利用MATLAB设计线性二次型最优控制器

1、实验6 利用MATLAB 设计线性二次型最优控制器6.1 实验设备 同实验1。 6.2 实验目的1、学习线性二次型最优控制理论;2、通过编程、上机调试,掌握线性二次型最优控制器设计方法。 6.3 实验原理说明考虑控制系统的状态空间模型(6.1=+=Cx y Bu Ax x &其中:x 是维状态向量,u 是维控制向量,y 是r n m 维的输出向量,A 、B 和分别是、和C n n ×维的已知常数矩阵,系统的初始状态是。00(x x =m n ×n r ×系统的性能指标是+=0T T d t J Ru u Qx x (6.2其中:为对称正定(或半正定矩阵,Q

2、 R 为对称正定矩阵。性能指标右边的第一项表示对状态的要求,这一项越小,则状态衰减到零的速度越快,振荡越小,因此控制性能就越好。第二项是对控制能量的限制。x x 若系统的状态是可以直接测量的,且考虑的控制器是状态反馈控制器,则可以证明,使得性能指标(6.2最小化的最优控制器具有以下的线性状态反馈形式Kx u = (6.3P B R K T1=是维状态反馈增益矩阵,P 是以下黎卡提矩阵方程n m ×式中的0T 1T =+Q P B PBR P A PA (6.4的对称正定解矩阵。此时,性能指标的最小值是,最优闭环系统0T 0x P x =J x BK A x(=& (6.4 B

3、K A 的所有特征值均具有负实部。是渐近稳定的,即矩阵MATLAB 中的函数K,P,E=lqr(A,B,Q,R给出了相应线性二次型最优控制问题的解。函数输出变量中的K 是最优反馈增益矩阵,P 是黎卡提矩阵方程(6.4的对称正定解矩阵,E 是最优闭环系统的极点。 6.4 实验步骤1、线性二次型最优控制器设计,采用MATLAB 的m-文件编程;2、在MATLAB 界面下调试程序,并检查是否运行正确。 例6.1 考虑由以下状态空间模型描述的系统:u +x x & 系统的性能指标定义为J+=0T T d (t Ru u J Qx x其中:1,100010001=R Q试设计最优状态反馈控制器,

4、并检验最优闭环系统对初始状态的响应。T 0010(=x 通过执行以下的M-文件:A=0 1 0;0 0 1;-35 27 -9; B=0;0;1;Q=1 0 0;0 1 0;0 0 1; R=1;K,P,E=lqr(A,B,Q,R 得到K =0.0143 0.1107 0.0676 P =4.2625 2.4957 0.0143 2.4957 2.8150 0.1107 0.0143 0.1107 0.0676 E =-5.0958 -1.9859 + 1.7110i -1.9859 - 1.7110i因此,系统的最优状态反馈控制器是A=0 1 0;0 0 1;-35 27 -9; B=0;0

5、;1;K=0.0143 0.1107 0.0676;sys=ss(A-B*K,eye(3,eye(3,eye(3; t=0:0.01:8;x=initial(sys,1;0;0,t; x1=1 0 0*x; x2=0 1 0*x; x3=0 0 1*x;subplot(2,2,1;plot(t,x1;grid xlabel(t (sec;ylabel(x1subplot(2,2,2;plot(t,x2;grid xlabel(t (sec;ylabel(x2subplot(2,2,3;plot(t,x3;grid xlabel(t (sec;ylabel(x3 得到 图6.1 系统对初始条件的响应曲线6.5 实验要求在运行以上程序的基础上,对系统u x xx