两角差的余弦公式

1、人教版普通高中课程标准实验教科书人教版普通高中课程标准实验教科书A版版必修必修43.1 3.1 两角和与差的正两角和与差的正弦、余弦、正切公式弦、余弦、正切公式两角差的余弦公式教材分析学情分析教学目标教法学法教学过程 教学内容： 本节是人教版普通高中课程标准实本节是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修四第三章第一节的内容，验教科书数学必修四第三章第一节的内容，是本模块第一章是本模块第一章锐角三角函数锐角三角函数和第二和第二章章平面向量平面向量相关知识的延伸和拓展，也是相关知识的延伸和拓展，也是本节中推导两角和、差、倍角、半角等三角本节中推导两角和、差、倍角、半角等三角恒等变换公式的基础，可

2、以说是起承上启下，恒等变换公式的基础，可以说是起承上启下，串联全书的作用。串联全书的作用。本节的知识基础是：本节的知识基础是：三角函数线与向量三角函数线与向量的数的数量积量积教学要求教学要求: : 1 1、借助单位圆，、借助单位圆，运用三角函数线向量运用三角函数线向量的方法的方法推导两角差的余弦公式；推导两角差的余弦公式；2 2、能够使用两角差的余弦公式求特殊角和差、能够使用两角差的余弦公式求特殊角和差角的余弦值；角的余弦值；3 3、让学生感受数学知识的相互联系，培养逻、让学生感受数学知识的相互联系，培养逻辑推理的思维能力，树立创新意识和应用意辑推理的思维能力，树立创新意识和应用意识，提高数学

3、素质。识，提高数学素质。学生已经学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式及平面向量，这为他们探究两角差的余弦公式建立了良好的基础。但学生的逻辑推理能力毕竟有限，要发现并证明公式 C C(-)有一定的难度，教师可引导学生通过合作交流，探索两角差的余弦公式，完成本课的学习目标1.1.知识目标知识目标.掌握运用单位圆中的三角函数线和向量的方法推导两角差的余弦公式.掌握公式的结构和特点，能够简单运用公式.2.2.能力目标能力目标.在公式探究过程中体会从特殊到一般，数形结合、分类讨论等多种数学思想.通过公式的探究、灵活运用，培养学生分析问题、解决问题的能力.3.3.情感目标情感目标.通过公式的推导论证过程

4、，培养学生学习数学的严谨 、求实的科学态度.让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神.教学重点 两角差的余弦公式的推导过程及简单应用教学难点 两角差的余弦公式的猜想与推导，探索过程的组织和引导。 教法学法分析教法学法分析： 根据学生情况，本节课的特点，按照高中学生的根据学生情况，本节课的特点，按照高中学生的认知规律，遵循认知规律，遵循“教师为主导，学生为主体，训练为主线教师为主导，学生为主体，训练为主线”的指导思想，为实现本节课的教学目标，突出重点，突破的指导思想，为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，设计如下教学过程：难点，设计如下教学过程： 导入（创设情境

5、）导入（创设情境）自主学习（针对自主学习（针对提出的问题）提出的问题）合作探究（探索、尝试、合作探究（探索、尝试、启发、诱导解决问题）启发、诱导解决问题）练习练习小结小结练习练习课后拓展（作业）课后拓展（作业）ABCD306745五、教学过程五、教学过程 课题课题的引入的引入教学教学过程分析过程分析数学教学是数学活动的教学。因此，我将整个教学过程分为以下六个教学环节：1. 1. 创设情境，导入新课创设情境，导入新课 引例引例 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,小山高BC约为30米,在地平面上有一点A,测得A、C两点间距离约为67米,从A观测电视发射塔的视角(CAD)约为45.求

6、这座电视发射塔的高度. .【设计意图设计意图】从课本章头实际问题作为情境，引入课题，这有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性。同时提出本章的研究课题。.实际问题中存在研究像tan（45+）这样包含两个角的三角函数的需要； .实际问题中存在研究像sin与tan（45+）这样包含两角和的三角函数与单角，45的三角函数的关系的需要；2.2.探索公式，建构新知探索公式，建构新知1 1、凭凭直觉得出直觉得出coscos（）=cos=coscoscos是学生经常是学生经常出出现的现的错误，通过讨论可以知道它不是对任意角错误，通过讨论可以知道它不是对任意角、都成立都成立的；的；

7、 2 2、在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会、在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会向量方法的作用；向量方法的作用；3 3、教师提出几个合理的问题、教师提出几个合理的问题, ,引导学生结合有关图形，讨论引导学生结合有关图形，讨论完成运用向量方法推导公式的必要准备；完成运用向量方法推导公式的必要准备；(1)(1)、结合图形、结合图形, ,明确应选择哪几个向量明确应选择哪几个向量, ,它们怎么表示它们怎么表示? ?(2)(2)、怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到探索结果、怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到探索结果? ?4 4、探索过程不应追求一步到位，应先不去理会其

8、中的细节，、探索过程不应追求一步到位，应先不去理会其中的细节，抓住主要问题及其讨论线索进行探索，然后再作反思，予以抓住主要问题及其讨论线索进行探索，然后再作反思，予以完善。（这也是处理一般探索性问题应遵循的原则完善。（这也是处理一般探索性问题应遵循的原则) )PP1OxyA AM如图，设角如图，设角 为锐角，且为锐角，且， ，1PMxPAOP作轴，法一（三角函数线）法一（三角函数线）要获得要获得 的表达式需要哪些已学过的知识？的表达式需要哪些已学过的知识？cos() 涉及涉及 三角的余弦值，可以考虑联系单位圆上三角的余弦值，可以考虑联系单位圆上的三角函数线或向量的夹角公式的三角函数线或向量的夹

9、角公式. .那么我们用三角函数来表示这些线段：整理可得：cos()coscossinsin.引导学生讨论最简单的情况cossincossinOAOB ，, , ,cos()cos().OA OBOA OB coscossinsin.OA OB BA1-1yxo在单位圆中在单位圆中cos()coscossinsin.法二（向量法）法二（向量法）对于任意对于任意 , , 有有，cos()coscossinsin.称为差角的余弦公式，简记为称为差角的余弦公式，简记为().C 【设计意图设计意图】教师通过提问引发学生思考，并让学生分组活动，相互讨论，合作学习，运用从特殊到一般、数形结合等数学思想将问题

10、层层深入，最后达到推导的完备。从而让学生体验探究的过程，锻炼学生的思维品质。两角差的余弦公式两角差的余弦公式3.3.认识公式，深化理解认识公式，深化理解233sincos,2 ),324cos 31、已知，（ ， ），(2求（）。目的是让学生巩固已学公式目的是让学生巩固已学公式coscos()0,2cos . 1472、已知=，=-，,1751求目的是让学生初步体会拆分的思想方法。目的是让学生初步体会拆分的思想方法。4. 4. 例题讲解，巩固应用例题讲解，巩固应用5.5.变式演练，深化认识变式演练，深化认识【设计意图】【设计意图】. .通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解，使学生掌握公式的正用，逆用，变角使用，提高学生的数学思维能力，体现思维的创新意识。. .练习2有一定难度，可根据学生的接受情况，在具体教学中可根据不同程度的教学对象及课堂学生的反应情况进行删减与调整。6.6.课堂小结，作业布置课堂小结，作业布置小结小结1）.公式探究