循环冗余校验码

1、循环冗余校验码(CRC的基本原理(转)2009-05-11 16:01循环冗余校验码(CRQ的基本原理是： 在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫(N, K)码。对于一个给定的(N, K码，可以证明存在一个最高次幕为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而 G(x)叫做这个CRC码的生 成多项式。校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*2R，这样C(x)的右边就会空岀 R位，这就是校验码的位置。 通过C(x)*2R除以生成多项 式 G(x) 得到的余数就是校验码。几个基本

2、概念1、多项式与二进制数码多项式和二进制数有直接对应关系： x 的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式 的各幕次，有此幕次项对应1无此幕次项对应 0。可以看岀：x的最高幕次为 R,转换成对应的二进制数有 R+1位。多项式包括生成多项式 G(x) 和信息多项式 C(x) 。 如生成多项式为 G(x)=x4+x3+x+1 ， 可转换为二进制数码11011。而发送信息位 1111，可转换为数据多项式为 C(x)=x3+x2+x+1 。2、生成多项式是接受方和发送方的一个约定， 也就是一个二进制数， 在整个传输过程中， 这个数始终保持不变。 在发送方 ,利用生成多项式对信息多项式做模 2

3、除生成校验码。在接受方利用生成多项式对收到 的编码多项式做模 2 除检测和确定错误位置。应满足以下条件：a、 生成多项式的最高位和最低位必须为1。b、 当被传送信息(CRC码)任何一位发生错误时，被生成多项式做模2除后应该使余数不为0<c、不同位发生错误时，应该使余数不同。d、对余数继续做模 2除，应使余数循环。 将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。 但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成 多项式如图 9 所示：N K码距 d G(x)多项式G(x)743x3+x+11011743x3+x2+11101734x4+x3+x2+111101734x4+x2+x+110111151

4、13x4+x+1100111575x8+x7+x6+x4+111101000131263x5+x2+110010131215x10+x9+x8+x6+x5+x3+11110110100163573x6+x+1100001163515x12+x10+x5+x4+x2+1101000011010110411024x16+x15+x2+111000000000000101图 9 常用的生成多项式3、模 2 除(按位除)模 2 除做法与算术除法类似，但每一位除(减)的结果不影响其它位，即不向上一位借位。所以 实际上就是异或。然后再移位移位做下一位的模 2 减。步骤如下：a、 用除数对被除数最高几位做模

5、2减，没有借位。b、 除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减。若余数最高位为 0,商为0, 除数继续右移一位。c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数。【例】 1111000 除以 1101：1011商1111000 被除数1 1 01 除数01000011010101011011 1 1 余数CRC码的生成步骤1、将x的最高幕次为 R的生成多项式 G(x)转换成对应的 R+1位二进制数。2、 将信息码左移 R位，相当与对应的信息多项式C(x)*2R3、用生成多项式(二进制数)对信息码做模 2除，得到R位的余数。4、 将余数拼到信息码左移后空岀的位置，得到完整的C

6、RC码。【例】假设使用的生成多项式是 G(x)=x3+x+1 。 4位的原始报文为 1010，求编码后的报文。 解：1、将生成多项式 G(x)=x3+x+1 转换成对应的二进制除数 1011。2、 此题生成多项式有4位(R+1)，要把原始报文 C(x)左移3 ( R位变成10100003、 用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进行模 2除：1001 商10100001011 除数10001011011 余数(校验位)5、编码后的报文(CRC码)：1010000+ 0111010011CRC的和纠错在接收端收到了 CRC码后用生成多项式为 G(x)去做模2除，若得到余数为 0,则码字

7、无误。若如 果有一位岀错，则余数不为0，而且不同位岀错，其余数也不同。可以证明，余数与岀错位的对应关系只与码制及生成多项式有关，而与待测碼字(信息位)无关。图10 给岀了 G(x) = 1011 ,C(x) = 1010的岀错模式，改变 C(x)(码字)，只会改变表中码字内容，不改变余数与岀错位的对应关系。收到的CRC码字余数岀错位码位A7A6A5A4A3A2A1正确1010011000无错误1010010101000110101111011011100001111100110010011001010100011110111101 1234567图10(7, 4) CRC码的岀错模式(G(x)

8、 = 1011)如果循环码有一位岀错，用G(x)作模2除将得到一个不为 0的余数。如果对余数补0继续除下去，我们将发现一个有趣的结果； 各次余数将按图 10顺序循环。 例如第一位岀错， 余数将为 001， 补 0 后再除，第二次余数为 010，以后依次为 100， 0ll, ，反复循环，这就是“循环码”名称的 由来。这是一个有价值的特点。如果我们在求岀余数不为0 后，一边对余数补 0 继续做模 2 除，同时让被检测的校验码字循环左移。图10说明，当岀现余数(101)时，岀错位也移到 A7位置。可通过异或门将它纠正后在下一次移位时送回A1。这样我们就不必像海明校验那样用译码电路对每一位提供纠正条

9、件。 当位数增多时， 循环码校验能有效地降低硬件代价， 这是它得以广泛应 用的主要原因。通信与网络中常用的 CRC在数据通信与网络中，通常 k相当大，由一千甚至数千数据位构成一帧，而后采用CRC码产生r位的校验位。它只能检测岀错误，而不能纠正错误。一般取r=16，标准的16位生成多项式有 CRC-16 =X16+X15+X2+1 和 CRC-CCITT= x16+x15+x2+1。一般情况下，r位生成多项式产生的 CRC码可检测岀所有的双错、奇数位错和突发长度小于等于r 的突发错以及( 1-2-(r-1) )的突发长度为 r+1 的突发错和( 1-2-r )的突发长度大于 r+1 的突 发错。

