矩阵与右端项的单位元素 然后，再由 JASMIN 框架自动收集邦元所有网格片上的单位元素，并将其组合装配形成整个邦元计算区域上的系数矩阵与右端项，再调用 JASMIN 框架提供的代数解法器，并行求解辐射热传导问题的系数矩阵 在实际计算中，RH2D 邦元的代数解法器选取框架提供的 BiC

23、GSTAB 并行解法器与 AMG 预条件子在粒子输运的 Sn 方法中，对于( 角度空间的) 每个离散坐标方向，通量扫描算法需要根据网格边上的入射通量条件确定所有网格的计算顺序，使得相邻网格之间具有严格的数据依赖性 因此，在( 几何空间的) 网格区域分解时，通量扫描的并行算法成为 Sn 方法并行计算的关键环节文献11在保证 Sn 扫描算法的串行与并行计算结果一致的情况下，充分发掘算法的内在并行度，给出了基于有向图分解的并行流水线 Sn 扫描算法 在并行流水线 Sn 扫描算法的基础上，文献12讨论了网格计算队列的优先级插入算法，在通信延迟较高的并行机上可以取得较好的并行效果，文献13则引入消息缓冲

24、技术，减少通信开销，提高并行性能，并将其应用于二维多群辐射输运程序 LARED-R-1 的并行化研究中对于不同的物理邦元，并行联接算法成为多物理耦合数值模拟的重要技术 文献14提出了完全松散联接算法( FLCA) 与两层紧耦合联接算法( TLCA) ，前者强调了各个并行( 邦元) 程序的可扩展性与独立性，后者在前者的基础上，还考虑了( 邦元间) 数据传递与耦合模拟的高效 文献15总结了多介质辐射流体力学数值模拟中并行计算的相关研究进展文献11 15中一些成熟的并行算法与关键技术已经集成到 JASMIN 框架中，可以作为独立的数值构件提供应用程序直接调用，大大加快了程序耦合与并行化的研发速度 R

25、HSn2D 程序中粒子输运邦元 Sn2D的并行计算，采用框架提供的并行 Sn 网格扫描排序算法( 图 3( d) ) ，而且多物理耦合联邦中 RH2D 邦元与Sn2D 邦元的并行联接算法也采用框架提供的支撑技术完成综上所述，与以往的“串行程序并行化”研究模式不同，利用 JASMIN 框架屏蔽并行计算( 数据通信、负载平衡) 的支撑技术，耦合联接 RH2D 与 Sn2D 两个串行程序形成的 RHSn2D 集成程序，不仅可以数值模拟辐射流体与粒子输运的多物理耦合复杂问题，而且还可以采用数千个处理器进行大规模并行计算，达到程序耦合与并行计算的同步实现，基本解决以前程序研制过程中“并行化滞后”的弊端通

26、过大量 Benchmark 模型的计算与检验，RHSn2D 程序的计算结果是正确的，下一章将主要介绍JASMIN 框架下 RHSn2D 程序的并行性能3 并行数值算例3. 1 模型简介选取实际应用问题中的多介质模型，测试 JASMIN 框架下 RHSn2D 程序的并行性能: 模型 A，物质的温度较高，用于测试 RHSn2D 程序的辐射流体计算; 模型 B，网格严重扭曲，而且密度、温度变化幅度较大，用于测试 RHSn2D 程序的粒子输运计算; 模型 C，兼备前两个算例的特点，用于测试 RHSn2D 程序辐射流体与粒子输运的多物理耦合计算3. 2 辐射流体力学算例选取模型 A，网格总数达到 102

27、 400，计算 100 步，测试 JASMIN 框架下 RHSn2D 程序计算辐射流体问题的计算时间与加速比 如表 1 所示，RHSn2D 程序采用 128 个 CPU 计算时，可以达到 92 倍左右的加速比，并行效率达到 72% 但是由于分配到每个 CPU 上的网格数目较少，RHSn2D 程序采用 256 个 CPU 计算时，并行效率下降到 59% 209计 算 物 理 第 29 卷表 1 RHSn2D 程序计算模型 A 的计算时间与加速比Table 1 CPU time and speedup of model A calculated by code RHSn2DCPU流体力学 辐射热传

28、导 辐射流体总和时间 /s 加速比 时间 /s 加速比 时间 /s 加速比1 114. 33 1. 00 124. 26 1. 00 238. 62 1. 002 57. 41 1. 99 64. 80 1. 92 122. 25 1. 954 40. 19 2. 84 43. 84 2. 83 84. 04 2. 848 14. 57 7. 85 17. 93 6. 93 32. 52 7. 3416 8. 77 13. 04 10. 09 12. 32 18. 86 12. 6532 4. 21 27. 16 4. 86 25. 57 9. 22 25. 8864 2. 36 48. 44

29、 2. 85 43. 60 5. 30 45. 02128 1. 15 99. 42 1. 35 92. 04 2. 59 92. 13256 0. 71 161. 03 0. 84 147. 93 1. 58 151. 033. 3 粒子输运算例选取模型 B，网格规模为 4 980，Sn 离散方向为 S4( 即 16 个离散方向) ，能群取各向同性的 16 群参数，计算 100 步，测试 JASMIN 框架下 RHSn2D 程序计算粒子输运问题的计算时间与加速比 如表 2 所示，由于网格规模较小、角方向离散少，RHSn2D 程序采用 64 个 CPU 计算时，可以达到 34 倍左右的加速比，

