微积分课件：6-6 方向导数与梯度

1、第六节第六节 方向导数与梯度方向导数与梯度一、方向导数一、方向导数二、梯度二、梯度三、小结三、小结 讨论函数讨论函数 在一点在一点P沿某一方向沿某一方向的变化率问题的变化率问题),(yxfz 一、方向导数一、方向导数poyx lQ xy00(,),lP xy 设设 是是xoyxoy面面上上过过点点且且方方向向角角为为的的有有向向直直线线 并并设设00(,).Q xx yyl 为为 上上的的另另一一点点（如图）（如图）00ecos icos jllxxtcost.yytcos 设设为为与与 同同方方向向的的单单位位向向量量，则则 的的，参参数数方方程程为为，000000pQ(xx ,yy )(t

2、cos ,tcos )te,pQtet ,tpQ.zf(xtcos ,ytcos )f(x ,y ), 表表示示点点 到到点点的的有有向向距距离离且且当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，QPl0000t0f(xtcos ,ytcos )f(x ,y )limt 是否存在？是否存在？0000000000t0 xy0000t0 xyzf(x,y)p(x ,y ),l,e(cos,cos )l,f(xtcos,ytcos )f(x ,y )limt,Plflf(xtcos,ytcos )f(x ,y )flimlt （，）（，）定定义义设设函函数数在在点点的的某某个个邻邻域域内内有有定定义义 是是一一

3、非非零零向向量量是是与与 同同方方向向的的单单位位向向量量 如如果果极极限限存存在在 则则称称这这极极限限为为函函数数在在点点沿沿方方向向 的的方方向向导导数数，记记为为，即即沿沿着着x轴轴负负向向、y轴轴负负向向的的方方向向导导数数是是 yxff ,.000000t0f(xtcos,ytcos,ztcos)f(x ,y ,z )lim,t 推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义coscoscosfffflxyz221uln(xyz )A(1,0,1)AB(3, 2,2) 例例 ：求求在在点点处处沿沿指指向向方方向向的的方方向向导导数数。21zyx1xuA22A 解：解：

4、0zyyzyx1yuA2222A 21zyzzyx1zuA2222A 022 1 , ,33 31 221 110 ()2 332 32AABAABul 故故在在 沿沿的的方方向向导导数数：沿沿方方向向le的的二二阶阶方方向向导导数数: ),(),(220000yxyxlfllf 定义定义 设函数设函数),(yxfz 在平面区域在平面区域 D 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP ),(，都可定出一个向量都可定出一个向量jyfixf ，这向量称为函数，这向量称为函数),(yxfz 在点在点),(yxP的梯度，记为的梯度，记为 ),(yxgradfjyfi

5、xf .二、梯度二、梯度?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函数在点函数在点问题问题Pfffcoscoslxyff(,) (cos ,cos )xyleyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 其其中中),(,leyxgradf 由方向导数公式知由方向导数公式知|( , )|gradf x y 最最大大值值结论结论 三元函数三元函数),(zyxfu 在空间区域在空间区域 G 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点GzyxP ),(，都可定义一个向量都可定义一个向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 类似于二元函

6、数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 0 1、方向导数的概念、方向导数的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一

7、个（注意梯度是一个向量向量）三、小结三、小结.),(最快的方向最快的方向在这点增长在这点增长梯度的方向就是函数梯度的方向就是函数yxf讨讨论论函函数数22),(yxyxfz 在在)0 , 0(点点处处的的偏偏导导数数是是否否存存在在？方方向向导导数数是是否否存存在在？思考题思考题xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同理：同理：)0,0(yz yyy |lim0故两个偏导数均不存在故两个偏导数均不存在.思考题解答思考题解答沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向导导数数, )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim

8、22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向导导数数均均存存在在且且相相等等.一、一、 填空题填空题: :1 1、 函数函数22yxz 在点在点)2 , 1(处沿从点处沿从点)2 , 1(到点到点 )32 , 2( 的方向的方向导数为的方向的方向导数为_._.2 2、 设设xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 则则 )0 , 0 , 0(gradf_._.3 3、 已知场已知场,),(222222czbyaxzyxu 沿沿则则u场的梯度场的梯度方向的方向导数是方向的方向导数是_._.4 4、 称向量场称向量场a为有势场为有势场, ,是指向量是指向量a与某个函数

9、与某个函数 ),(zyxu的梯度有关系的梯度有关系_._.练练 习习 题题三三、 设设vu,都都是是zyx,的的函函数数, ,vu,的的各各偏偏导导数数都都存存在在且且连连续续, ,证证明明: :ugradvvgraduuvgrad )(四四、 求求222222czbyaxu 在在点点),(000zyxM处处沿沿点点的的向向径径0r的的方方向向导导数数, ,问问cba,具具有有什什么么关关系系时时此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的模模? ?二、求函数二、求函数)(12222byaxz 在点在点)2,2(ba处沿曲线处沿曲线 12222 byax在这点的内法线方向的方向导数在这点的内法线方向的方向导数. .一、一、1 1、321 ； 2 2、 kji623； 3 3、graduczbyax 222222)2()2()2(； 4 4、gradua . .二、二、)(2122baab . .四、四、cba