分形理论在晶体表面形貌中的应用

1、分形理论在晶体表面形貌中的应用    关键词： 分形理论；分形维数；应用状况；晶体形貌 1 分形的理论概述 1.1 分形的一般概念 分形这个词是由美国IBM公司研究中心物理研究部研究院暨哈佛大学数学系教授Benoit B.Mandelbrot在1975年首次提出的，其原意是“不规则的、分离的、支离破碎的”物体。这个名词是参考了拉丁文fractures后造出来的，它既是英文又是法文，既是名词又是形容词。1977年，Benoit B.Mandelbrot出版的第一本著作Fractal：Form chance and Mimension，标志着分形理论的正式诞

2、生。5年后，他出版了著名的专著The Fractal Geometry of nature，至此，分形理论初步形成。 分形是一种粗糙的或破碎的几何图形，它的组成部分可以被无限细分，而且它的局部的形状一般与整体相似1。分形一般是自相似的和标度不变的。 1.2 分形体的数学构造与维数 分形体是一个维数，介于点、线、面之间的客体，具有分形特征的物体的维数往往是分数。分形体不具有晶体几何的旋转对称和平称对称性，但具有其特有的标度对称、伸缩对称与自相似性。分形体的数学构造通常可分为Cantor棒分形、sierpinski四面体分形、随机分形、多重分形。 分形维数又叫分维，是定量刻画分形特征的参数，在一般

3、情况下是分数，它表征了分形体的复杂程度，分形的维数越大，其客体就越复杂，反之亦然。 1.3 分形的自相似性 分形结构的本质特征是自相似性或自仿似性。自相似性是指把观察对象的一部分沿各个方向以相同的比例放大后，其形态与整体相同或相似。一个系统的同相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的。另外，在整体与整体之间，或部分与部分之间，也会存在自相似性。 2 分形理论在晶体表面形貌中的应用 2.1 分形理论在无光釉LiAlSiO4SiO2体系枝晶中的应用 枝晶生长是一种在一定冷凝状态下冷凝的金属、合金以及其他材料的一种常见生长模型。枝晶理论的发展受到了科学和机械的重视，这是

4、因为枝晶不仅具有错综复杂的图案，而且具有广泛的工业用途2。一些模拟和实际试验得出来的枝晶已经被描述具有接近分形的结构。分形生长理论是一种非线性科学的一个新的分支，在过去的几十年里强烈的吸引了人们的目光，特别是八十年代3。这里我们给出的无光釉LiAlSiO4SiO2体系的一种特殊枝晶，它不具有树状或者雪花状形貌但是却具有类似于分形中sierpinski gasker的形貌。 利用原子力显微镜和微分干涉显微镜观察形成于无光釉LiAlSiO4SiO2 体系的枝晶釉料的表面。由观察我们发现，枝晶在不同的晶体上表现出了三种不同的形貌：雪花状、穿插状和三角形状。雪花状和穿插状的枝晶具有一般的枝晶形貌，而三

5、角形状的枝晶较少见。 如图1所示，为该枝晶的原子力显微镜和微分干涉显微镜下的“sierp Inski gasker”图片。从这几幅图片上我们可以很明显的看出自相似性：大的三角形中包含有许多小的三角形，而小的三角形中又包括许多更小的三角形。 图1AFM和DIC下的“Sierpinski gasket”枝晶 （ ），（b）和（c）为原子力显微镜（AFM）图形，其中（c）是 （a）图形的放大（200）；（e）为微分干涉显微镜（DIC）400，（f）为（e）图的草图4。 图1中所示的具有“sierpinski gasker”的枝晶截面恰好是三次轴的方向。同时，在枝晶的其他表面上还存在其他的形貌相为“s

6、ierpinski gasker”枝晶上接近平行三次轴的界面上的原子力显微镜图片。我们可以通过对这两个方向上的形貌分析画出立体的“sierpinski gasker”的形貌相。这种立体的“sierpinski gasker”枝晶组成了许多中空的并有可能被玻璃基质充填的三角锥。这一立体的形貌相与分形中的“Menger sponge”相似。 “sierpinski gasker”枝晶的三次轴方向上的形貌与“sierpinski gasker”图非常相似。但实际的“sierpinski gasker”枝晶并不与理想中的“sierpinski gasker”图完全一致的。实际中的分形都只是接近于理论分

7、形的，而且重复的次数在实际中也不是无限的。在这里我们在AFM和DIC尺度上只可以看到两次或者三次的重复，如图1所示。再者，树形的“sierpinski gasker”枝晶在图1的（e）中得到反映，这一树形的结构并不能在理想的“sierpinski gasker”图出现。 “sierpinski gasker”枝晶的立体形貌与理想的“Menger sponge”是相似的，但是实际中的枝晶明显不同于理想中的“Menger sponge”图。实际中的“sierpinski gasker”枝晶为许多三角锥，这些三角锥生长方向与底层方向性相同，但是理想的“Menger sponge”图可组成许多四面体。

8、这种枝晶晶体形貌与理想“Menger sponge”不同是由晶体结构的对称性引起的。由XRD对釉料晶体的表面分析可知，具有“sierpinski gasker”形貌的枝晶为石英。这种枝晶形貌只能在石英中唯一的六次对称轴方向表现出三次对称。所以“sierpinski gasker”枝晶在唯一一个三次轴方向上形成三角锥。        2.2 分形理论在铌酸锂晶体中的应用 晶体结构质量例如位错可以用位错蚀坑的办法来检验。此处在LiNbO3晶体表面的腐蚀并得到一定的腐蚀坑。选用作为腐蚀的是平行于c轴的晶片。该晶片先抛光然

9、后在HF和HNO3（HF/HNO3=1/2）中进行腐蚀，形成三角形的蚀坑形态。很明显蚀坑具有明显的分形几何结构，与“sierpinski gasker”一致，该分形的维数为ln3/ln21.585。 矿物学家认为晶体表面不对称的电化学性质是造成这种蚀坑出现的主要原因。晶体表面常常有一些缺陷（如位错、晶界、杂质等），这些缺陷可以作为侵蚀核，当该地方遇到阴离子蚀刻剂时首先聚集到有缺陷的地方并在此形成蚀坑。同时这些蚀坑的形态还取决于其所处的晶体的对称方向，不同的晶面具有不同的对称性所以也具有不同的蚀坑方位和蚀坑形态。 3 结束语 分形理论作为一门新兴的边缘学科，虽然其发展历史不长，但在以其作为工具认

10、识或揭示自然界中的各种现象及其本质方面，已经或正在起着重要作用。分维几何学在诸如晶体表面、晶体形貌、催化剂结构、材料断裂机理分析、凝聚体结构等涉及材料表面几何形貌的研究中都有重要作用。分形理论及其应用具有很大的发展空间，在晶体表面形貌研究中已取得了一些成果，随着分形理论的数学进展必将为材料学的研究提供更有力的方法和观点，而晶体表面形貌的高科技应用背景又将为分形的数学理论的发展提供强大的动力。 参考文献： 1张济忠，分形M.北京：清华大学出版社，1995. 2赵珊茸、王继扬、谭劲、杨泰铭、刘惠芳，无光釉中LiAlSiO4-SiO2固溶体的枝晶研究，人工晶体学报，1999.3. 3黄晖、许京军、孔勇发、张国权、舒永春、孙军、徐晓轩、张光寅，铌酸锂晶体中的分形几何观察，人工晶体学报，2004，33（4）：647-650. 4Shanrong Zhao，Jin Tan，Jiyang Wang，A dendrite with“Sierpinski gaskey”fractal morphology in matt glaz