30、并行效率约52% ，而采用 128 个 CPU 计算时，加速比约为 47 倍左右，并行效率下降到 37% 表 2 RHSn2D 程序计算模型 B 的计算时间与加速比Table 2 CPU time and speedup of model B calculated by code RHSn2DCPU 时间 / s 加速比 CPU 时间 / s 加速比1 742. 64 1. 00 16 59. 75 12. 432 411. 33 1. 81 32 33. 27 22. 324 211. 73 3. 51 64 22. 15 33. 538 118. 47 6. 27 128 15. 83 4

31、6. 913. 4 辐射流体与粒子输运的耦合算例选取模型 C，网格规模为 90 720，其中辐射流体邦元的网格划分为 100 个 Patch，粒子输运邦元的网格划分为 2 835 个 Patch，Sn 离散方向为 S8( 即 48 个离散方向) ，能群取各向同性的 16 群参数，计算 1 000 步，测试 JASMIN 框架下 RHSn2D 程序计算辐射流体与粒子输运耦合问题的计算时间与加速比表 3 RHSn2D 程序计算模型 C 的计算时间与加速比Table 3 CPU time and speedup of model C calculated by code RHSn2DCPU流体力学

32、辐射热传导 粒子输运 多物理耦合总体时间 /s 加速比 时间 /s 加速比 时间 /s 加速比 时间 /s 加速比16 31. 84 1. 00 70. 61 1. 00 17 247. 2 1. 00 17 375. 5 1. 0032 17. 00 1. 87 47. 67 1. 48 8 372. 3 2. 06 8 454. 8 2. 0664 9. 24 3. 45 31. 28 2. 26 4 969. 8 3. 47 5 028. 6 3. 46128 7. 03 4. 53 20. 54 3. 44 2 539. 3 6. 79 2 591. 8 6. 70256 6. 23

33、5. 11 25. 12 2. 81 1 517. 3 11. 37 1 593. 6 10. 90512 6. 01 5. 30 32. 04 2. 20 921. 6 18. 71 1 044. 3 16. 641 024 6. 85 4. 65 54. 79 1. 29 523. 8 32. 93 755. 5 23. 00如表 3 所示，辐射流体与粒子输运的多物理耦合计算中，粒子输运计算时间占到两者计算时间的绝大部分，CPU 数目在 256 个以下时甚至可以占到 98% 左右，即使 CPU 数目达到 1 024 个，粒子输运计算时间也可以占到 90% 左右 因此，多物理耦合并行计算的加

34、速比主要由粒子输运的加速比决定，而辐射流体的加速比对耦合程序总体加速比的影响非常小表 3 中，当 CPU 达到 128 个以上，由于辐射流体力学网格划分的 Patch 数目较少，辐射流体的并行效率显著下降 但是，相对于 16 个 CPU，在 512 个 CPU 上，辐射流体与粒子输运耦合计算的总体并行效率依然保持在 50% 左右，而且在 1 024 个处理器上，耦合程序也可以达到 36% 的并行效率210第 2 期 任 健等: 基于 JASMIN 框架的辐射流体与粒子输运耦合计算在大规模并行计算条件下，随着 CPU 数目的增多，辐射流体与粒子输运的耦合联接时间占多物理耦合总体计算时间的比值将逐

35、步增大，而两者计算时间之和所占比重将下降 如表 3 所示，在 512 个 CPU 上，辐射流体与粒子输运计算时间之和占到总体计算时间的 92% ，但当 CPU 数目达到 1 024 时，这个比值下降到77% ，从而影响到总体的并行效率 因此，并行联接算法成为进一步提高 JASMIN 框架下辐射流体与粒子输运耦合程序并行效率的重要因素4 结束语在科学与工程计算中，借助并行软件框架技术，开展多物理耦合程序集成是探索应用程序研究模式的一条新途径 本文以辐射流体与粒子输运的多物理耦合过程为例，基于 JASMIN 框架的相关支撑技术，耦合联接两个串行程序研制集成程序 RHSn2D遵循 JASMIN 框架

36、“联邦规则”的集成程序 RHSn2D，具有良好的扩展性，可以采用数千个处理器进行辐射流体与粒子输运耦合问题的并行数值模拟，而且同步实现集成程序的耦合研制与并行计算 数值算例表明，JASMIN 框架下集成程序 RHSn2D 不仅计算单一物理模型问题( 辐射流体或者粒子输运) 具有较好的并行效率，而且多物理耦合总体模拟也具有较高的并行效率 在今后的工作中，集成程序 RHSn2D 将充分利于框架的支撑技术，如结构网格的非结构拼接等，拓展程序的数值模拟能力致谢: 感谢北京应用物理与计算数学研究所莫则尧研究员、申卫东研究员与作者的有益讨论参 考 文 献1 李德元，徐国荣，水鸿寿，等 二维非定常流体力学数

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