10、 例如， 对上述 r=16 的情况， 就能检测岀所有突发长度小于等于 16 的突发错以及 99997% 的突发长度为17的突发错和99. 998%勺突发长度大于 17的突发错。所以 CRC码的检错能力还 是很强的。 这里， 突发错误是指几乎是连续发生的一串错， 突发长度就是指从岀错的第一位到岀 错的最后一位的长度 (但是，中间并不一定每一位都错 )。【例1】某循环冗余码(CRC的生成多项式 G(x) = X3+X2+1，用此生成多项式产生的冗余位， 加在信息位后形成 CRC码。若发送信息位 1111和1100则它的CRC码分别为A_和B_。 由于某种原因，使接收端收到了按某种规律可判断为岀错的

11、CRC码，例如码字C、_ D_、和E_°( 1998年试题11)供选择的答案A: IIIII001111101 11111101111111B: 11001001100101 11001101100111CE: 0000000 0001100 0010111 1000110 1001111 1010001 1011000解：A: G(x) = 1101 , C(x) = 1111 C(x)*23 - G(x) = 1111000- 1101=1011 余 111得到的CRC码为1111111B: G(x) = 1101 , C(x) = 1100 C(x)*23 - G(x) = 1

12、100000- 1101=1001 余 101得到的CRC码为1100101CE:分别用 G(x) = 1101对 作模 2除：0000000 - 1101余 0001111101 - 1101余001 0010111 - 1101余000 0011010 - 1101 余000 1000110 - 1101余000 1001111 - 1101余100 1010001 - 1101 余000 1011000 - 1101余100所以 C、D和E的答案是、【例2】计算机中常用的一种检错码是CRC即_A_码。在进行编码过程中要使用_B_运算。假设使用的生成多项式是 G(X)=X4+X3+X+1，

13、原始报文为11001010101，则编码后的报文为_C_。CRC码_D_的说法是正确的在无线电通信中常采用它规定码字长为7 位并且其中总有且仅有3 个“1”。这种码的编码效 可检测所有小于校验位长度的突发错 长度的突发错E: 3/7 4/7解：从前面有关 CRC的论述中可得岀:可检测所有小于、等于校验位 log23/log27A : 循环冗余 (log235)/7B : 模 2 除法C:G(x) =11011，C(x) =11001010101，C(x)*24 - G(x) = 11001010101000" 11011 余0011率为_E_供选择的答案:A:水平垂直奇偶校验 循环求

14、和 循环冗余正比率B:模2除法定点二进制除法二十进制除法循环移位法C: 1100101010111 110010101010011110010101011100 110010101010101D:可纠正一位差错可检测所有偶数位错得到的CRC码为110010101010011D:从前面有关通信与网络中常用的CRC的论述中可得岀：可检测所有小于、等于校验位长度的突发错E:定比码又叫定重码，是奇偶校验的推广。在定比码中，奇数或偶数的性质保持不变，然而附 加一种限制，每个字中 1 的总数是固定的。 随用途之不同，定比码要求的附加校验位可能多于一 个，但较之单一的奇偶校验将增加更多的检错能力。所谓 7中

15、取 3定比码，就是整个码字长度为 7位，其中 1 的位数固定为 3。所有 128个 7位代码 (00000001111111)中只有 1的位数固定为 3的才是其合法码字。 可以用求组合的公式求岀其合法码字数为：C73= 7!/(3!*(7-3)!)= 7*6*5心*2*3)= 35编码效率=合法码字所需位数/码字总位数二(log235)/7编辑词条循环冗余校验码CRC ( Cyclic RedundancyCheck)循环冗余校验码是常用的校验码，在早期的通信中运用广泛，因为早期的通信技术不够可靠(不 可靠性的来源是通信技术决定的，比如电磁波通信时受雷电等因素的影响)，不可靠 的通信就会带来确

16、认信息'勺困惑，书上提到红军和蓝军通信联合进攻山下的敌军的例子，第一天红军发了条信息要蓝军第二天一起进攻，蓝军收到之后，发一条确认信 息，但是蓝军担心的是确认信息如果也不可靠而没有成功到达红军那里，那自己不是很危险？于是红军再发一条对确认的确认信息'但同样的问题还是不能解决，红军仍然不敢贸然行动。对通信的可靠性检查就需要校验'校验是从数据本身进行检查，它依靠某种数学上约定的形式进行检查，校验的结果是可靠或不可靠，如果可靠就对数据进行处理，如果不可靠，就丢弃重发或者进行修复。CRC码是由两部分组成，前部分是信息码，就是需要校验的信息，后部分是校验码，如果 CRC码共长n个

17、bit，信息码长 k个bit，就称为(n,k)码。它的编码规则是：1、 首先将原信息码(kbit)左移r位(k+r= n)2、 运用一个生成多项式g(x)(也可看成二进制数)用模 2除上面的式子，得到 的余数就是校验码。非常简单，要说明的：模2除就是在除的过程中用模2力口，模2加实际上就是我们熟悉的异或运算，就是加法不考虑进位，公式是：0+0=1 + 1=0,1+0=0+1=1即异'则真， 非异则假。由此得到定理：a+b+b=a 也就是 模2减和模2加'直值表完全相同。有了加减法就可以用来定义模2除法，于是就可以用生成多项式g(x)生成CRC校验码。例如： g(x)=x4+x3+x2+1,(7,3)码,信息码110产生的 CRC码就是