经典力学：习题课2－相对运动

1、力学力学习题课习题课二、相对运动二、相对运动例例2.1 2.1 一一半径为半径为b b的轮子在水平面上以角速度的轮子在水平面上以角速度作匀速作匀速无滑滚动无滑滚动。（1 1）求轮边缘上一点）求轮边缘上一点P P的运动轨迹的运动轨迹；（2 2）求）求P P点的速度、加速度点的速度、加速度；（3 3）求轨迹线在）求轨迹线在A A、B B两点处的曲率半径。两点处的曲率半径。【解解】（1 1）P P点的运动轨迹点的运动轨迹 以地面为静止参照系以地面为静止参照系S S，静坐标系，静坐标系o oxyxy； 以轮心为运动参照系以轮心为运动参照系SS，动坐标系，动坐标系o-o-xyxy。该运动系。该运动系是平

2、动系。是平动系。 如图所示，设当如图所示，设当t t0 0时刻，时刻，y y与与yy轴重合，轴重合，x x与与xx轴平行。轴平行。动系动系SS是作匀速直线运动的平动参照系，动系相对静系的速度是作匀速直线运动的平动参照系，动系相对静系的速度为为ub P P点的位矢点的位矢S S系分量式系分量式即有即有此为轨迹方程，是一个摆线此为轨迹方程，是一个摆线sin,cosxbtybt 00()rrrroo,xxb tyyb(sin),(1cos)xbttybtSS系分量式系分量式（2 2）求速度、加速度）求速度、加速度分量式分量式 (1cos)sin(1cos)sinxxyyxydxvvubbtdtvvb

3、tvv iv jbt ibtj 0vvv 速度速度 加速度加速度2222222s inc o s(s inc o s)xydxabtd tdyabtd tabtitj 0aaa 00a 而而aa 所以所以分量式分量式（3 3）求曲率半径）求曲率半径2Avb 2/nva 2222co s42222n AAn Aaaabvba 2/nav / 2t 由由即即在在A A点点：此时此时xyvvb 而而a a向向x x轴的正方向，故有轴的正方向，故有则则在在B B点点，222(2)4BBnBvbbab ,2,0 xytvbv 22,BnBvbaab 所以所以例例2.2 2.2 一飞机所带燃料在无风的情况

4、下，以一飞机所带燃料在无风的情况下，以v v的速率飞的速率飞行，可飞行来回的总路程为行，可飞行来回的总路程为R R。今在有风情况下要飞往。今在有风情况下要飞往向北偏东向北偏东的方向执行任务，并飞回基地。若风向为南的方向执行任务，并飞回基地。若风向为南偏西偏西，风速为，风速为u u，问该飞机能飞离基地多远的距离。，问该飞机能飞离基地多远的距离。【解解】以风为参照系，这是平动系，以风为参照系，这是平动系，u u是牵连速度。是牵连速度。设：设： v v1 1、v v2 2分别是飞机飞出和返回的绝对速度；分别是飞机飞出和返回的绝对速度；v v1 1、v v2 2分别是飞机飞出和返回的相对速度；分别是飞

5、机飞出和返回的相对速度；12vvv采用直角坐标系，采用直角坐标系，x x轴向正东，轴向正东，y y轴向正北。速度在坐标系下为：轴向正北。速度在坐标系下为：111sincosvvivjsincosuuiuj 1111sinsincoscosvvuvuivuj 222sincosvvivj 2222sinsincoscosvvuvuivuj 由由12vvv有有222112cosvuv uv22222sinsincoscosvvuvu 化简得到化简得到22211sinsincoscosvvuvu可解得可解得2221cossin ()vuvu 2222cossin ()vuvu由由t t1 1、t t

6、2 2分别为飞出和返回所用时间，则有分别为飞出和返回所用时间，则有2112Rvtv vv12Rttv1 12 2v tv t可解得可解得能飞离基地的最大距离为能飞离基地的最大距离为S S221 21 122212=2sin ()R vuRv vsv tv vvv vu例例2.3 2.3 半径同为半径同为R=5R=5cmcm的的A A、B B圆环位于同一平面，圆环位于同一平面，A A、B B点分别为两环的圆心。点分别为两环的圆心。B B环固定，环固定，A A环以匀速环以匀速V VA A=5=5cmcms s-1-1沿着沿着ABAB连线向连线向B B环运动。今有另一个小环环运动。今有另一个小环M

