利用向量求二面角大小的又一方法

1、29利用向量求二面角大小的又一方法福建南安国光中学 黄耿跃文1给出一种判定“二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系”,读完这篇文章后,获益匪浅.笔者通过研究给出另一种利用向量求二面角大小的可行性方法,此法可以避免产生二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系误判,而且思路更直观、清晰.定理 1 如下左图已知二面角L 的平面角为,A 且,A L B 且,B L AM L 于,M BN L 于N ,则 |JJJ G JJJ G JJJJG .由二面角的平面角的定义易证定理1. 定理2 如上右图,空间任意一条直线,L A B 是直线L 上的两个点,M 是空间任意一点, ,MN L N 于则2|AM AB

2、 NM AM AB AB =JJJJ G JJJ GJJJJ G JJJJ G JJJ GJJJJ G . 证明 向量AN AM AB JJJ G JJJJ G JJJ G为在方向上的投影向量,设|AB e AB AB =JJJ G G JJJG JJJJJ G 为方向的单位向量, 2|AM AB AM AB AN e AB AB AB =JJJJ G JJJ G JJJJ G JJJ G JJJ G G JJJ GJJJJ G JJJJJ G , 2|AM AB NM AM AN AM AB AB =JJJJ G JJJ GJJJJ G JJJJ G JJJ G JJJJ G JJJ GJJ

3、JJJ G . 例1 (2004湖南理19如图,在底面是菱形的四棱锥P ABCD 中,60,ABC PA =°=AC,a PB PD =点E 在PD 上,且:2:1PE ED =.(I证明:PA 平面ABCD ;(IIAC 求以为棱,EAC 与DAC 为面的二面角的大小;(III在棱PC 上是否存在一点F ,使/BF 平面AEC ?证明你的结论.解 (I略;(II以A 为坐标原点,直线AD 、AP 分别为y 轴、z 轴,过点 A 垂直平面PAD 的 直线为x 轴,建立空 间直角坐标系如右 图.则(0,0,0,2A c a1,0,(0,02a D a =J J G ,(0,E 21,3

4、3a a 于是AE =JJJ G(0,21,33a a (,2AC a =JJJ G 1,0,2a (0,0AD a =JJJ G . 作EM AC M 于,DN AC 于N ,则由定理1得:ME JJJ J G 与ND JJJ G所成的角的大小为EAC 与DAC 为面的二面角的大小.由定理2可得2|AE AC ME AE AM AE AC AC =JJJ G JJJ GJJJ J G JJJ G JJJJ G JJJ G JJJ G JJJ G=2212113(0,03322aa a a a a 11(,623a a a =. 2|AD AC ND AD AN AD AC AC =JJJ G

5、 JJJ GJJJ G JJJ G JJJ G JJJ G JJJ G JJJ G22112(0,0,022aa a a a = 3(,044a a =,cos |ME ND ME ND =JJJ J G JJJ G JJJ JG JJJ G 30=. 以AC 为棱,EAC 与DAC 为面的二面角的大小为30°.例2 (2004浙江如图,已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,AB =,1AF =,M 是线段EF 的中点.(I求证AM BDF 平面;(II求二面角A DF B 的大小. 解 (I略. (II如图建立空 间直角坐标C xyz ,A ,B , D ,F .

6、 DF =,(DB =JJJ G, DA =JJJ G ,DF =JJJ G.作AM DF 于M ,BN DF 的延长线于N ,则由定理1得:MA JJJ G 与NB JJJ G 所成的解的大小为二面角A DF B 的大小.由定理2可得:2|DA DF MA DA DM DA DF DF =JJJ G JJJ GJJJ G JJJ G JJJJ G JJJ G JJJ G JJJ G23=,2|DB DF NB DB DN DB DF DF =JJJ G JJJ GJJJ G JJJ G JJJ J G JJJ G JJJ G JJJ G(/3=(3,2/3=,cos |MA NBMA NB

7、=G JJJ G JJJG 6=.二面角A DF B 的大小为60°. 例 3 (2005福建如图,直二面角D AB E 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,AEEB =,F 为CE 上的点,且BF 平面ACE .(I求证:AE BCE 平面;(II求二面角B AC E 的大小; (III求点D 到平面ACE 的距离.解 (I略;(如图所示,以线段AB 的中点原点,O OE 所在的直线为x 轴,AB 所在的直线为y 轴,过O 作平行于AD 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系O xyz ,则(0,1,0,(1,0,0,A E (0,1,2(0,1,0C B ,AC JJJ G(0,2,2,AE =JJJ G(1,1,0, (0,2,0AB =JJJ G.作BM AC 于M , EN AC 于N ,则由定理1得,NE JJJ G 与MB JJJG所成的角的大小为二面角B AC E 的大小由定理2得 NE AE AN =JJJ G JJJ G JJJ G2|AE AC AE AC AC =JJJ G JJJ G JJJ G JJJ G JJJ G211(1,1,0(0,2,2(0,822=,MB AB AM =JJJG JJJ G JJJJ G2|AB