培养和提高学生运算能力的几个有效途径

1、培养和提高学生运算能力的几个有效途径福建省仙游一中余启西运算能力是一种集算理、算法、计算、推理、转化等多种数学思想方法于一体的综合性能力。培养和提高学生的运算能力已成为数学教学中普遍关注的问题之一。根据数学运算的特点以及能力形成与发展的基本理论，在教学中可以从以下几个方面着手培养和提高学生的运算能力。一、准确理解和掌握基础知识，重视算理、公式、法则的理解、记忆与运用。数学概念、公式、法则、性质中，有的是运算的依据，说明了“为什么可以这样做”的理由，有的是运算的方法与步骤，给出了：如何做的程序，即算法，学生学习了有关的概念、性质、公式，在理解的基础上记忆、法则、步骤，然后通过一系列操作活动(即练

2、习)逐渐形成某种运算技能。例1：实数与满足33251，33255，求。分析本题如果直接解方程组求出与，则运算相当麻烦，若领会并运用整体思想与结构模型的相似性，便有下面简捷的解法。解：由33251可得(1)32(1)2，由33255得(1)32(1)2，设f (x)x32x2，则f (x)在R上单调递增，又f(1)f (1)0，于是1，故2例2：求的值。(1997年高考试题)分析：本题7°、15°、8°均非特殊角，考虑到 15°8°7°的特征先利用积化和差公式。解：原式 =tan15°2通过这样的基本运算的训练，使学生在运用中

3、进一步记忆，掌握相关公式和法则。二、注重数学思想方法在运算中的运用运算能力发展到一定的水平，即形成了运算的基本方法和技能，这个过程是不断运用有关的数学思想方法最常用的是等价转化和数形结合的以及运动变化三角替换等。例3 一张纸上画有半径的r的O和圆内一定点A，且OAa，折叠纸片，使圆周上某一点A刚好与点A重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合(2003全国高中数学联赛)该题文字简练，格调清新，呈现出鲜明的几何背景，它以折叠和对称为切入点，探求非常规的轨迹问题，题目中蕴含着多种数学思想和运动变化的观点，是一道匠心独运的好题，我们在观赏它那富

4、有创意的命题设计的同时，再给出此题的巧解：如图建立直角坐标系，则有A (a , o)，连结OA交折痕L于点M，连结MA，则|MA|MA|，|OM|MA|OM|MA|r由椭圆的可知，点M的轨迹是以O(0，0)，A(a，o)为焦点，长轴长为r的椭圆，其方程为：1又对于折痕L上任意异于M的点R，有|RO|+|RA|RO|+|RA|OAr从而R在椭圆外。因此，所有折痕所在直线上点的集合为椭圆外(包括椭圆上)点的集合。例4求函数yx的值域？(2001全国高中数学联赛)分析：由x23x+20，得x1或x2，又x23x+2(x)2 ，设x，0，)(),则y+sec+|tan|当0，)时,y+sec+tan

5、+tan()又+，则tan()1此时y2，类似地，当(，时，1y故所求函数值域为1，2，+注：形如(|x|a)等代数式中的x可以用正(余)割代换。三、重视运算过程中思维灵活的训练，强化“审题意识”。所谓强化“审题意识”是指在教学中，让学生不满足于停留在对问题的简单和表面的思考；而是在此基础上，注意引导学生通过对题设条件的反复仔细思考，从而挖掘出问题中重要的隐含条件，从中获得重要的解题信息，以便抓住问题的实质，减少运算的盲目性，进而产生合理、简洁的运算途径。例5设x，y，zc，x(yz)，y(zx)，z (xy)成等比数列，求公比。分析本题常规的解题过程是通过等比数列的有关性质，在列方程(组)进

6、行运算求解，例如，运用y(zx)2x(yz)·z (xy)去化简运算或者设出公比q，由y(zx)qx(yz)，z(xy)q2x(yz)去求解，其运算量不但较大，而且运算过程也困难重重，然而，若注意到强化学生的审题意识，从而引导学生在运算(解题)之前对问题进行隐含条件的挖掘与思考(此题考虑到x (yz)y(zx)z(xy)0 )，情况就大不相同了。下面是具体解法：解：设公比为q，依题意得：q±i注：由此可见，在运算之前注意到对问题中各种隐含条件的挖掘和思考，即注意引导学生强化审题意识是获得合理简洁运算途径的重要策略之一，也是培养学生运算能力的有力举措。例6 已知xyz0，求证

7、： x2+y2+z2(第31届IMO的一道预选题)分析：强化“审题意识”挖掘了隐含的信息：由Cauchy不等式，()()(x2y2z2)2，观察上式，如有则问题得证。证明：由Cauchy不等式，有()()(x2+y2+z2)2，故只须证明x、y、z均为正数只须证明：x3y2 x2y3y3z2y2z3x2z3x3z20(1)x3y2 x2y3y3z2y2z3x2z3x3z2x2y2 (xy)y2 z2 (yz) x2z2 (zx)x2 y2 (xy)y2 z 2 (yz) x2 z2 (zyyx)(xy)(x2y2x2z2)(yz)(y2z2x2z2)x2(xy)(yz)(yz)z2(yz)(y

8、x)(yx)(yz)(xy)y(xz)(xz)xz(xz)(yz)(xy)(xz)(xyyzxz)由xyz0，知上式大于零，故原不等式得证注：此题的关键是挖掘()(+)(x2y2z2) 2隐含的信息。四、正向思维与逆向思维的转换训练，强化“转化意识”。例7：解关于x的不等式01(其中aR)分析：运算能力差的学生由于缺乏转化意识，也就不能注意到问题中x22x2(x1)210从而会去“死”解不等式，但因为需要计算两个分式不等式(并且含参数a)其运算太复杂，故很难顺利解题，只有运算能力强的学生由于具有运算中的转化意识，才会在本题的求解中进行如下转化，从而得到最佳的运算途径。解：01()而x22x2(x1)210所以()<><>x22x2<12ax<> x22(a1)x10(显然，这样的运算量远比()式简洁)1°当4(a1)240即2a0时，x2°当0即a0或a2时x1xx2其中x1a1x1a1从以上例子