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文档简介

1、本文发表于中学数学研究（南昌）2003年第11期证明分式不等式的关键是去分母215006 苏州市第一中学 刘祖希文1234从不同角度介绍了如何使用均值不等式证明轮换对称不等式，实际表明，轮换对称不等式中相当一部分是分式不等式.经过一番探究，笔者发现，关键在去分母，即根据分母的结构特点，兼顾整体的“次数”、“系数”，添加（构造）适当的式子，再应用均值不等式去掉全部或部分分母.下面以文1234的例题为例详细予以介绍.1 直接添加分母当分母比较简单时、分子分母次数差异不大，可直接添加分母，但应根据等号成立的条件搭配适当的系数（用待定系数法）.例1 (第26届全俄数学奥林匹克)已知，则. 分析：要去分

2、母，可添加，常数待定， 比较，则即.证明略.同类问题还有：已知，且，则.已知，则.（第二届“友谊杯”国际数学邀请赛）已知，且.求证.（第24届全苏中学生数学竞赛）推广：已知，且.求证.已知，则.(1984全国高中数学联赛)2 选择添加和式、积式当分母由几个式子构成时，则要选择添加这几个式子的和式或积式.例2 （IMO39预选题）已知，且，求证：. 分析：根据的分母，尝试两种添加方法：添加，则，由取等号，得；添加，则，由取等号，得；比较与，选择添加方法.证明：，同理，.3 适当调整分母、分子次数设原分式为型，考虑“次数”的基本要求是：添加以后，应尽量使得中与次数相同、中与次数相同，等等.例3 (

3、IMO36试题)已知，则. 分析：分母、分子次数相去甚远，考虑先缩小二者次数差距，分子“二次”、分母“一次”，添加，由取等号，得.证明：，相加，.例4 （IMO31预选题）设，且，求证：. 分析：若直接添加，则，不能进行下去；根据的分母，考虑次数要求，应添加二次式：（题设恰有且为定值），则，由取等号，得；接下去需要比较与，这容易办到.证明：， ，相加，.4 构造正负项相消以上各例均为分式相加，若出现分式相乘的情况应考虑“正负项抵消”.例5 （IMO41试题）设非负实数，且，证明：. 分析：求证结论中分式相乘且不等号为“”，用均值不等式必定会出现式子相加，尝试用正负项抵消的办法消去分式，中有，能否出现？提取即可.证明：，同理，相乘，.5 简短总结选准去分母的式子的结构：和式还是积式、含哪几个字母、字母的次数各是多少、待定式子的系数，

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