7、M（不计半径）（不计半径）同时套在两环上。求当同时套在两环上。求当A A环运动至环运动至=30=30时，小环时，小环M M的的速度和加速度大小。速度和加速度大小。坐标坐标【解法解法1 1】直接写出直接写出M M点的坐标求解。点的坐标求解。cos,sinMMxRyR 速度速度sin,cosMMMxMydxdyvRvRdtdt 加速度加速度222222cossinsincosMMxMMyd xaRRdtdyaRRdt22cos,2sin2cos2sinAAAAAxRdxvRdtdvaRRdt 由由代入代入130 ,5,0AAvcmsa可得可得121,3ss 解出解出20,10M xM yaacms

8、牵连速度牵连速度【解法解法2 2】相对运动方法。以相对运动方法。以A A环为参照系，设环为参照系，设M M点的：点的：oAvv相对速度相对速度v方向沿方向沿ABAB连线，（连线，（x x轴正方向）轴正方向）方向与方向与AMAM连线方向垂直，（连线方向垂直，（A A环的切向）环的切向）绝对速度绝对速度Mv方向与方向与BMBM连线方向垂直，（连线方向垂直，（B B环的切向）环的切向）Movvv当当30 ,60可得可得15Movvvcms考虑考虑130 ,5,0AAovcmsaa可得可得121,3ss 建立直角坐标系，建立直角坐标系，ABAB连线为连线为x x轴，原点轴，原点O O选在选在B B点。

9、则点。则22c o s,2s in2c o s2s inAAAAAxRd xvRd td vaRRd t 据据(0)Mooaaaaa注意：注意：M M点相对点相对A A环以环以A A点为圆心，作点为圆心，作R R半径的圆周运动。半径的圆周运动。22210MMMnaaacm s2225 3,5MMnnaaRcm saaRcm s 例例2.4 2.4 一条船平行于平直的海岸线航行，离案距离是一条船平行于平直的海岸线航行，离案距离是D D，速率为速率为V V。一艘速率。一艘速率为为v v（v v V V）的小艇从港口出发去）的小艇从港口出发去拦截改船拦截改船。求。求（1 1）小艇必须在该船到达港口正

10、前方）小艇必须在该船到达港口正前方X X远处出发才能截远处出发才能截住大船住大船；（2 2）若小艇尽可能晚出发，问它在何时，何地截住大）若小艇尽可能晚出发，问它在何时，何地截住大船船？v【解解】小艇行驶方向与海岸线成小艇行驶方向与海岸线成角，船相对于艇的速度为角，船相对于艇的速度为u u。（1 1）求最小距离）求最小距离x xminminc o s,s inxyxyuVvuiujuVvuv (cos) ,sinxVvtyDvt t t 时刻，两船的相对位置时刻，两船的相对位置rx iy j（1 1）（2 2）消去消去t t 时刻，得到时刻，得到(cos)sinDxVvv （3 3）对对求极值求

11、极值2cos0sindxVDDvdv （4）22cos,sinvVvVV （5）222232222()0()d xD VvVdv Vv 又又（6）故位置故位置x x在在cosvV 处有极小值。处有极小值。将（将（5 5）式代入（）式代入（3 3）式得）式得22minDVvxv（8）（7）（2 2）求时间）求时间t tminmin。由（。由（2 2）、（）、（7 7）式，有）式，有minmin22(cos)1xDtVvvvV 小艇走过的距离小艇走过的距离s smin22cosvsvtDv Vv （1010）（9）例例2.5 2.5 P P点在一半径为点在一半径为R R的球上以速度的球上以速度VV

12、沿球的经线作沿球的经线作匀速运动，球以匀角速匀速运动，球以匀角速绕其竖直直径转动，求绕其竖直直径转动，求P P点的绝点的绝对加速度。对加速度。【解解】如图示建立动坐标系如图示建立动坐标系o-xyzo-xyz。位矢位矢角速度角速度速度速度cossinrRjRk k 0vvvv 22222222222cossincoscos sin coscosvRivjvkvRvv=vR 而而故有故有00v sin(cos)vvjvk (cossin)cosvrRjkRi 加速度加速度002222002222cossin()();()(cos)cos( sincos)sinsincoscocoaaaaaavva

