线和角难题-教师

1、直线与线段例1、在一条直线上，如果给定n个点，那么以它们为端点的线段共有多少条？若从左至右相邻两点的线段的长度依次为a1,a2,an-1，求所有线段的长度之和。提示：长度之和S=a1´(n-1) ´1+a2´(n-2) ´2+an-1´1´(n-1)例2、如图，点C、D、E是线段AB的四等分点，点F、G是线段AB的三等分点，已知AB=12cm，求CF+DF+EF的长。答案：8例3、将直线上的每一点都染上红、黄色中的一种，求证：必存在同颜色的三个点，使其中一点是另两点连线段的中点。提示：用构造法。并且用5个点来保证满足条件的点。反证法：

2、假设不存在三个同种颜色点,使得其中一个是两点所构成线段的中点.已知直线上有无数个点,染成红黄两色：必存在同色的两点(其实是无数个点,这里只需取两点),不妨设这两点都是红点,分别为A,B,距离为l.现在将线段A,B分别向两边外延l,得端点C,D,并使A为BC中点,B为AD中点.这样一来,由假设知：C,D不能为红点,所以C,D都是黄点.再取AB的中点O,由假设,O不能为红点,必为黄点.须知O同时也是线段CD的中点,于是C,O,D构成同色三点,且O为CD中点.这与假设矛盾.所以假设不成立.例4、在一条直线上已知四个不同的点依次是A、B、C、D，请在直线上找出一点P，使PA+PB+PC+PD最小。（线

3、段BC上）例5、直线上分布着2002个点，我们来标出以这些点为端点的一切可能的线段的中点。试求至少可以得出多少个互不重合的中点。提示：用归纳法。一般地，若直线上分布着n个点，结论为2n-3。例6、点A、B在直线MN的同侧，请在MN上求一点P，使PA+PB为最小。例7、在直线MN的同侧有两点A、B，且AB的连线与MN不平行。请在MN上求一点P，使|PA-PB|为最大。提示：连接AB交MN于P，则P为所求。例8、在DABC中，D是边AB上任意一点，如图，求证：AB+ACDB+DC。例9、P是DABC内一点，求证（1）AB+ACPB+PC （2）AB+BC+CAPA+PB+PC（3）1答：延长BP与

4、AC边相交于点D,由三角形两边之和大于第三边得AB+AD>BD,PD+DC>PC,故AB+AD+PD+DC>BD+PC=PB+PD+PC,AB+AD+DC>PB+PC,即AB+AC>PB+PC,同理可证,AB+BC>PA+PC,BC+CA>PB+PA将上面3式相加得2AB+2AC+2AC>2PA+2PB+2PC,AB+AC+AC>PA+PB+PC.再由三角形两边之和大于第三边得 PA+PB>AB ,PB+PC>BC ,PC+PA>CA 将上面3个式子相加得2(PA+PB+PC)>AB+BC+CA PA+PB+PC&g

5、t;1/2(AB+BC+AC)例10、已知P、Q是DABC内两点，求证：AB+ACBP+PQ提示：延长BP、CQ相交于D，则AB+ACDB+DC=BP+(PD+DQ)+QCBP+PQ+QC角例1、如图，已知OE平分AOB，OD平分BOC，AOB为直角，EOD=70O,求BOC的度数。 例2、如图，已知AOD是一直线，AOC=120O，BOD=150O，OE平分BOC，求AOE的度数。例3、如图，以O为顶点，以OA1，OA2，OAn为边小于平角的角有多少个？若i=AiOAi+1，(i=1,2,n)求出所有角的和。答：共有角n(n-1)/2个，角度的总和为=1´(n-1)´1+

6、2´(n-2)´2+n-1´1´(n-1)。例4、上题中，若每一个角都作一条角平分线，问至少可得出多少条互不重合的有平分线？答：2n-3条。例5、过点O任意作14条射线，求证：以0为顶点的角中至少有一个小于26O。例6、如图，已知直线AB与CD相交于O，OE，OF，OG分别是AOC、BOD、AOD的平分线。求证：（1）E、O、F三点在同一直线上；（2）OGEF。 例7、如图是一个3´3的正方形，求图中1+2+3+9的和。（答：405O）。例8、求凸n边形的内角和。（n2）×180°很显然由于多边形中边数最少的是三角形,多边形

7、的边数记为n,则n 3.所以这个文字题目可以翻译成“凸n边形（n 3）的内角和等于180o（n2）”.第一步：当n 3 时,凸n边形就是三角形.而三角形的三个内角和等于180o ,所以命题成立.第二步：假设 n k （k3）时命题成立.也就是说假设凸k边形时其内角之和等于180o（n2）.现在要证明凸k1边形时 ,其内角和等于180o（k1）2 .事实上,当n k1时,这时的凸n边形就是凸k1边形.我们可以任选定其一个顶点,过这个顶点的两个顶点作凸k1边形的一条对角线.在这条对角线的两侧一边是三角形,另一侧是一个凸k边形.则凸k1边形的内角之和恰好等于这个三角形的内角之和（已知三角形内角之和等

8、于180o）加上这个凸k边形的内角之和（已设凸k边形的内角之和为180o（k2）的总和.所以有凸k1边形的内角之和180o180o（n2）180o（1k2）180o（k1）2.这就证明了,当n k1时,命题成立.所以,命题对n 3时的任意自然数成立.,一个凸n边形，除一个内角外，其余n-1个内角的和为2009°，求n边形的边数根据多边形的内角和定理得到：凸n边形的内角和为180°（n-2），又除一个内角外，其余n-1个内角的和为2009°，所以除去的内角为180°（n-2）-2009°=180°n-360°-2009°=180°n-2369°，又0180°n-2369°180°，解得：2369°180°n2549°，解得： 2369°180° n 2549°180° ，又n为正整数，所以n=14例9、在下图中，找出BCD与ABC、BAC、ADC之间的关系。