例析中考规律猜想题的酝酿与发现

1、例析中考规律猜想题的酝酿与发现江西省安福县城关中学 曹经富在近几年各地中考题中，规律猜想题深受命题者的青睐与关注，此类题作为一种重要的研究问题的方法和探索发现新知识的重要手段，非常有利于同学们创造性思维能力的培养与训练，它不仅给中考试题的形式和内容注入了新的活力，而且给当前的课堂学习带来了重大的影响，此类题经常成为中考中考查知识、能力与数学思想方法的载体规律猜想题指的是在特定的背景、情境或某些条件下（可以是函数关系式、有规律的数或式、特定的生活情境、流程图、某种特征的图形、图案或图表），认真分析，仔细观察，提取相关的数据、信息，进行适当的分析，综合归纳，作出大胆猜想，得出结论，进而加以验证或解

2、决问题的数学探索题。其解题思维过程是：从特殊情况入手探索发现规律综合归纳猜想得出结论验证结论，而解决规律性问题的关键在于猜想，猜想是一种直觉思维，通过对研究对象的实验、观察和归纳、从而猜想它的规律和结论的一种思维方法猜想往往依据直觉来获得，而恰当的归纳推理可以使猜想更准确在进行归纳推理与猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找到不变的本质和规律为此要求我们能在一定的背景或特定的条件（已知条件或所提供的若干个特例）下，通过观察、分析、比较、概括、归纳和猜想，从中发现有关数学对象所具有的某种规律或不变性的结论和数学本质的内容，进而利用这个规律或结论进一步解决相关的实际问题。它体现了“从特殊到一般”及转化

3、的数学思想方法，解题思路一般是通过观察，进而寻找规律，猜想出相关的结论并加以验证。出现的形式可能以填空、选择或解答为主现结合2009年的中考试题来说明规律猜想题的酝酿与发现，希望能给大家带来一定的启示与帮助一、在函数关系式中酝酿与发现例1 （2009年孝感市）对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于An、Bn两点，以表示这两点间的距离，则的值是（ ）。（A）（B）（C） （D） 解析：通过观察可以发现：抛物线与x轴交于An、Bn两点的横坐标是方程的解，而AB=x1- x2，当n=1时，A1B1=，当n=2时，A2B2=，当n=3时，A3B3=，则=.故选D点评：先探讨某种情境中简单情况下存在的某

4、个结论，然后进一步推广到一般情况下，这是探究问题的一种经验或一种模式，这种思维方式或者说解题方法应引起我们的关注与重视解题的关键是如何选择切入点，及由特殊到一般或由简单到复杂的思维模式，利用类比的数学思想解决问题，这些本质相同的问题解决办法是都进行列举与归纳推理，即从列举对象的一切特殊情形的前提中，推出关于全部对象的一般结论的推理方法二、在生活图景中酝酿与发现例2 (2009年内江市)如图1，小陈从点O出发，前进5米后向右转20O，O20o20o再前进5米后又向右转20O，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（ ）。（A）60米 （B）100米（C）90米 （D）120米解析：每前进

5、5米后就向右转20O，通过观察、分析可知，经过若干次行走后，必将回到起点O，从而构造了一个封闭的正多边形，且正多边形的每个外角都为20O，借助外角和360O，可计算出这个正多边形的边数是正十八边形，则此人共行走了5×18=90米。故选C点评：解题的关键是弄清题意，结合图形，将实际问题转化为数学问题，运用空间思维和想象，进行大胆的猜想，构建相应的数学模型，并予以解决问题三、在图形的叠加中酝酿与发现例3 （2009年安徽省）学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图2所示已知每个菱形图案的边长cm，其一个内角为60°60&

6、#176;dL图2（1）若d26，则该纹饰需要231个菱形图案，求纹饰的长度L；（2）当d20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？解析：在此题当中，通过观察发现：所有的图形之间存在着不变的量（大、小菱形的长对角线）和相应变化的量（d随着菱形图案叠加个数的增加而增加），其中大菱形的长对角线的长度为30cm，而小菱形的长对角线的长度为（30-d）cm，当有n个菱形图案叠加时，L=nd+（30-d），在（1）中，若d26，则该纹饰需要231个菱形图案时纹饰的长度L=26*231+（30-26）=6010，在（2）当d20时，若保持（1）中纹饰长度不变，根据L=nd+（30-d

7、），有6010=20n+10，解得n=300.点评：解这类问题的关键在于从简单的情形入手，逐个观察、发现，归纳图形中的变化规律、变化趋势及不变化的量，寻找出内在的规律与图案叠加个数之间的关系式，构建相应的数学模型，主要是考查我们的观察能力、发现能力、分析判断能力、逻辑推理能力和猜想规律能力四、在数列或等式中酝酿与发现例4 （2009年重庆市綦江县）观察下列等式：（；（；（；则第（是正整数）个等式为_.解析：在所给的一系列等式中，既要观察横向的变化规律，又要观察纵向的变化规律：等式左边的第一个数的底数比第二个数的底数大3，等式右边的第一个数是3，为常量，第二个数呈奇数递增。不妨设等式左边的第二列

8、数的底数为n，则第一列数的底数为n+3，最后一列数为2n+3，由此可得第（是正整数）个等式为点评：解这类问题的关键在于既要从整体上把握数列的横向变化规律或趋势及不变量，又要从整体上把握数列的纵向变化规律或趋势及不变量，根据数列的特征选用恰当的代数式或等式进行准确表示五、在流程图中酝酿与发现图输入+3输出为偶数为奇数例5 (2009年咸宁市)如图3所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，第2009次输出的结果为_解析：这是一道分类考虑的程序流程题，解题的关键是确定输入的数据是奇数还是偶数，再按要求选择相应的代数式将值代入求解，通过计算，会发

9、现从第3次开始，这个程序输出的将以6、3、6、3循环，每两次一循环，由此2009-2=2007=1003×21，从而判断出第2009次输出的结果为6.点评：这是一道以数字转换循环计算为背景的代入求值的程序题，解题的关键是弄清流程图所表示的含义，要注意确定代入的数根据奇、偶性选择相应的代数式计算六、在表格中酝酿与发现例6月 （2009年台州市）将正整数1，2，3，从小到大按下面规律排列若第4行第2列的数为32，则 ；第行第列的数为 （用、表示） 第列第列第列第列第行1第行第行解析：在所给表格中，通过观察可以发现：表格中的行列是有序增加1，纵列中的第i行、第j列上的数是n(i-1)+j，题中的第4行第2