13、jkRRarrrvkRiRjavkvjvkvivaviR 22cossinvRjkR 2222222222242222222224sincoscossinsincossinsincosvvaviRjkRRvvavRRRvvvRRR 例例2.6 2.6 正方形正方形框架边长为框架边长为A A，以匀，以匀角速度角速度1 1绕绕ABAB轴转轴转动。半径动。半径R R2A/42A/4的圆盘相对框架以匀角的圆盘相对框架以匀角速速2 2绕绕BDBD轴轴转动。求圆盘边缘上任意点转动。求圆盘边缘上任意点M M的绝对速度和绝对加速度。的绝对速度和绝对加速度。若若M M点正好位于框架的对角线点正好位于框架的对角线

14、ACAC上的上的MM点，其绝对速度点，其绝对速度和绝对加速度等于多少。和绝对加速度等于多少。【解解】以框架为动系，其上固连坐标系以框架为动系，其上固连坐标系B Bxyzxyz（如图），坐标（如图），坐标面与框架重合。面与框架重合。M M点相对动系绕点相对动系绕BDBD轴转动，动系相对静系绕轴转动，动系相对静系绕ABAB轴转动。在该坐标系中轴转动。在该坐标系中111212(cos 45sin 45)()22ooijiji (1)M M点的位矢点的位矢rr222cos 45(cossin)2,42(2cossin)4oraiRjktRaraitjtk (2)转动牵连速度转动牵连速度11221222

15、22()(2cossin)24sinsin(cos2)4vrijaitjtkatitjt (4)M M点的相对速度点的相对速度2222(sincos)4drvatjtkdt (3)绝对速度绝对速度012220sin3sin(3cos2)4vvvvvvatitjtk (5)在在MM点，点，0 0，即，即2 2t t0 00110100144vvvvvvaijkak (6)M M点的相对加速度点的相对加速度11222222(2 cos2 sin)42(cossin2dvaatjtkdtatjtk (7)柯里奥利加速度柯里奥利加速度1111222222212()sincos222cos()sin2c

16、oavijatjtkat ijtk (9)转动牵连加速度转动牵连加速度1111111222222()021()sinsin(cos2)242cos2 ()2sin8arrvijatitjtkatijtk (8)绝对加速度绝对加速度0212222(5cos2)(9cos2)6sin8coaaaaaatitjtk (10)在在MM点，点，0 0，即，即2 2t t0 0212(37)8aaij (11)例例2.7 2.7 直线直线LMLM在给定的圆环平面内，与圆环相交于在给定的圆环平面内，与圆环相交于A A、B B两点。今直线绕两点。今直线绕A A点以等角速度点以等角速度转动，（转动，（1 1）求

17、求另一另一交点交点B B的速度与加速度大小。（圆环半径为的速度与加速度大小。（圆环半径为R R）；（）；（2 2）求求B B点相对于直线点相对于直线LMLM的速度和加速度。的速度和加速度。【解解】（1 1）以）以t=0t=0时刻，直线时刻，直线LMLM同圆环交点同圆环交点B B点与圆心点与圆心O O的连的连线为极轴，圆心线为极轴，圆心O O为极点建立如图极坐标。为极点建立如图极坐标。在在t t时刻，时刻，rRB B点矢径点矢径,22tt 径向速度径向速度0rvr222BrvvvR B B点速度点速度2vrR 径向加速度径向加速度横向速度横向速度20arr 横向加速度横向加速度2204rarrR

18、 B B点加速度点加速度2224BraaaR 【解解】（2 2）取）取LMLM为参照系，是转动系。设为参照系，是转动系。设B B点的绝对、相对、点的绝对、相对、转动牵连速度分别为：转动牵连速度分别为：2cosovrRt (0 )Bovvvv 、又又2222sin4sinoocoavRtRt B B点相对于直线点相对于直线LMLM的加速度为的加速度为2cos2sinodrdRtvRtrdtdt （沿（沿ABAB方向指向方向指向A A）（沿（沿ABAB垂直方向）垂直方向）22cosoarrRtr B B点相对于直线点相对于直线LMLM的速度为的速度为222( 2sin)2cosood rdvdRt raRtrdtdtdt 例例2.8 2.8 一个质点在一个质点在XYXY平面内运动，其运动方程为：平面内运动，其运动方程为：该平面以等角速该平面以等角速度绕度绕X X轴转动。求质点的绝对速度和轴转动。求质点的绝对速度和加速度。加速度。【解解】以运